Ecuación diferencial estocástica

Ecuaciones diferenciales que involucran procesos estocásticos

Una ecuación diferencial estocástica ( EDS ) es una ecuación diferencial en la que uno o más de los términos es un proceso estocástico , ^[1] lo que da como resultado una solución que también es un proceso estocástico. Las EDS tienen muchas aplicaciones en las matemáticas puras y se utilizan para modelar varios comportamientos de modelos estocásticos como precios de acciones , ^[2] modelos de crecimiento aleatorio ^[3] o sistemas físicos que están sujetos a fluctuaciones térmicas .

Las ecuaciones diferenciales simples tienen una diferencial aleatoria que, en el caso más básico, es un ruido blanco aleatorio calculado como la derivada de un movimiento browniano o, más generalmente, una semimartingala . Sin embargo, son posibles otros tipos de comportamiento aleatorio, como los procesos de salto como los procesos de Lévy ^[4] o las semimartingalas con saltos. Las ecuaciones diferenciales aleatorias son conjugadas a las ecuaciones diferenciales estocásticas. Las ecuaciones diferenciales estocásticas también se pueden extender a las variedades diferenciales . ^{[5] [6] [7] [8]}

Fondo

Las ecuaciones diferenciales estocásticas se originaron en la teoría del movimiento browniano , en el trabajo de Albert Einstein y Marian Smoluchowski en 1905, aunque Louis Bachelier fue la primera persona a la que se le atribuye el modelado del movimiento browniano en 1900, dando un ejemplo muy temprano de una ecuación diferencial estocástica ahora conocida como modelo de Bachelier . Algunos de estos primeros ejemplos fueron ecuaciones diferenciales estocásticas lineales, también llamadas ecuaciones de Langevin en honor al físico francés Langevin , que describen el movimiento de un oscilador armónico sujeto a una fuerza aleatoria. La teoría matemática de las ecuaciones diferenciales estocásticas se desarrolló en la década de 1940 a través del trabajo innovador del matemático japonés Kiyosi Itô , quien introdujo el concepto de integral estocástica e inició el estudio de ecuaciones diferenciales estocásticas no lineales. Otro enfoque fue propuesto más tarde por el físico ruso Stratonovich , lo que condujo a un cálculo similar al cálculo ordinario.

Terminología

La forma más común de SDE en la literatura es una ecuación diferencial ordinaria con el lado derecho perturbado por un término dependiente de una variable de ruido blanco . En la mayoría de los casos, las SDE se entienden como límite de tiempo continuo de las ecuaciones de diferencia estocástica correspondientes . Esta comprensión de las SDE es ambigua y debe complementarse con una definición matemática adecuada de la integral correspondiente. ^{[1] [3]} Dicha definición matemática fue propuesta por primera vez por Kiyosi Itô en la década de 1940, lo que llevó a lo que hoy se conoce como el cálculo de Itô . Otra construcción fue propuesta más tarde por el físico ruso Stratonovich , lo que llevó a lo que se conoce como la integral de Stratonovich . La integral de Itô y la integral de Stratonovich son objetos relacionados, pero diferentes, y la elección entre ellos depende de la aplicación considerada. El cálculo de Itô se basa en el concepto de no anticipatividad o causalidad, que es natural en aplicaciones donde la variable es el tiempo. El cálculo de Stratonovich, por otro lado, tiene reglas que se asemejan al cálculo ordinario y tiene propiedades geométricas intrínsecas que lo hacen más natural cuando se trata de problemas geométricos tales como el movimiento aleatorio en variedades , aunque es posible y en algunos casos preferible modelar el movimiento aleatorio en variedades a través de SDE de Itô, ^[6] por ejemplo cuando se intenta aproximar óptimamente SDE en subvariedades. ^[9]

Una visión alternativa de las ecuaciones diferenciales simples es el flujo estocástico de difeomorfismos. Esta interpretación es inequívoca y corresponde a la versión de Stratonovich del límite temporal continuo de las ecuaciones diferenciales estocásticas. Asociada a las ecuaciones diferenciales simples está la ecuación de Smoluchowski o la ecuación de Fokker-Planck , una ecuación que describe la evolución temporal de las funciones de distribución de probabilidad . La generalización de la evolución de Fokker-Planck a la evolución temporal de las formas diferenciales la proporciona el concepto de operador de evolución estocástica .

