En matemáticas , la topología diferencial es el campo que estudia las propiedades topológicas y las propiedades suaves [a] de las variedades suaves . En este sentido, la topología diferencial se distingue del campo estrechamente relacionado de la geometría diferencial , que estudia las propiedades geométricas de las variedades suaves, incluidas las nociones de tamaño, distancia y forma rígida. En comparación, la topología diferencial estudia propiedades más generales, como el número de huecos en una variedad, su tipo de homotopía o la estructura de su grupo de difeomorfismos . Debido a que muchas de estas propiedades más generales se pueden captar algebraicamente , la topología diferencial tiene fuertes vínculos con la topología algebraica . [1]
El objetivo central del campo de la topología diferencial es la clasificación de todas las variedades suaves hasta el difeomorfismo . Dado que la dimensión es un invariante de las variedades suaves hasta el tipo difeomorfismo, esta clasificación se estudia a menudo clasificando las variedades ( conexas ) en cada dimensión por separado:
A partir de la dimensión 4, la clasificación se vuelve mucho más difícil por dos razones. [5] [6] En primer lugar, cada grupo finitamente presentado aparece como el grupo fundamental de alguna 4-variedad , y dado que el grupo fundamental es un invariante de difeomorfismo, esto hace que la clasificación de 4-variedades sea al menos tan difícil como la clasificación de grupos finitamente presentados. Por el problema de palabras para grupos , que es equivalente al problema de detención , es imposible clasificar tales grupos, por lo que una clasificación topológica completa es imposible. En segundo lugar, a partir de la dimensión cuatro es posible tener variedades suaves que sean homeomorfas, pero con estructuras suaves distintas, no difeomorfas . Esto es cierto incluso para el espacio euclidiano , que admite muchas estructuras exóticas . Esto significa que el estudio de la topología diferencial en dimensiones 4 y superiores debe utilizar herramientas genuinamente fuera del ámbito de la topología continua regular de variedades topológicas . Uno de los problemas centrales abiertos en topología diferencial es la conjetura de Poincaré de cuatro dimensiones , que pregunta si cada 4-variedad suave que es homeomorfa a la 4-esfera , es también difeomorfa a ella. Es decir, ¿la 4-esfera admite sólo una estructura suave ? Esta conjetura es verdadera en las dimensiones 1, 2 y 3, por los resultados de clasificación anteriores, pero se sabe que es falsa en la dimensión 7 debido a las esferas de Milnor .
Las herramientas importantes para estudiar la topología diferencial de variedades suaves incluyen la construcción de invariantes topológicos suaves de dichas variedades, como la cohomología de De Rham o la forma de intersección , así como construcciones topológicas suavizables, como la teoría de cirugía suave o la construcción de cobordismos . La teoría de Morse es una herramienta importante que estudia las variedades suaves considerando los puntos críticos de las funciones diferenciables en la variedad, demostrando cómo la estructura suave de la variedad entra en el conjunto de herramientas disponibles. [7] A menudo se pueden utilizar técnicas más geométricas o analíticas, equipando una variedad suave con una métrica de Riemann o estudiando una ecuación diferencial en ella. Se debe tener cuidado para asegurar que la información resultante sea insensible a esta elección de estructura adicional y, por lo tanto, refleje genuinamente solo las propiedades topológicas de la variedad suave subyacente. Por ejemplo, el teorema de Hodge proporciona una interpretación geométrica y analítica de la cohomología de De Rham, y la teoría de gauge fue utilizada por Simon Donaldson para demostrar hechos sobre la forma de intersección de 4-variedades simplemente conexas. [8] En algunos casos pueden aparecer técnicas de la física contemporánea , como la teoría cuántica de campos topológica , que se puede utilizar para calcular invariantes topológicos de espacios suaves.
Los teoremas famosos en topología diferencial incluyen el teorema de incrustación de Whitney , el teorema de la bola peluda , el teorema de Hopf , el teorema de Poincaré-Hopf , el teorema de Donaldson y la conjetura de Poincaré .
