Colector Finsler

Generalización de las variedades de Riemann

En matemáticas , particularmente en geometría diferencial , una variedad de Finsler es una variedad diferenciable M donde se proporciona una norma de Minkowski (posiblemente asimétrica ) F ( x , −) en cada espacio tangente T _x M , que permite definir la longitud de cualquier curva suave γ  : [ a , b ] → M como

${\displaystyle L(\gamma )=\int _{a}^{b}F\left(\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t)\right)\,\mathrm {d} t.}$

Las variedades de Finsler son más generales que las variedades de Riemann ya que las normas tangentes no necesitan ser inducidas por productos internos .

Toda variedad de Finsler se convierte en un espacio cuasimétrico intrínseco cuando la distancia entre dos puntos se define como la longitud ínfima de las curvas que los unen.

Élie Cartan  (1933) denominó variedades de Finsler en honor a Paul Finsler , quien estudió esta geometría en su tesis (Finsler 1918).

Definición

Una variedad de Finsler es una variedad diferenciable M junto con una métrica de Finsler , que es una función continua no negativa F : T M → [0, +∞) definida en el fibrado tangente de modo que para cada punto x de M ,

• F ( v + w ) ≤ F ( v ) + F ( w ) para cada dos vectores v , w tangentes a M en x ( subaditividad ).
• F (λ v ) = λ F ( v ) para todos λ ≥ 0 (pero no necesariamente para  λ < 0) ( homogeneidad positiva ).
• F ( v ) > 0 a menos que v = 0 ( definición positiva ).

En otras palabras, F ( x , −) es una norma asimétrica en cada espacio tangente T _x M . También se requiere que la métrica de Finsler F sea suave , más precisamente:

• F es suave en el complemento de la sección cero de T M .

El axioma de subaditividad puede entonces reemplazarse por la siguiente condición de convexidad fuerte :

• Para cada vector tangente v ≠ 0 , la matriz hessiana de F ² en v es definida positiva .

Aquí el hessiano de F ² en v es la forma bilineal simétrica

${\displaystyle \mathbf {g} _{v}(X,Y):={\frac {1}{2}}\left.{\frac {\partial ^{2}}{\partial s\partial t}}\left[F(v+sX+tY)^{2}\right]\right|_{s=t=0},}$

también conocido como tensor fundamental de F en v . La convexidad fuerte de F implica la subaditividad con una desigualdad estricta si u ⁄ F ( u ) ≠ v ⁄ F ( v ) . Si F es fuertemente convexa, entonces es una norma de Minkowski en cada espacio tangente.

Una métrica de Finsler es reversible si, además,

• F (− v ) = F ( v ) para todos los vectores tangentes v .

Una métrica de Finsler reversible define una norma (en el sentido habitual) en cada espacio tangente.

Ejemplos

• Las subvariedades suaves (incluidos los subconjuntos abiertos) de un espacio vectorial normado de dimensión finita son variedades de Finsler si la norma del espacio vectorial es suave fuera del origen.
• Las variedades de Riemann (pero no las variedades pseudo-riemannianas ) son casos especiales de variedades de Finsler.

Colectores Randers

Sea una variedad riemanniana y b una uniforma diferencial en M con ${\displaystyle (M,a)}$

${\displaystyle \|b\|_{a}:={\sqrt {a^{ij}b_{i}b_{j}}}<1,}$

donde es la matriz inversa de y se utiliza la notación de Einstein . Entonces ${\displaystyle \left(a^{ij}\right)}$ ${\displaystyle (a_{ij})}$

${\displaystyle F(x,v):={\sqrt {a_{ij}(x)v^{i}v^{j}}}+b_{i}(x)v^{i}}$

define una métrica de Randers en M y es una variedad de Randers , un caso especial de una variedad de Finsler no reversible. ^[1] ${\displaystyle (M,F)}$

Espacios cuasimetricos lisos

Sea ( M , d ) una cuasimetrica tal que M es también una variedad diferenciable y d es compatible con la estructura diferencial de M en el siguiente sentido:

• Alrededor de cualquier punto z en M existe un gráfico suave ( U , φ) de M y una constante C  ≥ 1 tal que para cada x ,  y  ∈  U

  ${\displaystyle {\frac {1}{C}}\|\phi (y)-\phi (x)\|\leq d(x,y)\leq C\|\phi (y)-\phi (x)\|.}$

• La función d :  M  ×  M  → [0, ∞] es suave en algún vecindario perforado de la diagonal.