En la ciencia física, existe una ambigüedad en el uso del término "SDE de Langevin" . Si bien las SDE de Langevin pueden ser de una forma más general , este término generalmente se refiere a una clase estrecha de SDE con campos de vectores de flujo de gradiente. Esta clase de SDE es particularmente popular porque es un punto de partida del procedimiento de cuantificación estocástica de Parisi-Sourlas, ^[10] que conduce a un modelo supersimétrico N = 2 estrechamente relacionado con la mecánica cuántica supersimétrica . Sin embargo, desde el punto de vista físico, esta clase de SDE no es muy interesante porque nunca exhibe una ruptura espontánea de la supersimetría topológica, es decir, las SDE de Langevin (sobreamortiguadas) nunca son caóticas .

Cálculo estocástico

Se descubrió que el movimiento browniano o proceso de Wiener es excepcionalmente complejo matemáticamente. El proceso de Wiener es casi seguro que no es diferenciable en ninguna parte; ^{[1] [3]} por lo tanto, requiere sus propias reglas de cálculo. Hay dos versiones dominantes del cálculo estocástico, el cálculo estocástico de Itô y el cálculo estocástico de Stratonovich . Cada uno de los dos tiene ventajas y desventajas, y los recién llegados a menudo se confunden sobre si uno es más apropiado que el otro en una situación dada. Existen pautas (por ejemplo, Øksendal, 2003) ^[3] y, convenientemente, uno puede convertir fácilmente una SDE de Itô en una SDE de Stratonovich equivalente y viceversa. ^{[1] [3]} Aún así, uno debe tener cuidado con qué cálculo usar cuando se escribe inicialmente la SDE.

Soluciones numéricas

Los métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales estocásticas ^[11] incluyen el método de Euler-Maruyama , el método de Milstein , el método de Runge-Kutta (SDE) , el método de Rosenbrock ^[12] y métodos basados ​​en diferentes representaciones de integrales estocásticas iteradas. ^{[13] [14]}

Uso en física

En física, las ecuaciones diferenciales simples tienen una amplia aplicabilidad, que abarca desde la dinámica molecular hasta la neurodinámica y la dinámica de los objetos astrofísicos. Más específicamente, las ecuaciones diferenciales simples describen todos los sistemas dinámicos en los que los efectos cuánticos no son importantes o pueden tenerse en cuenta como perturbaciones. Las ecuaciones diferenciales simples pueden considerarse como una generalización de la teoría de sistemas dinámicos a los modelos con ruido. Se trata de una generalización importante porque los sistemas reales no pueden aislarse por completo de sus entornos y, por esta razón, siempre experimentan influencias estocásticas externas.

Existen técnicas estándar para transformar ecuaciones de orden superior en varias ecuaciones de primer orden acopladas mediante la introducción de nuevas incógnitas. Por lo tanto, la siguiente es la clase más general de ecuaciones diferenciales parciales:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}=F(x(t))+\sum _{\alpha =1}^{n}g_{\alpha }(x(t))\xi ^{\alpha }(t),\,}$

donde es la posición en el sistema en su espacio de fase (o estado) , , asumiendo que es una variedad diferenciable, es un campo vectorial de flujo que representa la ley determinista de evolución, y es un conjunto de campos vectoriales que definen el acoplamiento del sistema al ruido blanco gaussiano, . Si es un espacio lineal y son constantes, se dice que el sistema está sujeto a ruido aditivo, de lo contrario se dice que está sujeto a ruido multiplicativo. Este término es algo engañoso ya que ha llegado a significar el caso general aunque parece implicar el caso limitado en el que . ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F\in TX}$ ${\displaystyle g_{\alpha }\in TX}$ ${\displaystyle \xi ^{\alpha }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g(x)\propto x}$

Para una configuración fija de ruido, la SDE tiene una solución única diferenciable con respecto a la condición inicial. ^[15] La no trivialidad del caso estocástico aparece cuando uno intenta promediar varios objetos de interés sobre configuraciones de ruido. En este sentido, una SDE no es una entidad definida de manera única cuando el ruido es multiplicativo y cuando la SDE se entiende como un límite de tiempo continuo de una ecuación de diferencia estocástica . En este caso, la SDE debe complementarse con lo que se conoce como "interpretaciones de SDE", como Itô o una interpretación de SDE de Stratonovich. Sin embargo, cuando la SDE se ve como un flujo estocástico de difeomorfismos de tiempo continuo, es un objeto matemático definido de manera única que corresponde al enfoque de Stratonovich para un límite de tiempo continuo de una ecuación de diferencia estocástica.

