Teoría de calibre (matemáticas)

Study of vector bundles, principal bundles, and fibre bundles

En matemáticas , y especialmente en geometría diferencial y física matemática , la teoría de gauge es el estudio general de las conexiones en haces vectoriales , haces principales y haces de fibras . La teoría de gauge en matemáticas no debe confundirse con el concepto estrechamente relacionado de teoría de gauge en física , que es una teoría de campo que admite simetría de gauge . En matemáticas , teoría significa una teoría matemática , que encapsula el estudio general de una colección de conceptos o fenómenos, mientras que en el sentido físico una teoría de gauge es un modelo matemático de algún fenómeno natural.

La teoría de gauge en matemáticas se ocupa típicamente del estudio de ecuaciones de teoría de gauge. Estas son ecuaciones diferenciales que involucran conexiones en fibrados vectoriales o fibrados principales, o que involucran secciones de fibrados vectoriales, y por lo tanto hay fuertes vínculos entre la teoría de gauge y el análisis geométrico . Estas ecuaciones a menudo son significativas físicamente, correspondiendo a conceptos importantes en la teoría cuántica de campos o teoría de cuerdas , pero también tienen un significado matemático importante. Por ejemplo, las ecuaciones de Yang-Mills son un sistema de ecuaciones diferenciales parciales para una conexión en un fibrado principal, y en física las soluciones a estas ecuaciones corresponden a soluciones de vacío para las ecuaciones de movimiento para una teoría de campos clásica , partículas conocidas como instantones .

La teoría de calibre ha encontrado aplicaciones en la construcción de nuevos invariantes de variedades suaves , la construcción de estructuras geométricas exóticas tales como variedades de hiperkähler , así como también para dar descripciones alternativas de estructuras importantes en geometría algebraica tales como espacios de módulos de fibrados vectoriales y haces coherentes .

Historia

El coeficiente dx ¹ ⊗σ ₃ de un instantón BPST en la porción (x ¹ ,x ² ) de R ⁴ donde σ ₃ es la tercera matriz de Pauli (arriba a la izquierda). El coeficiente dx ² ⊗σ ₃ (arriba a la derecha). Estos coeficientes determinan la restricción del instantón BPST A con g=2,ρ=1,z=0 a esta porción. La intensidad de campo correspondiente centrada alrededor de z=0 (abajo a la izquierda). Una representación visual de la intensidad de campo de un instantón BPST con centro z en la compactificación S ⁴ de R ⁴ (abajo a la derecha). El instantón BPST es una solución de instantón clásica para las ecuaciones de Yang–Mills en R ⁴ .

La teoría de gauge tiene sus orígenes en la formulación de las ecuaciones de Maxwell que describen el electromagnetismo clásico, que pueden expresarse como una teoría de gauge con un grupo de estructura, el grupo circular . El trabajo de Paul Dirac sobre monopolos magnéticos y mecánica cuántica relativista alentó la idea de que los haces y las conexiones eran la forma correcta de formular muchos problemas en mecánica cuántica. La teoría de gauge en física matemática surgió como un campo de estudio significativo con el trabajo seminal de Robert Mills y Chen-Ning Yang sobre la llamada teoría de gauge de Yang-Mills, que ahora es el modelo fundamental que sustenta el modelo estándar de física de partículas . ^[1]

La investigación matemática de la teoría de gauge tiene sus orígenes en el trabajo de Michael Atiyah , Isadore Singer y Nigel Hitchin sobre las ecuaciones de autodualidad en una variedad de Riemann en cuatro dimensiones. ^{[2] [3]} En este trabajo se estudió el espacio de módulos de conexiones autoduales (instantones) en el espacio euclidiano, y se demostró que tiene dimensión donde es un parámetro entero positivo. Esto se vinculó con el descubrimiento por parte de los físicos de los instantones BPST , soluciones de vacío para las ecuaciones de Yang-Mills en cuatro dimensiones con . Dichos instantones se definen mediante una elección de 5 parámetros, el centro y la escala , correspondientes al espacio de módulos -dimensional. Un instantón BPST se representa a la derecha. ${\displaystyle 8k-3}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \rho \in \mathbb {R} _{>0}}$ ${\displaystyle 8-3=5}$

Casi al mismo tiempo, Atiyah y Richard Ward descubrieron vínculos entre las soluciones a las ecuaciones de autodualidad y los fibrados algebraicos sobre el espacio proyectivo complejo . ^[4] Otro descubrimiento temprano significativo fue el desarrollo de la construcción ADHM por Atiyah, Vladimir Drinfeld , Hitchin y Yuri Manin . ^[5] Esta construcción permitió la solución de las ecuaciones de anti-autodualidad en el espacio euclidiano a partir de datos algebraicos puramente lineales. ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

A principios de los años 1980 se produjeron importantes avances que estimularon el desarrollo de la teoría de calibre matemática. En ese momento, el importante trabajo de Atiyah y Raoul Bott sobre las ecuaciones de Yang-Mills sobre superficies de Riemann mostró que los problemas teóricos de calibre podían dar lugar a estructuras geométricas interesantes, estimulando el desarrollo de mapas de momentos de dimensión infinita, la teoría de Morse equivariante y las relaciones entre la teoría de calibre y la geometría algebraica. ^[6] Karen Uhlenbeck desarrolló importantes herramientas analíticas en el análisis geométrico en ese momento , estudiando las propiedades analíticas de las conexiones y la curvatura, demostrando importantes resultados de compacidad. ^[7] Los avances más significativos en el campo se produjeron debido al trabajo de Simon Donaldson y Edward Witten .

