Ecuación diferencial estocástica hacia atrás

Ecuaciones diferenciales estocásticas con condición terminal.

Una ecuación diferencial estocástica inversa ( BSDE ) es una ecuación diferencial estocástica con una condición terminal en la que se requiere que la solución se adapte con respecto a una filtración subyacente. Los BSDE surgen naturalmente en diversas aplicaciones, como el control estocástico , las finanzas matemáticas y las fórmulas no lineales de Feynman-Kac . ^[1]

Fondo

Las ecuaciones diferenciales estocásticas hacia atrás fueron introducidas por Jean-Michel Bismut en 1973 en el caso lineal ^[2] y por Étienne Pardoux y Shige Peng en 1990 en el caso no lineal. ^[3]

Marco matemático

Fijar un tiempo terminal y un espacio de probabilidad . Sea un movimiento browniano con filtración natural . Una ecuación diferencial estocástica hacia atrás es una ecuación integral del tipo ${\displaystyle T>0}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ ${\displaystyle (B_{t})_{t\in [0,T]}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{t})_{t\in [0,T]}}$

donde se llama generador del BSDE, la condición terminal es una variable aleatoria medible, y la solución consta de procesos estocásticos y que se adaptan a la filtración . ${\displaystyle f:[0,T]\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{T}}$ ${\displaystyle (Y_{t},Z_{t})_{t\in [0,T]}}$ ${\displaystyle (Y_{t})_{t\in [0,T]}}$ ${\displaystyle (Z_{t})_{t\in [0,T]}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{t})_{t\in [0,T]}}$

Ejemplo

En este caso , el BSDE ( 1 ) se reduce a ${\displaystyle f\equiv 0}$

Si , entonces se deduce del teorema de representación de martingala que existe un proceso estocástico único tal que y satisface el BSDE ( 2 ). ${\displaystyle \xi \in L^{2}(\Omega ,\mathbb {P} )}$ ${\displaystyle (Z_{t})_{t\in [0,T]}}$ ${\displaystyle Y_{t}=\mathbb {E} [\xi |{\mathcal {F}}_{t}]}$ ${\displaystyle Z_{t}}$

Ver también

• Teorema de representación de martingala
• control estocástico
• Ecuación diferencial estocástica

Referencias

1. Mamá, Jin; Yong, Jiongmin (2007). Ecuaciones diferenciales estocásticas hacia adelante y hacia atrás y sus aplicaciones. Apuntes de conferencias de matemáticas. vol. 1702. Springer Berlín, Heidelberg. doi :10.1007/978-3-540-48831-6. ISBN 978-3-540-65960-0.
2. Bismut, Jean-Michel (1973). "Funciones convexas conjugadas en control estocástico óptimo". Revista de Análisis y Aplicaciones Matemáticas . 44 (2): 384–404. doi :10.1016/0022-247X(73)90066-8.
3. Pardoux, Etienne; Peng, Shi Ge (1990). "Solución adaptada de una ecuación diferencial estocástica inversa". Cartas de sistemas y control . 14 : 55–61. doi :10.1016/0167-6911(90)90082-6.

Otras lecturas

• Pardoux, Etienne; Răşcanu, Aurel (2014). Ecuaciones diferenciales estocásticas, EDE hacia atrás, ecuaciones diferenciales parciales . Modelización estocástica y probabilidad aplicada. Springer International Publishing Suiza.
• Zhang, Jianfeng (2017). Ecuaciones diferenciales estocásticas hacia atrás . Teoría de la probabilidad y modelación estocástica. Springer Nueva York, Nueva York.