En física, el principal método de solución es hallar la función de distribución de probabilidad en función del tiempo utilizando la ecuación equivalente de Fokker-Planck (FPE). La ecuación de Fokker-Planck es una ecuación diferencial parcial determinista . Indica cómo evoluciona la función de distribución de probabilidad en el tiempo de forma similar a cómo la ecuación de Schrödinger da la evolución temporal de la función de onda cuántica o la ecuación de difusión da la evolución temporal de la concentración química. Alternativamente, se pueden obtener soluciones numéricas mediante simulación de Monte Carlo . Otras técnicas incluyen la integración de trayectorias que se basa en la analogía entre la física estadística y la mecánica cuántica (por ejemplo, la ecuación de Fokker-Planck se puede transformar en la ecuación de Schrödinger reescalando algunas variables) o escribiendo ecuaciones diferenciales ordinarias para los momentos estadísticos de la función de distribución de probabilidad. ^{[ cita requerida ]}

Uso en probabilidad y finanzas matemáticas

La notación utilizada en la teoría de la probabilidad (y en muchas aplicaciones de la teoría de la probabilidad, por ejemplo, en el procesamiento de señales con el problema de filtrado y en las finanzas matemáticas ) es ligeramente diferente. También es la notación utilizada en publicaciones sobre métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales estocásticas. Esta notación hace más explícita la naturaleza exótica de la función aleatoria del tiempo en la formulación física. En términos matemáticos estrictos, no puede elegirse como una función ordinaria, sino solo como una función generalizada . La formulación matemática trata esta complicación con menos ambigüedad que la formulación física. ${\displaystyle \xi ^{\alpha }}$ ${\displaystyle \xi ^{\alpha }}$

Una ecuación típica es de la forma

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\mu (X_{t},t)\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t},t)\,\mathrm {d} B_{t},}$

donde denota un proceso de Wiener (movimiento browniano estándar). Esta ecuación debe interpretarse como una forma informal de expresar la ecuación integral correspondiente. ${\displaystyle B}$

${\displaystyle X_{t+s}-X_{t}=\int _{t}^{t+s}\mu (X_{u},u)\mathrm {d} u+\int _{t}^{t+s}\sigma (X_{u},u)\,\mathrm {d} B_{u}.}$

La ecuación anterior caracteriza el comportamiento del proceso estocástico de tiempo continuo X _t como la suma de una integral de Lebesgue ordinaria y una integral de Itô . Una interpretación heurística (pero muy útil) de la ecuación diferencial estocástica es que en un pequeño intervalo de tiempo de longitud δ el proceso estocástico X _t cambia su valor en una cantidad que se distribuye normalmente con expectativa μ ( X _t ,  t )  δ y varianza σ ( X _t ,  t ) ² δ y es independiente del comportamiento pasado del proceso. Esto es así porque los incrementos de un proceso de Wiener son independientes y se distribuyen normalmente. La función μ se conoce como coeficiente de deriva, mientras que σ se llama coeficiente de difusión. El proceso estocástico X _t se llama proceso de difusión y satisface la propiedad de Markov . ^[1]  

La interpretación formal de una SDE se da en términos de lo que constituye una solución a la SDE. Hay dos definiciones principales de una solución a una SDE, una solución fuerte y una solución débil ^[1] Ambas requieren la existencia de un proceso X _t que resuelva la versión de ecuación integral de la SDE. La diferencia entre las dos radica en el espacio de probabilidad subyacente ( ). Una solución débil consiste en un espacio de probabilidad y un proceso que satisface la ecuación integral, mientras que una solución fuerte es un proceso que satisface la ecuación y se define en un espacio de probabilidad dado. El teorema de Yamada-Watanabe establece una conexión entre los dos. ${\displaystyle \Omega ,\,{\mathcal {F}},\,P}$

Un ejemplo importante es la ecuación del movimiento browniano geométrico.