Luego se puede definir una función de Finsler F :  TM  →[0, ∞] por

${\displaystyle F(x,v):=\lim _{t\to 0+}{\frac {d(\gamma (0),\gamma (t))}{t}},}$

donde γ es cualquier curva en M con γ (0) =  x y γ' (0) = v. La función de Finsler F obtenida de esta manera se restringe a una norma asimétrica (típicamente no Minkowski) en cada espacio tangente de M . La métrica intrínseca inducida d _L : M × M → [0, ∞] de la cuasimetrica original se puede recuperar de

${\displaystyle d_{L}(x,y):=\inf \left\{\ \left.\int _{0}^{1}F\left(\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t)\right)\,dt\ \right|\ \gamma \in C^{1}([0,1],M)\ ,\ \gamma (0)=x\ ,\ \gamma (1)=y\ \right\},}$

y de hecho, cualquier función de Finsler F : T M  → [0, ∞) define un d _L cuasimétrico intrínseco en M mediante esta fórmula.

Geodésicas

Debido a la homogeneidad de F la longitud

${\displaystyle L[\gamma ]:=\int _{a}^{b}F\left(\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t)\right)\,dt}$

de una curva diferenciable γ : [ a , b ] → M en M es invariante bajo reparametrizaciones orientadas positivamente . Una curva de velocidad constante γ es una geodésica de una variedad de Finsler si sus segmentos suficientemente cortos γ | _{[ c , d ]} minimizan la longitud en M desde γ ( c ) hasta γ ( d ). De manera equivalente, γ es una geodésica si es estacionaria para la función de energía .

${\displaystyle E[\gamma ]:={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}F^{2}\left(\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t)\right)\,dt}$

en el sentido de que su derivada funcional se desvanece entre curvas diferenciables γ : [ a , b ] → M con puntos finales fijos γ ( a ) = x y γ ( b ) = y .

Estructura de pulverización canónica en un colector Finsler

La ecuación de Euler-Lagrange para la funcional de energía E [ γ ] se lee en las coordenadas locales ( x ¹ , ..., x ⁿ , v ¹ , ..., v ⁿ ) de T M como

${\displaystyle g_{ik}{\Big (}\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t){\Big )}{\ddot {\gamma }}^{i}(t)+\left({\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{j}}}{\Big (}\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t){\Big )}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{k}}}{\Big (}\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t){\Big )}\right){\dot {\gamma }}^{i}(t){\dot {\gamma }}^{j}(t)=0,}$

donde k = 1, ..., n y g _ij es la representación de coordenadas del tensor fundamental, definido como

${\displaystyle g_{ij}(x,v):=g_{v}\left(\left.{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\right|_{x},\left.{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\right|_{x}\right).}$

Suponiendo la fuerte convexidad de F ² ( x , v ) con respecto a v ∈ T _x M , la matriz g _ij ( x , v ) es invertible y su inversa se denota por g ^ij ( x , v ). Entonces γ : [ a , b ] → M es una geodésica de ( M , F ) si y solo si su curva tangente γ' : [ a , b ] → T M ∖{0} es una curva integral del campo vectorial suave H en T M ∖{0} definido localmente por

${\displaystyle \left.H\right|_{(x,v)}:=\left.v^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\right|_{(x,v)}\!\!-\left.2G^{i}(x,v){\frac {\partial }{\partial v^{i}}}\right|_{(x,v)},}$

donde los coeficientes de pulverización locales G ⁱ están dados por

${\displaystyle G^{i}(x,v):={\frac {1}{4}}g^{ij}(x,v)\left(2{\frac {\partial g_{jk}}{\partial x^{\ell }}}(x,v)-{\frac {\partial g_{k\ell }}{\partial x^{j}}}(x,v)\right)v^{k}v^{\ell }.}$

