Teorema de Donaldson

Sobre cuándo una forma de intersección definida de una variedad cuadridimensional suave es diagonalizable

En matemáticas , y especialmente en topología diferencial y teoría de gauge , el teorema de Donaldson establece que una forma de intersección definida de una variedad compacta , orientada y suave de dimensión 4 es diagonalizable . Si la forma de intersección es definida positiva (negativa), se puede diagonalizar a la matriz identidad (matriz identidad negativa) sobre los números enteros . La versión original ^[1] del teorema requería que la variedad fuera simplemente conexa , pero luego se mejoró para aplicarla a 4-variedades con cualquier grupo fundamental . ^[2]

Historia

El teorema fue demostrado por Simon Donaldson , contribución que se citó para su medalla Fields en 1986.

Idea de prueba

La prueba de Donaldson utiliza el espacio de módulos de soluciones a las ecuaciones de anti-autodualidad en un fibrado principal sobre la variedad cuadridimensional . Por el teorema del índice de Atiyah-Singer , la dimensión del espacio de módulos está dada por ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{P}}$ ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \dim {\mathcal {M}}=8k-3(1-b_{1}(X)+b_{+}(X)),}$

donde es una clase de Chern , es el primer número de Betti de y es la dimensión del subespacio positivo-definido de con respecto a la forma de intersección. Cuando está simplemente conectado con la forma de intersección definida, posiblemente después de cambiar la orientación, siempre se tiene y . Por lo tanto, tomando cualquier fibrado principal con , se obtiene un espacio de módulos de dimensión cinco. ${\displaystyle k=c_{2}(P)}$ ${\displaystyle b_{1}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle b_{+}(X)}$ ${\displaystyle H_{2}(X,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle b_{1}(X)=0}$ ${\displaystyle b_{+}(X)=0}$ ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

Cobordismo dado por el espacio de módulos de Yang-Mills en el teorema de Donaldson

Este espacio de módulos no es compacto y es genéricamente suave, con singularidades que ocurren solo en los puntos correspondientes a conexiones reducibles, de las cuales hay exactamente muchas. ^[3] Los resultados de Clifford Taubes y Karen Uhlenbeck muestran que mientras que no es compacto, su estructura en el infinito se puede describir fácilmente. ^{[4] [5] [6]} Es decir, hay un subconjunto abierto de , digamos , tal que para elecciones suficientemente pequeñas del parámetro , hay un difeomorfismo ${\displaystyle b_{2}(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\varepsilon }}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\varepsilon }{\xrightarrow {\quad \cong \quad }}X\times (0,\varepsilon )}$.

El trabajo de Taubes y Uhlenbeck se centra esencialmente en la construcción de secuencias de conexiones ASD en la variedad cuadridimensional con una curvatura que se concentra infinitamente en cualquier punto dado . Para cada uno de esos puntos, en el límite se obtiene una única conexión ASD singular, que se convierte en una conexión ASD suave bien definida en ese punto utilizando el teorema de singularidad removible de Uhlenbeck. ^{[6] [3]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$

Donaldson observó que los puntos singulares en el interior de correspondientes a conexiones reducibles también podían describirse: parecían conos sobre el plano proyectivo complejo . Además, podemos contar el número de tales puntos singulares. Sea el fibrado sobre asociado a por la representación estándar de . Entonces, las conexiones reducibles módulo gauge están en una correspondencia 1-1 con desdoblamientos donde es un fibrado lineal complejo sobre . ^[3] Siempre que podemos calcular: ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{2}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle SU(2)}$ ${\displaystyle E=L\oplus L^{-1}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E=L\oplus L^{-1}}$