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\mu X_{t}\,\mathrm {d} t+\sigma X_{t}\,\mathrm {d} B_{t}.}$

que es la ecuación para la dinámica del precio de una acción en el modelo de fijación de precios de opciones de Black-Scholes ^[2] de las matemáticas financieras.

Generalizando el movimiento browniano geométrico, también es posible definir SDE que admitan soluciones fuertes y cuya distribución sea una combinación convexa de densidades provenientes de diferentes movimientos brownianos geométricos o modelos de Black Scholes, obteniendo una única SDE cuyas soluciones se distribuyen como una dinámica de mezcla de distribuciones lognormales de diferentes modelos de Black Scholes. ^{[2] [16] [17] [18]} Esto conduce a modelos que pueden lidiar con la sonrisa de la volatilidad en las matemáticas financieras.

La ecuación diferencial simple se denomina movimiento browniano aritmético ^[3]

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\mu \,\mathrm {d} t+\sigma \,\mathrm {d} B_{t}}$

Fue utilizado por Louis Bachelier como el primer modelo para precios de acciones en 1900, conocido hoy como modelo Bachelier .

También existen ecuaciones diferenciales estocásticas más generales en las que los coeficientes μ y σ dependen no solo del valor actual del proceso X _t , sino también de valores anteriores del proceso y posiblemente también de valores actuales o anteriores de otros procesos. En ese caso, el proceso de solución, X , no es un proceso de Markov, y se denomina proceso de Itô y no proceso de difusión. Cuando los coeficientes dependen solo de valores actuales y pasados ​​de X , la ecuación definitoria se denomina ecuación diferencial de retardo estocástico.

Una generalización de las ecuaciones diferenciales estocásticas con la integral de Fisk-Stratonovich a las semimartingalas con saltos son las ecuaciones diferenciales simples de tipo Marcus . La integral de Marcus es una extensión del cálculo estocástico de McShane. ^[19]

Una aplicación innovadora en finanzas estocásticas se deriva del uso de la ecuación del proceso Ornstein-Uhlenbeck

${\displaystyle \mathrm {d} R_{t}=\mu R_{t}\,\mathrm {d} t+\sigma _{t}\,\mathrm {d} B_{t}.}$

que es la ecuación para la dinámica de la rentabilidad del precio de una acción bajo la hipótesis de que las rentabilidades presentan una distribución Log-normal . Bajo esta hipótesis, las metodologías desarrolladas por Marcello Minenna determinan intervalos de predicción capaces de identificar rentabilidades anormales que podrían ocultar fenómenos de abuso de mercado . ^{[20] [21]}

SDE en colectores

De manera más general, se puede extender la teoría del cálculo estocástico a variedades diferenciales y para este propósito se utiliza la integral de Fisk-Stratonovich. Considérese una variedad , un espacio vectorial de dimensión finita , un espacio de probabilidad filtrado con que satisface las condiciones habituales y sea la compactificación de un punto y sea -medible. Una ecuación diferencial estocástica en ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\in \mathbb {R} _{+}},P)}$ ${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{t})_{t\in \mathbb {R} _{+}}}$ ${\displaystyle {\widehat {M}}=M\cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \mathrm {d} X=A(X)\circ dZ}$

es un par , tal que ${\displaystyle (A,Z)}$

• ${\displaystyle Z}$es una semimartingala de valor continuo, ${\displaystyle E}$
• ${\displaystyle A:M\times E\to TM,(x,e)\mapsto A(x)e}$es un homomorfismo de fibrados vectoriales sobre . ${\displaystyle M}$

Para cada uno el mapa es lineal y para cada . ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle A(x):E\to T_{x}M}$ ${\displaystyle A(\cdot )e\in \Gamma (TM)}$ ${\displaystyle e\in E}$

Una solución para la SDE con condición inicial es un proceso continuo -adaptado- valorado hasta el tiempo de vida , st para cada función de prueba el proceso es una semimartingala de valor real y para cada tiempo de detención con la ecuación ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X_{0}=x_{0}}$ ${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}\}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (X_{t})_{t<\zeta }}$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle f\in C_{c}^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle 0\leq \tau <\zeta }$