El campo vectorial H en T M ∖{0} satisface JH  =  V y [ V ,  H ] =  H , donde J y V son el endomorfismo canónico y el campo vectorial canónico en T M ∖{0}. Por lo tanto, por definición, H es una pulverización en  M . La pulverización H define una conexión no lineal en el haz de fibras T M ∖{0} → M a través de la proyección vertical

${\displaystyle v:T(\mathrm {T} M\setminus \{0\})\to T(\mathrm {T} M\setminus \{0\});\quad v:={\frac {1}{2}}{\big (}I+{\mathcal {L}}_{H}J{\big )}.}$

En analogía con el caso de Riemann , existe una versión

${\displaystyle D_{\dot {\gamma }}D_{\dot {\gamma }}X(t)+R_{\dot {\gamma }}\left({\dot {\gamma }}(t),X(t)\right)=0}$

de la ecuación de Jacobi para una estructura de pulverización general ( M , H ) en términos de la curvatura de Ehresmann y la derivada covariante no lineal .

Singularidad y propiedades minimizadoras de las geodésicas

Por el teorema de Hopf-Rinow siempre existen curvas que minimizan la longitud (al menos en vecindarios suficientemente pequeños) en ( M ,  F ). Las curvas que minimizan la longitud siempre pueden ser reparametrizadas positivamente para ser geodésicas, y cualquier geodésica debe satisfacer la ecuación de Euler-Lagrange para E [ γ ]. Suponiendo la fuerte convexidad de F ² existe una geodésica máxima única γ con γ (0) = x y γ' (0) = v para cualquier ( x ,  v ) ∈ T M ∖{0} por la unicidad de las curvas integrales .

Si F ² es fuertemente convexa, las geodésicas γ : [0,  b ] →  M minimizan la longitud entre curvas cercanas hasta el primer punto γ ( s ) conjugado a γ (0) a lo largo de γ , y para t  >  s siempre existen curvas más cortas desde γ (0) a γ ( t ) cerca de γ , como en el caso de Riemann .

Notas

1. Randers, G. (1941). "Sobre una métrica asimétrica en el espacio cuatridimensional de la relatividad general". Phys. Rev. 59 (2): 195–199. doi :10.1103/PhysRev.59.195. hdl : 10338.dmlcz/134230 .

Véase también

• Variedad de Banach  : Variedad modelada en espacios de Banach
• Variedad de Fréchet  : espacio topológico modelado sobre un espacio de Fréchet de la misma manera que una variedad se modela sobre un espacio euclidianoPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Análisis global , que utiliza variedades de Hilbert y otros tipos de variedades de dimensión infinita
• Variedad de Hilbert  : Variedad modelada a partir de espacios de Hilbert

Referencias

• Antonelli, Peter L. , ed. (2003), Manual de geometría de Finsler. Vol. 1, 2, Boston: Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-4020-1557-1, Sr.  2067663
• Bao, David; Chern, Shiing-Shen ; Shen, Zhongmin (2000). Introducción a la geometría de Riemann-Finsler . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 200. Nueva York: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-1268-3. ISBN . 0-387-98948-X.Señor 1747675  .
• Cartan, Élie (1933), "Sur les espaces de Finsler", CR Acad. Ciencia. París , 196 : 582–586, Zbl  0006.22501
• Chern, Shiing-Shen (1996), "La geometría de Finsler es simplemente geometría de Riemann sin la restricción cuadrática" (PDF) , Avisos de la American Mathematical Society , 43 (9): 959–63, MR  1400859
• Finsler, Paul (1918), Über Kurven und Flächen in allgemeinen Räumen , Disertación, Göttingen, JFM  46.1131.02(Reimpreso por Birkhäuser (1951))
• Rund, Hanno (1959). La geometría diferencial de los espacios de Finsler . Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. vol. 101. Berlín-Göttingen-Heidelberg: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-3-642-51610-8. ISBN 978-3-642-51612-2.Sr. 0105726  .
• Shen, Zhongmin (2001). Lecciones sobre geometría de Finsler . Singapur: World Scientific. doi :10.1142/4619. ISBN. 981-02-4531-9.Señor 1845637  .

Enlaces externos

• "Espacio de Finsler, generalizado", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• El (nuevo) boletín de Finsler