${\displaystyle 1=k=c_{2}(E)=c_{2}(L\oplus L^{-1})=-Q(c_{1}(L),c_{1}(L))}$,

donde es la forma de intersección en la segunda cohomología de . Dado que los fibrados de líneas sobre se clasifican por su primera clase de Chern , obtenemos que las conexiones reducibles módulo gauge están en una correspondencia 1-1 con pares tales que . Sea . Un argumento elemental que se aplica a cualquier forma cuadrática definida negativa sobre los enteros nos dice que , con igualdad si y solo si es diagonalizable. ^[3] ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle c_{1}(L)\in H^{2}(X;\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \pm \alpha \in H^{2}(X;\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle Q(\alpha ,\alpha )=-1}$ ${\displaystyle n(Q)}$ ${\displaystyle n(Q)\leq {\text{rank}}(Q)}$ ${\displaystyle Q}$

Por lo tanto, es posible compactar el espacio de módulos de la siguiente manera: primero, se corta cada cono en una singularidad reducible y se pega una copia de . En segundo lugar, se pega una copia de sí mismo en el infinito. El espacio resultante es un cobordismo entre y una unión disjunta de copias de (de orientaciones desconocidas). La firma de una variedad cuatridimensional es un invariante de cobordismo. Por lo tanto, debido a que es definido: ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{2}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n(Q)}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{2}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\text{rank}}(Q)=b_{2}(X)=\sigma (X)=\sigma (\bigsqcup n(Q)\mathbb {CP} ^{2})\leq n(Q)}$,

de lo cual se concluye que la forma de intersección de es diagonalizable. ${\displaystyle X}$

Extensiones

Michael Freedman había demostrado previamente que cualquier forma bilineal simétrica unimodular se realiza como la forma de intersección de alguna variedad cerrada y orientada de cuatro dimensiones . Combinando este resultado con el teorema de clasificación de Serre y el teorema de Donaldson, se pueden ver varios resultados interesantes:

1) Cualquier forma de intersección indefinida no diagonalizable da lugar a una variedad topológica de cuatro dimensiones sin estructura diferenciable (por lo que no se puede suavizar).

2) Dos 4-variedades suaves simplemente conexas son homeomorfas , si y solo si, sus formas de intersección tienen el mismo rango , firma y paridad.

Véase también

• Celosía unimodular
• Teoría de Donaldson
• Ecuaciones de Yang-Mills
• Teorema de Rokhlin

Notas

1. Donaldson, SK (1 de enero de 1983). "Una aplicación de la teoría de calibre a la topología de cuatro dimensiones". Journal of Differential Geometry . 18 (2). doi : 10.4310/jdg/1214437665 . ISSN  0022-040X.
2. Donaldson, SK (1 de enero de 1987). "La orientación de los espacios de módulos de Yang-Mills y la topología de 4 variedades". Journal of Differential Geometry . 26 (3). doi : 10.4310/jdg/1214441485 . ISSN  0022-040X. S2CID  120208733.
3. Donaldson, SK (1983). Una aplicación de la teoría de calibración a la topología de cuatro dimensiones. Journal of Differential Geometry, 18(2), 279-315.
4. Taubes, CH (1982). Conexiones Yang-Mills autoduales en variedades 4-duales no autoduales. Journal of Differential Geometry, 17(1), 139-170.
5. Uhlenbeck, KK (1982). Conexiones con los límites de L p en la curvatura. Communications in Mathematical Physics, 83(1), 31-42.
6. Uhlenbeck, KK (1982). Singularidades removibles en campos de Yang-Mills. Communications in Mathematical Physics, 83(1), 11-29.

Referencias

• Donaldson, SK (1983), "Una aplicación de la teoría de calibre a la topología de cuatro dimensiones", Journal of Differential Geometry , 18 (2): 279–315, doi : 10.4310/jdg/1214437665 , MR  0710056, Zbl  0507.57010
• Donaldson, SK; Kronheimer, PB (1990), La geometría de cuatro variedades , Oxford Mathematical Monographs, ISBN 0-19-850269-9
• Freed, DS; Uhlenbeck, K. (1984), Instantones y cuatro variedades , Springer
• Freedman, M.; Quinn, F. (1990), Topología de 4 variedades , Princeton University Press
• Scorpan, A. (2005), El mundo salvaje de las 4 variedades , American Mathematical Society