${\displaystyle f(X_{\tau })=f(x_{0})+\int _{0}^{\tau }(\mathrm {d} f)_{X}A(X)\circ \mathrm {d} Z}$

se cumple -casi con seguridad, donde es el diferencial en . Es una solución máxima si el tiempo de vida es máximo, es decir, ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (df)_{X}:T_{x}M\to T_{f(x)}M}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \{\zeta <\infty \}\subset \left\{\lim \limits _{t\nearrow \zeta }X_{t}=\infty {\text{ in }}{\widehat {M}}\right\}}$

${\displaystyle P}$-casi con seguridad. Se deduce del hecho de que para cada función de prueba es una semimartingala, es decir, una semimartingala en . Dada una solución máxima podemos extender el tiempo de sobre por completo y después de una continuación de sobre obtenemos ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle f\in C_{c}^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\widehat {M}}}$

${\displaystyle f(X_{t})=f(X_{0})+\int _{0}^{t}(\mathrm {d} f)_{X}A(X)\circ \mathrm {d} Z,\quad t\geq 0}$

hasta procesos indistinguibles. ^[22] Aunque las SDE de Stratonovich son la elección natural para las SDE en variedades, dado que satisfacen la regla de la cadena y que sus coeficientes de deriva y difusión se comportan como campos vectoriales bajo cambios de coordenadas, hay casos en los que es preferible el cálculo de Ito en variedades. Una teoría del cálculo de Ito en variedades fue desarrollada por primera vez por Laurent Schwartz a través del concepto de morfismo de Schwartz, ^[6] véase también la interpretación de 2 jets relacionada de las SDE de Ito en variedades basada en el fibrado jet. ^[8] Esta interpretación es útil cuando se intenta aproximar de manera óptima la solución de una SDE dada en un espacio grande con las soluciones de una SDE dada en una subvariedad de ese espacio, ^[9] en que una proyección basada en Stratonovich no resulta ser óptima. Esto se ha aplicado al problema de filtrado , lo que lleva a filtros de proyección óptimos. ^[9]

Como caminos ásperos

Por lo general, la solución de una ecuación diferencial simple requiere un planteamiento probabilístico, ya que la integral implícita en la solución es una integral estocástica. Si fuera posible tratar la ecuación diferencial camino por camino, no sería necesario definir una integral estocástica y se podría desarrollar una teoría independientemente de la teoría de la probabilidad. Esto apunta a considerar la ecuación diferencial simple.

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}(\omega )=\mu (X_{t}(\omega ),t)\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t}(\omega ),t)\,\mathrm {d} B_{t}(\omega )}$

como una única ecuación diferencial determinista para cada , donde es el espacio muestral en el espacio de probabilidad dado ( ). Sin embargo, no es posible una interpretación directa de la SDE por trayectorias, ya que las trayectorias del movimiento browniano tienen una variación ilimitada y no son diferenciables en ninguna parte con probabilidad uno, de modo que no hay una forma ingenua de dar significado a términos como , lo que excluye también una definición ingenua por trayectorias de la integral estocástica como una integral contra cada simple . Sin embargo, motivado por el resultado de Wong-Zakai ^[23] para límites de soluciones de SDE con ruido regular y usando la teoría de trayectorias rugosas , mientras se agrega una definición elegida de integrales iteradas del movimiento browniano, es posible definir una integral rugosa determinista para cada simple que coincida, por ejemplo, con la integral de Ito con probabilidad uno para una elección particular de la integral browniana iterada. ^[23] Otras definiciones de la integral iterada conducen a equivalentes deterministas por trayectorias de diferentes integrales estocásticas, como la integral de Stratonovich. Esto se ha utilizado, por ejemplo, en matemáticas financieras para fijar el precio de opciones sin probabilidad. ^[24] ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega ,\,{\mathcal {F}},\,P}$ ${\displaystyle \mathrm {d} B_{t}(\omega )}$ ${\displaystyle \mathrm {d} B_{t}(\omega )}$ ${\displaystyle \omega \in \Omega }$

Existencia y unicidad de soluciones

Al igual que con las ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales deterministas, es importante saber si una determinada ecuación diferencial simple tiene una solución y si es única o no. El siguiente es un teorema de existencia y unicidad típico para ecuaciones diferenciales simples simples de Itô que toman valores en el espacio euclidiano n - dimensional R ⁿ y están impulsadas por un movimiento browniano m -dimensional B ; la prueba se puede encontrar en Øksendal (2003, §5.2). ^[3]

