colector de banach

Colector modelado en espacios de Banach

En matemáticas , una variedad de Banach es una variedad modelada en espacios de Banach . Por lo tanto, es un espacio topológico en el que cada punto tiene una vecindad homeomorfa a un conjunto abierto en un espacio de Banach (a continuación se proporciona una definición más complicada y formal). Las variedades de Banach son una posibilidad de extender las variedades a infinitas dimensiones .

Una generalización adicional es a las variedades de Fréchet , reemplazando los espacios de Banach por espacios de Fréchet . Por otro lado, una variedad de Hilbert es un caso especial de una variedad de Banach en la que la variedad se modela localmente en espacios de Hilbert .

Definición

Sea un conjunto . Un atlas de clase es una colección de pares (llamados gráficos ) tales que ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C^{r},}$ ${\displaystyle r\geq 0,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(U_{i},\varphi _{i}\right),}$ ${\displaystyle i\in I,}$

1. cada uno es un subconjunto de y la unión de es el todo de ; ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle X}$
2. cada uno es una biyección de un subconjunto abierto de algún espacio de Banach y para cualquier índice está abierto en ${\displaystyle \varphi _{i}}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle \varphi _{i}\left(U_{i}\right)}$ ${\displaystyle E_{i},}$ ${\displaystyle i{\text{ and }}j,}$ ${\displaystyle \varphi _{i}\left(U_{i}\cap U_{j}\right)}$ ${\displaystyle E_{i};}$
3. el mapa cruzado
   $${\displaystyle \varphi _{j}\circ \varphi _{i}^{-1}:\varphi _{i}\left(U_{i}\cap U_{j}\right)\to \varphi _{j}\left(U_{i}\cap U_{j}\right)}$$
   es una función -veces continuamente diferenciable para cada es decir, la derivada de Fréchet ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle i,j\in I;}$ ${\displaystyle r}$
   $${\displaystyle \mathrm {d} ^{r}\left(\varphi _{j}\circ \varphi _{i}^{-1}\right):\varphi _{i}\left(U_{i}\cap U_{j}\right)\to \mathrm {Lin} \left(E_{i}^{r};E_{j}\right)}$$
   existe y es una función continua con respecto a la topología normal en subconjuntos de y la topología normal del operador en ${\displaystyle E_{i}}$ ${\displaystyle E_{i}}$ ${\displaystyle \operatorname {Lin} \left(E_{i}^{r};E_{j}\right).}$

Entonces se puede demostrar que existe una topología única de modo que cada una es abierta y cada una es un homeomorfismo . Muy a menudo, se supone que este espacio topológico es un espacio de Hausdorff , pero esto no es necesario desde el punto de vista de la definición formal. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle \varphi _{i}}$

Si todos los espacios de Banach son iguales al mismo espacio, el atlas se llama -atlas . Sin embargo, no es necesario a priori que los espacios de Banach sean el mismo espacio, o incluso isomórficos, que los espacios vectoriales topológicos . Sin embargo, si dos gráficos y tienen una intersección no vacía , un examen rápido de la derivada del mapa cruzado ${\displaystyle E_{i}}$ ${\displaystyle E,}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E_{i}}$ ${\displaystyle \left(U_{i},\varphi _{i}\right)}$ ${\displaystyle \left(U_{j},\varphi _{j}\right)}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle U_{j}}$

$${\displaystyle \varphi _{j}\circ \varphi _{i}^{-1}:\varphi _{i}\left(U_{i}\cap U_{j}\right)\to \varphi _{j}\left(U_{i}\cap U_{j}\right)}$$

cerradocomponente conectado ${\displaystyle E_{i}}$ ${\displaystyle E_{j}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \left(U_{i},\varphi _{i}\right)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle E_{i}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E.}$

Una nueva carta se considera compatible con un atlas determinado si el mapa cruzado ${\displaystyle (U,\varphi )}$ ${\displaystyle \left\{\left(U_{i},\varphi _{i}\right):i\in I\right\}}$

$${\displaystyle \varphi _{i}\circ \varphi ^{-1}:\varphi \left(U\cap U_{i}\right)\to \varphi _{i}\left(U\cap U_{i}\right)}$$

relación de equivalencia ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle i\in I.}$ ${\displaystyle X.}$

