Proporción (matemáticas)

Enunciado en matemáticas

Una proporción es un enunciado matemático que expresa la igualdad de dos razones . ^{[1] [2]}

${\displaystyle a:b=c:d}$

a y d se llaman extremos , b y c se llaman medias .

La proporción se puede escribir como , donde las razones se expresan como fracciones . ${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}$

Esta proporción se conoce como proporción geométrica , ^[3] que no debe confundirse con la proporción aritmética y la proporción armónica .

Propiedades de las proporciones

• Regla fundamental de proporción. Esta regla a veces se denomina propiedad de medias y extremos . ^[4] Si las razones se expresan como fracciones, entonces la misma regla puede formularse en términos de la igualdad de "productos cruzados" ^[2] y se denomina propiedad de productos cruzados . ^[4]

Si , entonces ${\displaystyle \ {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}$ ${\displaystyle \ ad=bc}$

• Si , entonces ${\displaystyle \ {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}$ ${\displaystyle \ {\frac {b}{a}}={\frac {d}{c}}}$
• Si , entonces ${\displaystyle \ {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}$

${\displaystyle \ {\frac {a}{c}}={\frac {b}{d}}}$,

${\displaystyle \ {\frac {d}{b}}={\frac {c}{a}}}$.

• Si , entonces ${\displaystyle \ {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}$

${\displaystyle \ {\dfrac {a+b}{b}}={\dfrac {c+d}{d}}}$,

${\displaystyle \ {\dfrac {a-b}{b}}={\dfrac {c-d}{d}}}$.

• Si , entonces ${\displaystyle \ {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}$

${\displaystyle \ {\dfrac {a+c}{b+d}}={\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}$,

${\displaystyle \ {\dfrac {a-c}{b-d}}={\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}$.

Historia

El matemático griego Eudoxo dio una definición del significado de la igualdad entre dos razones. Esta definición de proporción constituye el tema del Libro V de Euclides, donde podemos leer:

Se dice que las magnitudes están en la misma razón, la primera con respecto a la segunda y la tercera con respecto a la cuarta, cuando, si se toman cualesquiera múltiplos equitativos de la primera y la tercera, y cualesquiera múltiplos equitativos de la segunda y la cuarta, los primeros igualmente exceden, son igualmente iguales o igualmente inferiores a los últimos equimúltiplos, tomados respectivamente en el orden correspondiente.

Más tarde, la comprensión de que las proporciones son números permitió pasar de la solución de proporciones a la de ecuaciones , y de la transformación de proporciones a la de transformaciones algebraicas .

Conceptos relacionados

Proporción aritmética

Una ecuación de la forma se llama proporción aritmética o proporción diferencial . ^[5] ${\displaystyle a-b=c-d}$

Proporción armónica

Si las medias de una proporción geométrica son iguales y el extremo más a la derecha es igual a la diferencia entre el extremo más a la izquierda y una media, entonces dicha proporción se denomina armónica : ^[6] . En este caso, la proporción se denomina proporción áurea . ${\displaystyle a:b=b:(a-b)}$ ${\displaystyle a:b}$

Véase también

• Relación
• Proporcionalidad
• Correlación

Referencias

1. Stapel, Elizabeth. "Proporciones: Introducción". www.purplemath.com .
2. Tussy, Alan S.; Gustafson, R. David (enero de 2012). Álgebra intermedia: identificar razones, índices y proporciones. Cengage Learning. ISBN 9781133714378.
3. "Proporción geométrica". oxforddictionaries.com .
4. "Propiedades de las proporciones". www.cliffsnotes.com .
5. "Proporción aritmética". encyclopediaofmath.org .
6. "Proporción armónica en arquitectura: definición y forma". study.com .