Sea T  > 0, y sea

${\displaystyle \mu :\mathbb {R} ^{n}\times [0,T]\to \mathbb {R} ^{n};}$

${\displaystyle \sigma :\mathbb {R} ^{n}\times [0,T]\to \mathbb {R} ^{n\times m};}$

sean funciones mensurables para las cuales existen constantes C y D tales que

${\displaystyle {\big |}\mu (x,t){\big |}+{\big |}\sigma (x,t){\big |}\leq C{\big (}1+|x|{\big )};}$

${\displaystyle {\big |}\mu (x,t)-\mu (y,t){\big |}+{\big |}\sigma (x,t)-\sigma (y,t){\big |}\leq D|x-y|;}$

para todo t  ∈ [0,  T ] y todo x e y  ∈  R ⁿ , donde

${\displaystyle |\sigma |^{2}=\sum _{i,j=1}^{n}|\sigma _{ij}|^{2}.}$

Sea Z una variable aleatoria que es independiente del σ -álgebra generada por B _s , s ≥ 0, y con segundo momento  finito :

${\displaystyle \mathbb {E} {\big [}|Z|^{2}{\big ]}<+\infty .}$

Entonces el problema de la ecuación diferencial estocástica/valor inicial

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\mu (X_{t},t)\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t},t)\,\mathrm {d} B_{t}{\mbox{ for }}t\in [0,T];}$

${\displaystyle X_{0}=Z;}$

tiene una solución t -continua casi seguramente única ( t ,  ω ) ↦  X _t ( ω ) tal que X está adaptada a la filtración F _t ^Z generada por Z y B _s , s  ≤  t , y

${\displaystyle \mathbb {E} \left[\int _{0}^{T}|X_{t}|^{2}\,\mathrm {d} t\right]<+\infty .}$

Caso general: condición de Lipschitz local y soluciones máximas

La ecuación diferencial estocástica anterior es solo un caso especial de una forma más general.

${\displaystyle \mathrm {d} Y_{t}=\alpha (t,Y_{t})\mathrm {d} X_{t}}$

dónde

• ${\displaystyle X}$es una semimartingala continua en y es una semimartingala continua en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$
• ${\displaystyle \alpha :\mathbb {R} _{+}\times U\to \operatorname {Lin} (\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} ^{d})}$es un mapa de algún conjunto abierto no vacío , donde es el espacio de todos los mapas lineales de a . ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \operatorname {Lin} (\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} ^{d})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

De manera más general, también se pueden observar ecuaciones diferenciales estocásticas en variedades .

Si la solución de esta ecuación explota depende de la elección de . Supongamos que satisface alguna condición local de Lipschitz, es decir, para y algún conjunto compacto y alguna constante la condición ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle t\geq 0}$ ${\displaystyle K\subset U}$ ${\displaystyle L(t,K)}$

${\displaystyle |\alpha (s,y)-\alpha (s,x)|\leq L(t,K)|y-x|,\quad x,y\in K,\;0\leq s\leq t,}$

donde es la norma euclidiana. Esta condición garantiza la existencia y unicidad de una denominada solución máxima . ${\displaystyle |\cdot |}$

Supongamos que es continua y satisface la condición local de Lipschitz anterior y sea alguna condición inicial, lo que significa que es una función medible con respecto al σ-álgebra inicial. Sea un tiempo de parada predecible con casi seguridad. Una semimartingala con valor se denomina solución máxima de ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle F:\Omega \to U}$ ${\displaystyle \zeta :\Omega \to {\overline {\mathbb {R} }}_{+}}$ ${\displaystyle \zeta >0}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle (Y_{t})_{t<\zeta }}$

${\displaystyle dY_{t}=\alpha (t,Y_{t})dX_{t},\quad Y_{0}=F}$

con tiempo de vida si ${\displaystyle \zeta }$

• Para uno (y por lo tanto para todos) anunciar que el proceso detenido es una solución a la ecuación diferencial estocástica detenida ${\displaystyle \zeta _{n}\nearrow \zeta }$ ${\displaystyle Y^{\zeta _{n}}}$

${\displaystyle \mathrm {d} Y=\alpha (t,Y)\mathrm {d} X^{\zeta _{n}}}$

• En el set tenemos casi con toda seguridad que con . ^[25] ${\displaystyle \{\zeta <\infty \}}$ ${\displaystyle Y_{t}\to \partial U}$ ${\displaystyle t\to \zeta }$

${\displaystyle \zeta }$También es un llamado tiempo de explosión .

