Variedad de Hilbert

Variedad modelada en espacios de Hilbert

En matemáticas , una variedad de Hilbert es una variedad modelada a partir de espacios de Hilbert . Por lo tanto, es un espacio de Hausdorff separable en el que cada punto tiene un entorno homeomorfo a un espacio de Hilbert de dimensión infinita . El concepto de variedad de Hilbert ofrece la posibilidad de extender la teoría de variedades a un entorno de dimensión infinita. De manera análoga a la situación de dimensión finita, se puede definir una variedad de Hilbert diferenciable considerando un atlas maximal en el que las funciones de transición son diferenciables.

Propiedades

Muchas construcciones básicas de la teoría de variedades, como el espacio tangente de una variedad y un entorno tubular de una subvariedad (de codimensión finita) se trasladan de la situación de dimensión finita a la situación de Hilbert con pocos cambios. Sin embargo, en enunciados que involucran funciones entre variedades, a menudo hay que restringir la consideración a funciones de Fredholm , es decir, funciones cuya diferencial en cada punto es Fredholm . La razón de esto es que el lema de Sard es válido para funciones de Fredholm, pero no en general. A pesar de esta diferencia, las variedades de Hilbert tienen varias propiedades muy interesantes.

• Teorema de Kuiper : Sies un espacio topológico compacto o tiene el tipo de homotopía de un complejo CW entonces todo fibrado espacial de Hilbert (real o complejo)sobrees trivial. En particular, toda variedad de Hilbert es paralelizable . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• Cada variedad de Hilbert suave se puede incrustar suavemente en un subconjunto abierto del espacio de Hilbert modelo.
• Toda equivalencia homotópica entre dos variedades de Hilbert es homotópica respecto de un difeomorfismo . En particular, cada dos variedades de Hilbert equivalentes por homotopía ya son difeomorfas. Esto contrasta con los espacios de lentes y las esferas exóticas , que demuestran que en la situación de dimensión finita, la equivalencia homotópica, el homeomorfismo y el difeomorfismo de las variedades son propiedades distintas.
• Aunque el teorema de Sard no se cumple en general, cada mapa continuo de una variedad de Hilbert puede aproximarse de forma arbitrariamente cercana mediante un mapa suave que no tiene puntos críticos . ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle g:X\to \mathbb {R} ^{n}}$

Ejemplos

• Cualquier espacio de Hilbert es una variedad de Hilbert con una única carta global dada por la función identidad en Además, dado que es un espacio vectorial, el espacio tangente a en cualquier punto es canónicamente isomorfo a sí mismo, y por lo tanto tiene un producto interno natural, el "mismo" que el de Por lo tanto, se puede dar la estructura de una variedad de Riemann con métrica donde denota el producto interno en ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H.}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \operatorname {T} _{p}H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle p\in H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H.}$ ${\displaystyle H}$ $${\displaystyle g(v,w)(p):=\langle v,w\rangle _{H}{\text{ for }}v,w\in \mathrm {T} _{p}H,}$$ ${\displaystyle \langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle _{H}}$ ${\displaystyle H.}$
• De manera similar, cualquier subconjunto abierto de un espacio de Hilbert es una variedad de Hilbert y una variedad de Riemann bajo la misma construcción que para todo el espacio.
• Existen varios espacios de mapeo entre variedades que pueden verse como espacios de Hilbert considerando únicamente los mapas de la clase Sobolev adecuada . Por ejemplo, podemos considerar el espacio de todos los mapas desde el círculo unitario hacia una variedad. Esto puede topogizarse mediante la topología abierta compacta como un subespacio del espacio de todos los mapeos continuos desde el círculo hacia , es decir, el espacio de bucle libre de El espacio de mapeo de la clase Sobolev descrito anteriormente es homotópicamente equivalente al espacio de bucle libre. Esto lo hace adecuado para el estudio de la topología algebraica del espacio de bucle libre, especialmente en el campo de la topología de cuerdas . Podemos hacer una construcción Sobolev análoga para el espacio de bucles , convirtiéndolo en una subvariedad de Hilbert codimensional de donde es la dimensión de ${\displaystyle \operatorname {L} M}$ ${\displaystyle H^{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {S} ^{1}}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle \operatorname {L} M}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \operatorname {L} M,}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle M.}$

Véase también

• Variedad de Banach  : Variedad modelada en espacios de Banach
• Diferenciación en espacios de Fréchet
• Variedad de Finsler  – Generalización de las variedades de Riemann
• Variedad de Fréchet  : espacio topológico modelado sobre un espacio de Fréchet de la misma manera que una variedad se modela sobre un espacio euclidianoPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Análisis global , que utiliza variedades de Hilbert y otros tipos de variedades de dimensión infinita

Referencias

• Klingenberg, Wilhelm (1982), Geometría de Riemann , Berlín: W. de Gruyter, ISBN 978-3-11-008673-7. Contiene una introducción general a las variedades de Hilbert y muchos detalles sobre el espacio de bucle libre.
• Lang, Serge (1995), Variedades diferenciales y riemannianas , Nueva York: Springer, ISBN 978-0387943381.Otra introducción con más topología diferencial.
• N. Kuiper, El tipo de homotopía del grupo unitario de espacios de Hilbert", Topología 3, 19-30
• J. Eells, KD Elworthy, "Sobre la topología diferencial de las variedades de Hilbert", Análisis global. Actas de simposios sobre matemáticas puras, volumen XV 1970, 41-44.
• J. Eells, KD Elworthy, "Incrustaciones abiertas de ciertas variedades de Banach", Anales de Matemáticas 91 (1970), 465-485
• D. Chataur, "Un enfoque bordista para la topología de cuerdas", preimpresión https://arxiv.org/abs/math.at/0306080

Enlaces externos

• Variedad de Hilbert en el Atlas de Variedades