Topología de cadenas

Rama de la topología

La topología de cuerdas , una rama de las matemáticas , es el estudio de las estructuras algebraicas en la homología de espacios de bucles libres . El campo fue iniciado por Moira Chas y Dennis Sullivan  (1999).

Motivación

Mientras que la cohomología singular de un espacio tiene siempre una estructura de producto, esto no es cierto para la homología singular de un espacio. Sin embargo, es posible construir una estructura de este tipo para una variedad orientada de dimensión . Este es el llamado producto de intersección . Intuitivamente, uno puede describirlo de la siguiente manera: dadas las clases y , tome su producto y hágalo transversal a la diagonal . La intersección es entonces una clase en , el producto de intersección de y . Una forma de hacer que esta construcción sea rigurosa es usar estratifolds . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle x\in H_{p}(M)}$ ${\displaystyle y\in H_{q}(M)}$ ${\displaystyle x\times y\in H_{p+q}(M\times M)}$ ${\displaystyle M\hookrightarrow M\times M}$ ${\displaystyle H_{p+q-d}(M)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Otro caso, donde la homología de un espacio tiene un producto, es el espacio de bucles (basado) de un espacio . Aquí el propio espacio tiene un producto ${\displaystyle \Omega X}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle m\colon \Omega X\times \Omega X\to \Omega X}$

pasando primero por el primer bucle y luego por el segundo. No hay una estructura de producto análoga para el espacio de bucle libre de todos los mapas de a ya que los dos bucles no necesitan tener un punto común. Un sustituto del mapa es el mapa ${\displaystyle LX}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle \gamma \colon {\rm {Map}}(S^{1}\lor S^{1},M)\to LM}$

donde es el subespacio de , donde el valor de los dos bucles coincide en 0 y se define nuevamente componiendo los bucles. ${\displaystyle {\rm {Map}}(S^{1}\lor S^{1},M)}$ ${\displaystyle LM\times LM}$ ${\displaystyle \gamma }$

El producto Chas-Sullivan

La idea del producto Chas-Sullivan es combinar las estructuras de producto anteriores. Consideremos dos clases y . Su producto se encuentra en . Necesitamos un mapa ${\displaystyle x\in H_{p}(LM)}$ ${\displaystyle y\in H_{q}(LM)}$ ${\displaystyle x\times y}$ ${\displaystyle H_{p+q}(LM\times LM)}$

${\displaystyle i^{!}\colon H_{p+q}(LM\times LM)\to H_{p+q-d}({\rm {Map}}(S^{1}\lor S^{1},M)).}$

Una forma de construir esto es usar estratifolds (u otra definición geométrica de homología) para hacer la intersección transversal (después de interpretar como una inclusión de variedades de Hilbert ). Otro enfoque comienza con el mapa de colapso de al espacio de Thom del fibrado normal de . Al componer el mapa inducido en homología con el isomorfismo de Thom , obtenemos el mapa que queremos. ${\displaystyle {\rm {Map}}(S^{1}\lor S^{1},M)\subset LM\times LM}$ ${\displaystyle LM\times LM}$ ${\displaystyle {\rm {Map}}(S^{1}\lor S^{1},M)}$

Ahora podemos componer con el mapa inducido de para obtener una clase en , el producto Chas-Sullivan de y (ver por ejemplo Cohen & Jones (2002)). ${\displaystyle i^{!}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle H_{p+q-d}(LM)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Observaciones

• Al igual que en el caso del producto de intersección, existen diferentes convenciones de signos en relación con el producto de Chas-Sullivan. En algunas convenciones, se lo considera conmutativo gradual, mientras que en otras no.
• La misma construcción funciona si reemplazamos por otra teoría de homología multiplicativa si está orientada con respecto a . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle h}$
• Además, podemos reemplazar por . Mediante una variación sencilla de la construcción anterior, obtenemos que es un módulo sobre si es una variedad de dimensiones . ${\displaystyle LM}$ ${\displaystyle L^{n}M={\rm {Map}}(S^{n},M)}$ ${\displaystyle {\mathcal {}}h_{*}({\rm {Map}}(N,M))}$ ${\displaystyle {\mathcal {}}h_{*}L^{n}M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n}$
• La secuencia espectral de Serre es compatible con las estructuras algebraicas anteriores tanto para el haz de fibras con fibras como para el haz de fibras para un haz de fibras , lo que es importante para los cálculos (véase Cohen, Jones y Yan (2004) y Meier (2010) ). ${\displaystyle {\rm {ev}}\colon LM\to M}$ ${\displaystyle \Omega M}$ ${\displaystyle LE\to LB}$ ${\displaystyle E\to B}$ harvtxt error: no target: CITEREFMeier2010 (help)

La estructura Batalin-Vilkovisky

Hay una acción por rotación, que induce un mapa ${\displaystyle S^{1}\times LM\to LM}$

${\displaystyle H_{*}(S^{1})\otimes H_{*}(LM)\to H_{*}(LM)}$.

