heptadecágono

Polígono con 17 aristas.

En geometría , un heptadecágono , septadecágono o 17-gón es un polígono de diecisiete lados .

Heptadecágono regular

Un heptadecágono regular está representado por el símbolo de Schläfli {17}.

Construcción

Publicación de C. F. Gauss en Intelligenzblatt der allgemeinen Literatur-Zeitung

Como 17 es un primo de Fermat , el heptadecágono regular es un polígono construible (es decir, uno que se puede construir usando un compás y una regla sin marcar ): esto lo demostró Carl Friedrich Gauss en 1796, a la edad de 19 años. ^[1] Este La prueba representó el primer progreso en la construcción de polígonos regulares en más de 2000 años. ^[1] La prueba de Gauss se basa en primer lugar en el hecho de que la constructibilidad es equivalente a la expresabilidad de las funciones trigonométricas del ángulo común en términos de operaciones aritméticas y extracciones de raíces cuadradas , y en segundo lugar en su prueba de que esto se puede hacer si los factores primos impares de , el número de lados del polígono regular, son primos de Fermat distintos, que tienen la forma de algún número entero no negativo . Por lo tanto, construir un heptadecágono regular implica encontrar el coseno de en términos de raíces cuadradas. El libro de Gauss Disquisitiones Arithmeticae ^[2] da esto (en notación moderna) como ^[3] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2\pi /17}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos {\frac {2\pi }{17}}=&{\frac {1}{16}}\left({\sqrt {17}}-1+{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}\right)\\&+{\frac {1}{8}}\left({\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}-2{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}}}}\right).\\\end{aligned}}}$

Construcción gaussiana del heptadecágono regular.

Euclides había dado construcciones para el triángulo regular , el pentágono , el pentadecágono y los polígonos con 2 ^h veces más lados, pero los antiguos desconocían las construcciones basadas en los primos de Fermat distintos de 3 y 5. (Los únicos primos de Fermat conocidos son F _n para n = 0, 1, 2, 3, 4. Son 3, 5, 17, 257 y 65537).

La construcción explícita de un heptadecágono fue dada por Herbert William Richmond en 1893. El siguiente método de construcción utiliza círculos de Carlyle , como se muestra a continuación. Con base en la construcción del gon regular de 17, se pueden construir fácilmente n -gons, siendo n el producto de 17 por 3 o 5 (o ambos) y cualquier potencia de 2: un gon regular de 51, un 85 o un 255. -gon y cualquier n -gon regular con 2 ^h veces más lados.

Construcción según Duane W. DeTemple con círculos de Carlyle, ^[4] animación 1 min 57 s

Otra construcción del heptadecágono regular usando regla y compás es la siguiente:

TP Stowell de Rochester, Nueva York, respondió a la consulta de WE Heal, Wheeling, Indiana, en The Analyst en el año 1874: ^[5]

"Para construir un polígono regular de diecisiete lados en un círculo. Dibujar el radio CO en ángulo recto con el diámetro AB: En OC y OB, tomar OQ igual a la mitad y OD igual a la octava parte del radio: Hacer DE y DF son cada uno igual a DQ y EG y FH respectivamente iguales a EQ y FQ; tomar OK como media proporcional entre OH y OQ, y a través de K, trazar KM paralelo a AB, encontrando el semicírculo descrito en OG en M; trazar MN paralelo a OC, cortando el círculo dado en N – el arco AN es la decimoséptima parte de toda la circunferencia."

Construcción según
"enviado por TP Stowell, acreditado a Leybourn's Math. Repository, 1818" .
Añadido: "tomar OK una media proporcional entre OH y OQ"

Construcción según
"enviado por TP Stowell, acreditado a Leybourn's Math. Repository, 1818" .
Añadido: "tome OK una media proporcional entre OH y OQ" , animación

El siguiente diseño sencillo proviene de Herbert William Richmond del año 1893: ^[6]

"Sean OA, OB (fig. 6) dos radios perpendiculares de un círculo. Haga que OI sea un cuarto de OB, y el ángulo OIE un cuarto de OIA; encuentre también en OA un punto F tal que EIF mida 45° .Dejemos que el círculo de AF como diámetro corte OB en K, y el círculo cuyo centro es E y radio EK corte OA en N ₃ y N ₅ , entonces si las ordenadas N ₃ P ₃ , N ₅ P ₅ se trazan al círculo , los arcos AP ₃ , AP ₅ serán 3/17 y 5/17 de la circunferencia."