Algunos ejemplos explícitamente solucionables

Las SDE explícitamente solucionables incluyen: ^[11]

Ecuación diferencial de ecuaciones lineales: caso general

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=(a(t)X_{t}+c(t))\mathrm {d} t+(b(t)X_{t}+d(t))\mathrm {d} W_{t}}$

${\displaystyle X_{t}=\Phi _{t,t_{0}}\left(X_{t_{0}}+\int _{t_{0}}^{t}\Phi _{s,t_{0}}^{-1}(c(s)-b(s)\mathrm {d} (s))\mathrm {d} s+\int _{t_{0}}^{t}\Phi _{s,t_{0}}^{-1}\mathrm {d} (s)\mathrm {d} W_{s}\right)}$

dónde

${\displaystyle \Phi _{t,t_{0}}=\exp \left(\int _{t_{0}}^{t}\left(a(s)-{\frac {b^{2}(s)}{2}}\right)\mathrm {d} s+\int _{t_{0}}^{t}b(s)\mathrm {d} W_{s}\right)}$

Ecuaciones de ecuaciones diferenciales reducibles: caso 1

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}={\frac {1}{2}}f(X_{t})f'(X_{t})\mathrm {d} t+f(X_{t})\mathrm {d} W_{t}}$

para una función diferenciable dada es equivalente a la EDE de Stratonovich ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=f(X_{t})\circ W_{t}}$

que tiene una solución general

${\displaystyle X_{t}=h^{-1}(W_{t}+h(X_{0}))}$

dónde

${\displaystyle h(x)=\int ^{x}{\frac {\mathrm {d} s}{f(s)}}}$

Ecuaciones de ecuaciones diferenciales reducibles: caso 2

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\left(\alpha f(X_{t})+{\frac {1}{2}}f(X_{t})f'(X_{t})\right)\mathrm {d} t+f(X_{t})\mathrm {d} W_{t}}$

para una función diferenciable dada es equivalente a la EDE de Stratonovich ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\alpha f(X_{t})\mathrm {d} t+f(X_{t})\circ W_{t}}$

que es reducible a

${\displaystyle \mathrm {d} Y_{t}=\alpha \mathrm {d} t+\mathrm {d} W_{t}}$

donde donde se define como antes. Su solución general es ${\displaystyle Y_{t}=h(X_{t})}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle X_{t}=h^{-1}(\alpha t+W_{t}+h(X_{0}))}$

SDE y supersimetría

En la teoría supersimétrica de las ecuaciones diferenciales simples, la dinámica estocástica se define a través del operador de evolución estocástica que actúa sobre las formas diferenciales en el espacio de fases del modelo. En esta formulación exacta de la dinámica estocástica, todas las ecuaciones diferenciales simples poseen supersimetría topológica que representa la preservación de la continuidad del espacio de fases mediante el flujo continuo del tiempo. La ruptura espontánea de esta supersimetría es la esencia matemática del fenómeno dinámico ubicuo conocido en todas las disciplinas como caos , turbulencia , criticidad autoorganizada , etc. y el teorema de Goldstone explica el comportamiento dinámico de largo alcance asociado, es decir, el efecto mariposa , 1/f y ruidos crepitantes , y estadísticas sin escala de terremotos, neuroavalanchas, erupciones solares, etc.