Una estructura múltiple se define entonces como una elección de clase de equivalencia de atlas de clase. Si todos los espacios de Banach son isomórficos como espacios vectoriales topológicos (que se garantiza que será el caso si es conexo ), entonces se puede crear un atlas equivalente. encontrado para el cual todos son iguales a algún espacio de Banach se llama entonces una variedad , o se dice que está modelado sobre ${\displaystyle C^{r}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C^{r}.}$ ${\displaystyle E_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E.}$

Ejemplos

Cada espacio de Banach puede identificarse canónicamente como una variedad de Banach. Si es un espacio de Banach, entonces es una variedad de Banach con un atlas que contiene un único gráfico definido globalmente (el mapa de identidad ). ${\displaystyle (X,\|\,\cdot \,\|)}$ ${\displaystyle X}$

De manera similar, si es un subconjunto abierto de algún espacio de Banach, entonces es una variedad de Banach. (Consulte el teorema de clasificación a continuación). ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$

Clasificación hasta el homeomorfismo.

De ninguna manera es cierto que una variedad de dimensión de dimensión finita sea globalmente homeomorfa o incluso un subconjunto abierto de Sin embargo, en un entorno de dimensión infinita, es posible clasificar variedades de Banach " de buen comportamiento " hasta el homeomorfismo bastante bien. . Un teorema de 1969 de David Henderson ^[1] establece que cada variedad de Banach métrica , separable y de dimensión infinita puede incluirse como un subconjunto abierto del espacio de Hilbert separable y de dimensión infinita (hasta el isomorfismo lineal, solo hay uno de esos espacios). , generalmente identificado con ). De hecho, el resultado de Henderson es más contundente: la misma conclusión es válida para cualquier variedad métrica modelada en un espacio de Fréchet separable de dimensión infinita . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \ell ^{2}}$

El homeomorfismo de incrustación se puede utilizar como un gráfico global para Por lo tanto, en el caso métrico, separable y de dimensión infinita, las "únicas" variedades de Banach son los subconjuntos abiertos del espacio de Hilbert. ${\displaystyle X.}$

Ver también

• Haz de Banach  : haz de vectores cuyas fibras forman espacios de BanachPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Diferenciación en espacios de Fréchet
• Colector Finsler  : colector liso equipado con una función de Minkowski en cada espacio tangentePages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Variedad de Fréchet  : espacio topológico modelado en un espacio de Fréchet de la misma manera que una variedad se modela en un espacio euclidiano.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Análisis global : que utiliza variedades de Banach y otros tipos de variedades de dimensión infinita
• Colector de Hilbert  : colector modelado en espacios de Hilbert

Referencias

1. Henderson 1969.

• Abraham, Ralph; Marsden, JE; Ratiu, Tudor (1988). Colectores, análisis tensorial y aplicaciones . Nueva York: Springer. ISBN 0-387-96790-7.
• Anderson, RD (1969). "Conjuntos muy insignificantes en variedades de Fréchet" (PDF) . Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense . 75 (1). Sociedad Estadounidense de Matemáticas (AMS): 64–67. doi :10.1090/s0002-9904-1969-12146-4. ISSN  0273-0979. S2CID  34049979.
• Anderson, RD; Schori, R. (1969). "Factores de variedades de dimensión infinita" (PDF) . Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense . 142 . Sociedad Estadounidense de Matemáticas (AMS): 315–330. doi :10.1090/s0002-9947-1969-0246327-5. ISSN  0002-9947.
• Henderson, David W. (1969). "Las variedades de dimensión infinita son subconjuntos abiertos del espacio de Hilbert". Toro. América. Matemáticas. Soc . 75 (4): 759–762. doi : 10.1090/S0002-9904-1969-12276-7 . SEÑOR  0247634.
• Lang, Serge (1972). Colectores diferenciales . Reading, Mass.–Londres–Don Mills, Ontario: Addison-Wesley Publishing Co., Inc.
• Zeidler, Eberhard (1997). Análisis funcional no lineal y sus Aplicaciones. Vol.4 . Springer-Verlag Nueva York Inc.