Al conectar la clase fundamental , se obtiene un operador ${\displaystyle [S^{1}]\in H_{1}(S^{1})}$

${\displaystyle \Delta \colon H_{*}(LM)\to H_{*+1}(LM)}$

de grado 1. Se puede demostrar que este operador interactúa bien con el producto Chas–Sullivan en el sentido de que forman juntos la estructura de un álgebra de Batalin–Vilkovisky en . Este operador tiende a ser difícil de calcular en general. Las identidades definitorias de un álgebra de Batalin-Vilkovisky se comprobaron en el artículo original "mediante imágenes". Una forma menos directa, pero posiblemente más conceptual, de hacerlo podría ser mediante una acción de un operado de cactus en el espacio de bucle libre . ^[1] El operado de cactus es débilmente equivalente al operado de pequeños discos enmarcados ^[2] y su acción en un espacio topológico implica una estructura de Batalin-Vilkovisky en homología. ^[3] ${\displaystyle {\mathcal {}}H_{*}(LM)}$ ${\displaystyle LM}$

Teorías de campo

El par de pantalones

Existen varios intentos de construir teorías de campos (topológicos) a través de la topología de cuerdas. La idea básica es fijar una variedad orientada y asociar a cada superficie con componentes de contorno entrantes y salientes (con ) una operación ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle H_{*}(LM)^{\otimes p}\to H_{*}(LM)^{\otimes q}}$

que cumple los axiomas usuales para una teoría de campos topológicos . El producto de Chas-Sullivan está asociado al par de pantalones . Se puede demostrar que estas operaciones son 0 si el género de la superficie es mayor que 0 (Tamanoi (2010)).

Referencias

1. Voronov, Alexander (2005). "Notas sobre álgebra universal". Gráficos y patrones en matemáticas y física teórica (M. Lyubich y L. Takhtajan, eds.) . Providence, RI: Amer. Math. Soc. págs. 81–103.
2. Cohen, Ralph L.; Hess, Kathryn; Voronov, Alexander A. (2006). "Los cactus operand". Topología de cuerdas y homología cíclica. Basilea: Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-7388-7.
3. Getzler, Ezra (1994). "Álgebras de Batalin-Vilkovisky y teorías de campos topológicos bidimensionales". Comm. Math. Phys . 159 (2): 265–285. arXiv : hep-th/9212043 . Código Bibliográfico : 1994CMaPh.159..265G. doi : 10.1007/BF02102639. S2CID  : 14823949.

Fuentes

• Chas, Moira; Sullivan, Dennis (1999). "Topología de cadenas". arXiv : math/9911159v1 .
• Cohen, Ralph L. ; Jones, John DS (2002). "Una realización teórica de la topología de cuerdas mediante homotopía". Anales matemáticos . 324 (4): 773–798. arXiv : math/0107187 . doi :10.1007/s00208-002-0362-0. MR  1942249. S2CID  16916132.
• Cohen, Ralph Louis ; Jones, John DS; Yan, Jun (2004). "El álgebra de homología de bucles de esferas y espacios proyectivos". En Arone, Gregory; Hubbuck, John; Levi, Ran; Weiss, Michael (eds.). Técnicas de descomposición categórica en topología algebraica: Conferencia internacional en topología algebraica, Isla de Skye, Escocia, junio de 2001 . Birkhäuser . págs. 77–92.
• Meier, Lennart (2011). "Secuencias espectrales en topología de cuerdas". Topología algebraica y geométrica . 11 (5): 2829–2860. arXiv : 1001.4906 . doi :10.2140/agt.2011.11.2829. MR  2846913. S2CID  58893087.
• Tamanoi, Hirotaka (2010). "Coproductos de bucles en topología de cuerdas y trivialidad de operaciones TQFT de género superior". Journal of Pure and Applied Algebra . 214 (5): 605–615. arXiv : 0706.1276 . doi :10.1016/j.jpaa.2009.07.011. MR  2577666. S2CID  2147096.