Véase también

• Ecuación diferencial estocástica hacia atrás
• Dinámica de Langevin
• Volatilidad local
• Proceso estocástico
• Volatilidad estocástica
• Ecuaciones diferenciales parciales estocásticas
• Proceso de difusión
• Ecuación diferencial estocástica

Referencias

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2. Musiela, M. y Rutkowski, M. (2004), Métodos de martingala en modelos financieros, segunda edición, Springer Verlag, Berlín.
3. Øksendal, Bernt K. (2003). Ecuaciones diferenciales estocásticas: una introducción con aplicaciones . Berlín: Springer. ISBN 3-540-04758-1.
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13. Kuznetsov, DF (2023). Aproximación fuerte de integrales estocásticas iteradas de Itô y Stratonovich: método de series de Fourier múltiples generalizadas. Aplicación a la integración numérica de ecuaciones diferenciales de Itô y ecuaciones diferenciales de Fourier semilineales. Differ. Uravn. Protsesy Upr., n.º 1. DOI: https://doi.org/10.21638/11701/spbu35.2023.110
14. Rybakov, KA (2023). Representaciones espectrales de integrales estocásticas iteradas y su aplicación para modelar dinámicas estocásticas no lineales. Matemáticas, vol. 11, 4047. DOI: https://doi.org/10.3390/math11194047
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16. Fengler, MR (2005), Modelado semiparamétrico de la volatilidad implícita, Springer Verlag, Berlín. DOI: https://doi.org/10.1007/3-540-30591-2
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18. Brigo, D, Mercurio, F, Sartorelli, G. (2003). Dinámica de precios de activos alternativos y volatilidad, QUANT FINANC, 2003, Vol: 3, Páginas: 173 - 183, ISSN  1469-7688
19. Steven Marcus (1981), "Modelado y aproximación de ecuaciones diferenciales estocásticas impulsadas por semimartigales", Stochastics , vol. 4, págs. 223-245
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22. Hackenbroch, Wolfgang; Thalmaier, Antón (1994). Análisis estocástico: Eine Einführung in die Theorie der stetigen Semimartingale (en alemán). Vieweg+Teubner Verlag Wiesbaden. pag. 364-365. ISBN 978-3-519-02229-9.
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24. Armstrong, J., Bellani, C., Brigo, D. y Cass, T. (2021). Modelos de valoración de opciones sin probabilidad: un enfoque de caminos aproximados. Mathematical Finance, vol. 31, páginas 1494–1521.
25. Hackenbroch, Wolfgang; Thalmaier, Antón (1994). Análisis estocástico: Eine Einführung in die Theorie der stetigen Semimartingale (en alemán). Vieweg+Teubner Verlag Wiesbaden. págs. 297–299. ISBN 978-3-519-02229-9.

Lectura adicional

• Evans, Lawrence C (2013). Introducción a las ecuaciones diferenciales estocásticas American Mathematical Society.
• Adomian, George (1983). Sistemas estocásticos . Matemáticas en la ciencia y la ingeniería (169). Orlando, FL: Academic Press Inc.
• Adomian, George (1986). Ecuaciones de operadores estocásticos no lineales . Orlando, FL: Academic Press Inc. ISBN 978-0-12-044375-8.
• Adomian, George (1989). Teoría de sistemas estocásticos no lineales y aplicaciones a la física . Matemáticas y sus aplicaciones (46). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group.
• Calin, Ovidiu (2015). Introducción informal al cálculo estocástico con aplicaciones . Singapur: World Scientific Publishing. pág. 315. ISBN 978-981-4678-93-3.
• Teugels, J.; Sund, B., eds. (2004). Enciclopedia de ciencia actuarial . Chichester: Wiley. págs. 523–527.
• CW Gardiner (2004). Manual de métodos estocásticos: para física, química y ciencias naturales . Springer. pág. 415.
• Thomas Mikosch (1998). Cálculo estocástico elemental: con las finanzas en mente . Singapur: World Scientific Publishing. p. 212. ISBN 981-02-3543-7.
• Seifedine Kadry (2007). "Una solución de la ecuación diferencial estocástica lineal". Wseas Transactions on Mathematics . Estados Unidos: WSEAS TRANSACTIONS on MATHEMATICS, abril de 2007.: 618. ISSN  1109-2769.
• Higham., Desmond J. (enero de 2001). "Introducción algorítmica a la simulación numérica de ecuaciones diferenciales estocásticas". SIAM Review . 43 (3): 525–546. Bibcode :2001SIAMR..43..525H. CiteSeerX  10.1.1.137.6375 . doi :10.1137/S0036144500378302.
• Desmond Higham y Peter Kloeden: "Introducción a la simulación numérica de ecuaciones diferenciales estocásticas", SIAM, ISBN 978-1-611976-42-7 (2021).