• El punto N ₃ está muy cerca del punto central del teorema de Tales sobre AF.

Construcción según HW Richmond

Construcción según HW Richmond como animación.

La siguiente construcción es una variación de la construcción de HW Richmond.

Las diferencias con el original:

• El círculo k ₂ determina el punto H en lugar de la bisectriz w ₃ .
• Del círculo k ₄ alrededor del punto G' (reflexión del punto G en m) se obtiene el punto N, que ya no está tan cerca de M, para la construcción de la tangente.
• Algunos nombres han sido cambiados.

Heptadecágono en principio según HW Richmond, una variación del diseño respecto al punto N

Otra construcción más reciente la da Callagy. ^[3]

Derivación trigonométrica utilizando ecuaciones cuadráticas anidadas

Combine la fórmula de ángulo doble anidado con la fórmula de ángulo suplementario para obtener el siguiente polinomio cuadrático anidado.

${\displaystyle \cos {\frac {2m\pi }{17}}=2\cos ^{2}{\frac {m\pi }{17}}-1}$, Y

${\displaystyle \cos {\frac {16\pi }{17}}=\cos({\pi -{\frac {\pi }{17}}})=-\cos {\frac {\pi }{17}}=-X}$

Por lo tanto,

${\displaystyle -X=-\cos {\frac {\pi }{17}}=\cos {\frac {16\pi }{17}}=2\cos ^{2}{\frac {8\pi }{17}}-1=2\times {(2\cos ^{2}{\frac {4\pi }{17}}-1)}^{2}-1}$

${\displaystyle \cos {\frac {4\pi }{17}}=2\cos ^{2}{\frac {2\pi }{17}}-1=2\times {(2\cos ^{2}{\frac {\pi }{17}}-1)}^{2}-1=2(2X^{2}-1)^{2}-1}$

Sobre simplificar y resolver para X,

${\displaystyle 32768X^{16}-131072X^{14}+212992X^{12}-180224X^{10}+84480X^{8}-21504X^{6}+2688X^{4}-128X^{2}+1=-X}$

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{17}}=X={\frac {{\sqrt {34-{\sqrt {68}}}}-{\sqrt {17}}+1+2{\sqrt {{\sqrt {34-{\sqrt {68}}}}+{\sqrt {17}}-1}}{\sqrt {\sqrt {17+{\sqrt {272}}}}}}{16}}}$

Valor exacto de pecado y cos de.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}metro π/(17 × 2 norte )

Si y entonces , dependiendo de cualquier número entero m ${\displaystyle A={\sqrt {2(17\pm {\sqrt {17}})}}}$ ${\displaystyle B=({\sqrt {17}}\pm 1)}$ ${\displaystyle C=17\mp 4{\sqrt {17}}}$

${\displaystyle \cos {\frac {m\pi }{17}}=\pm {\frac {(A\pm B)\pm 2{\sqrt {(A\mp B){\sqrt {C}}}}}{16}}}$

${\displaystyle =\pm {\frac {{\sqrt {34\pm {\sqrt {68}}}}\pm ({\sqrt {17}}\pm 1)\pm 2{\sqrt {{\sqrt {34\pm {\sqrt {68}}}}\mp ({\sqrt {17}}\pm 1)}}{\sqrt {\sqrt {17\mp {\sqrt {272}}}}}}{16}}}$

Por ejemplo, si m = 1

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{17}}={\frac {{\sqrt {34-{\sqrt {68}}}}-{\sqrt {17}}+1+2{\sqrt {{\sqrt {34-{\sqrt {68}}}}+{\sqrt {17}}-1}}{\sqrt {\sqrt {17+{\sqrt {272}}}}}}{16}}}$

Aquí están las expresiones simplificadas en la siguiente tabla.

Por lo tanto, aplicando inducción con m=1 y comenzando con n=0:

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{17\times 2^{0}}}={\frac {1-{\sqrt {17}}+{\sqrt {34-{\sqrt {68}}}}+{\sqrt {68+{\sqrt {2448}}+{\sqrt {2720+{\sqrt {6284288}}}}}}}{16}}}$

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{17\times 2^{n+1}}}={\frac {\sqrt {2+2\cos {\frac {\pi }{17\times 2^{n}}}}}{2}}}$y ${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{17\times 2^{n+1}}}={\frac {\sqrt {2-2\cos {\frac {\pi }{17\times 2^{n}}}}}{2}}.}$

Simetría

Simetrías de un heptadecágono regular. Los vértices están coloreados según sus posiciones de simetría. Las líneas de espejo azules se dibujan a través de vértices y aristas. Las órdenes de giro se dan en el centro.