La topología diferencial considera las propiedades y estructuras que requieren únicamente una estructura suave en una variedad para ser definidas. Las variedades suaves son "más suaves" que las variedades con estructuras geométricas adicionales, que pueden actuar como obstáculos para ciertos tipos de equivalencias y deformaciones que existen en la topología diferencial. Por ejemplo, el volumen y la curvatura de Riemann son invariantes que pueden distinguir diferentes estructuras geométricas en la misma variedad suave; es decir, se pueden "aplanar" suavemente ciertas variedades, pero podría requerir distorsionar el espacio y afectar la curvatura o el volumen. [ cita requerida ]
Por otra parte, las variedades suaves son más rígidas que las variedades topológicas . John Milnor descubrió que algunas esferas tienen más de una estructura suave (véase Esfera exótica y Teorema de Donaldson) . Michel Kervaire exhibió variedades topológicas sin estructura suave en absoluto. [9] Algunas construcciones de la teoría de variedades suaves, como la existencia de fibrados tangentes , [10] se pueden realizar en el entorno topológico con mucho más trabajo, y otras no.
Uno de los temas principales de la topología diferencial es el estudio de tipos especiales de aplicaciones suaves entre variedades, a saber, inmersiones y sumersiones , y las intersecciones de subvariedades mediante transversalidad . De manera más general, uno está interesado en las propiedades e invariantes de las variedades suaves que se transfieren mediante difeomorfismos , otro tipo especial de aplicación suave. La teoría de Morse es otra rama de la topología diferencial, en la que la información topológica sobre una variedad se deduce de los cambios en el rango del jacobiano de una función.
Para obtener una lista de temas de topología diferencial, consulte la siguiente referencia: Lista de temas de geometría diferencial .
La topología diferencial y la geometría diferencial se caracterizan en primer lugar por su similitud . Ambas estudian principalmente las propiedades de variedades diferenciables, a veces con una variedad de estructuras impuestas sobre ellas.
Una diferencia importante radica en la naturaleza de los problemas que cada tema intenta abordar. En una perspectiva, [4] la topología diferencial se distingue de la geometría diferencial al estudiar principalmente aquellos problemas que son inherentemente globales . Consideremos el ejemplo de una taza de café y una dona. Desde el punto de vista de la topología diferencial, la dona y la taza de café son lo mismo (en cierto sentido). Sin embargo, esta es una perspectiva inherentemente global, porque no hay forma de que el topólogo diferencial diga si los dos objetos son lo mismo (en este sentido) mirando solo una pequeña parte ( local ) de cualquiera de ellos. Debe tener acceso a cada objeto completo ( global ).
Desde el punto de vista de la geometría diferencial, la taza de café y el donut son diferentes porque es imposible girar la taza de café de tal manera que su configuración coincida con la del donut. Esta es también una forma global de pensar en el problema. Pero una distinción importante es que el geómetra no necesita el objeto entero para decidir esto. Al observar, por ejemplo, solo una pequeña parte del asa, puede decidir que la taza de café es diferente del donut porque el asa es más delgada (o más curvada) que cualquier parte del donut.
En pocas palabras, la topología diferencial estudia las estructuras en variedades que, en cierto sentido, no tienen una estructura local interesante. La geometría diferencial estudia las estructuras en variedades que sí tienen una estructura local interesante (o, a veces, incluso infinitesimal).
Más matemáticamente, por ejemplo, el problema de construir un difeomorfismo entre dos variedades de la misma dimensión es inherentemente global ya que localmente dos de tales variedades son siempre difeomorfas. De la misma manera, el problema de calcular una cantidad en una variedad que es invariante bajo aplicaciones diferenciables es inherentemente global, ya que cualquier invariante local será trivial en el sentido de que ya se exhibe en la topología de . Además, la topología diferencial no se restringe necesariamente al estudio del difeomorfismo. Por ejemplo, la topología simpléctica —una subrama de la topología diferencial— estudia las propiedades globales de las variedades simplécticas . La geometría diferencial se ocupa de problemas —que pueden ser locales o globales— que siempre tienen algunas propiedades locales no triviales. De este modo, la geometría diferencial puede estudiar variedades diferenciables dotadas de una conexión , una métrica (que puede ser riemanniana , pseudo-riemanniana o de Finsler ), un tipo especial de distribución (como una estructura CR ), etcétera.
Sin embargo, esta distinción entre geometría diferencial y topología diferencial se difumina en cuestiones que se refieren específicamente a invariantes locales del difeomorfismo, como el espacio tangente en un punto. La topología diferencial también se ocupa de cuestiones como estas, que se refieren específicamente a las propiedades de las aplicaciones diferenciables en (por ejemplo, el fibrado tangente , los fibrados jet , el teorema de extensión de Whitney , etc.).
La distinción es concisa en términos abstractos:
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