El heptadecágono regular tiene simetría Dih ₁₇ , orden 34. Dado que 17 es un número primo , hay un subgrupo con simetría diédrica: Dih ₁ , y 2 simetrías de grupo cíclico : Z ₁₇ y Z ₁ .

Estas 4 simetrías se pueden ver en 4 simetrías distintas en el heptadecágono. John Conway los etiqueta mediante letras y orden de grupo. ^[7] La ​​simetría completa de la forma regular es r34 y ninguna simetría está etiquetada como a1 . Las simetrías diédricas se dividen dependiendo de si pasan por vértices ( d para diagonal) o aristas ( p para perpendiculares), y i cuando las líneas de reflexión pasan por ambas aristas y vértices. Las simetrías cíclicas en la columna del medio están etiquetadas como g por sus órdenes de giro central.

Cada simetría de subgrupo permite uno o más grados de libertad para formas irregulares. Sólo el subgrupo g17 no tiene grados de libertad pero puede verse como aristas dirigidas .

Polígonos relacionados

heptadecagramos

Un heptadecagrama es un polígono estrella de 17 lados . Hay siete formas regulares dadas por los símbolos de Schläfli : {17/2}, {17/3}, {17/4}, {17/5}, {17/6}, {17/7} y {17/ 8}. Dado que 17 es un número primo, todas estas son estrellas regulares y no figuras compuestas.

Polígonos de Petrie

El heptadecágono regular es el polígono de Petrie para un politopo convexo regular de dimensiones superiores, proyectado en una proyección ortogonal sesgada :

Referencias

1. Arthur Jones, Sidney A. Morris, Kenneth R. Pearson, Álgebra abstracta e imposibilidades famosas , Springer, 1991, ISBN  0387976612 , p. 178.
2. Carl Friedrich Gauss "Disquisitiones Arithmeticae" eod books2ebooks, p. 662 artículo 365.
3. Callagy, James J. "El ángulo central del 17 gon regular", Mathematical Gazette 67, diciembre de 1983, 290-292.
4. Duane W. DeTemple "Los círculos de Carlyle y la simplicidad de Lemoine de las construcciones poligonales" en The American Mathematical Monthly, volumen 98, edición 1 (febrero de 1991), 97-108. "4. Construcción del heptadecágono regular (17 gon)" págs. 101–104, p.103, documento web.archive, seleccionado el 28 de enero de 2017
5. Hendricks, JE (1874). "Respuesta a la consulta del Sr. Heal; TP Stowell de Rochester, Nueva York" The Analyst: A Monthly Journal of Pure And Applied Mathematicus Vol.1 : 94–95.Consulta, por WE Heal, Wheeling, Indiana p. 64; fecha de acceso 30 de abril de 2017
6. Herbert W. Richmond, descripción de la ilustración "Una construcción para un polígono regular de diecisiete lados" (Fig. 6), The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics 26: págs. Consultado el 4 de diciembre de 2015.
7. John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss , (2008) Las simetrías de las cosas, ISBN 978-1-56881-220-5 (Capítulo 20, Símbolos de Schaefli generalizados, Tipos de simetría de un polígono págs. 275– 278) 

Otras lecturas

• Dunham, William (septiembre de 1996). "1996: un triple aniversario". Horizontes matemáticos . 4 : 8–13. doi : 10.1080/10724117.1996.11974982 . Consultado el 6 de diciembre de 2009 .
• Klein, Félix y cols. Problemas famosos y otras monografías . – Describe el aspecto algebraico, de Gauss.

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Heptadecágono". MundoMatemático .Contiene una descripción de la construcción.
• "Construcción del heptadecágono". MathPages.com .
• Funciones trigonométricas del heptadecágono
• Vídeo de la BBC del nuevo centro de I+D de SolarUK
• Archivado en Ghostarchive y Wayback Machine: Eisenbud, David . «El asombroso heptadecágono (17 gon)» (Vídeo) . Brady Harán . Consultado el 2 de marzo de 2015 .
• OEIS : A210644