Donaldson utilizó una combinación de geometría algebraica y técnicas de análisis geométrico para construir nuevos invariantes de cuatro variedades , ahora conocidos como invariantes de Donaldson . ^{[8] [9]} Con estos invariantes, se pudieron demostrar resultados novedosos como la existencia de variedades topológicas que no admiten estructuras suaves, o la existencia de muchas estructuras suaves distintas en el espacio euclidiano . Por este trabajo, Donaldson recibió la Medalla Fields en 1986. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

Witten observó de manera similar el poder de la teoría de calibre para describir invariantes topológicos, relacionando cantidades que surgen de la teoría de Chern-Simons en tres dimensiones con el polinomio de Jones , un invariante de nudos . ^[10] Este trabajo y el descubrimiento de los invariantes de Donaldson, así como el novedoso trabajo de Andreas Floer sobre la homología de Floer , inspiraron el estudio de la teoría cuántica de campos topológicos .

Después del descubrimiento del poder de la teoría de gauge para definir invariantes de variedades, el campo de la teoría de gauge matemática se expandió en popularidad. Se descubrieron más invariantes, como los invariantes de Seiberg-Witten y los invariantes de Vafa-Witten. ^{[11] [12]} Los trabajos de Donaldson, Uhlenbeck y Shing-Tung Yau sobre la correspondencia Kobayashi-Hitchin que relaciona las conexiones de Yang-Mills con los fibrados vectoriales estables permitieron establecer vínculos fuertes con la geometría algebraica . ^{[13] [14]} El trabajo de Nigel Hitchin y Carlos Simpson sobre los fibrados de Higgs demostró que los espacios de módulos que surgen de la teoría de gauge podrían tener estructuras geométricas exóticas como las variedades de hiperkähler , así como vínculos con sistemas integrables a través del sistema de Hitchin . ^{[15] [16]} Se establecieron vínculos con la teoría de cuerdas y la simetría especular , donde la teoría de calibre es esencial para formular la conjetura de simetría especular homológica y la correspondencia AdS/CFT .

Objetos fundamentales de interés

Los objetos fundamentales de interés en la teoría de calibración son las conexiones en los fibrados vectoriales y los fibrados principales . En esta sección recordamos brevemente estas construcciones y hacemos referencia a los principales artículos sobre ellas para obtener más detalles. Las estructuras descritas aquí son estándar en la literatura de geometría diferencial y se puede encontrar una introducción al tema desde una perspectiva de teoría de calibración en el libro de Donaldson y Peter Kronheimer . ^[17]

Paquetes principales

Fibrado principal Z /2 Z no trivial sobre el círculo. No hay una manera obvia de identificar qué punto corresponde a +1 o -1 en cada fibra. Este fibrado no es trivial ya que no hay una sección globalmente definida de la proyección π .

El fibrado de la cinta de Möbius es un fibrado principal no trivial sobre el círculo. ${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

Los objetos centrales de estudio en la teoría de calibración son los fibrados principales y los fibrados vectoriales. La elección de cuál estudiar es esencialmente arbitraria, ya que se puede pasar de uno a otro, pero los fibrados principales son los objetos naturales desde la perspectiva física para describir los campos de calibración y, matemáticamente, codifican de manera más elegante la teoría correspondiente de conexiones y curvatura para los fibrados vectoriales asociados a ellos.

Un fibrado principal con grupo de estructura ${\displaystyle G}$ , o un fibrado principal ${\displaystyle G}$ , consiste en un quíntuple donde es un fibrado liso con espacio de fibra isomorfo a un grupo de Lie , y representa una acción de grupo derecha libre y transitiva de sobre que preserva las fibras, en el sentido de que para todos , para todos . Aquí está el espacio total , y el espacio base . Usando la acción de grupo derecha para cada y cualquier elección de , la función define un difeomorfismo entre la fibra sobre y el grupo de Lie como variedades lisas. Nótese, sin embargo, que no hay una manera natural de equipar las fibras de con la estructura de los grupos de Lie, ya que no hay una elección natural de elemento para cada . ${\displaystyle (P,X,\pi ,G,\rho )}$ ${\displaystyle \pi :P\to X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle p\in P}$ ${\displaystyle \pi (pg)=\pi (p)}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\textstyle p\in P_{x}}$ ${\displaystyle g\mapsto pg}$ ${\displaystyle P_{x}\cong G}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle p\in P_{x}}$ ${\displaystyle x\in X}$

Los ejemplos más simples de fibrados principales se dan cuando es el grupo circular . En este caso, el fibrado principal tiene dimensión donde . Otro ejemplo natural se da cuando es el fibrado de marco del fibrado tangente de la variedad , o más generalmente el fibrado de marco de un fibrado vectorial sobre . En este caso, la fibra de está dada por el grupo lineal general . ${\displaystyle G=\operatorname {U} (1)}$ ${\displaystyle \dim P=n+1}$ ${\displaystyle \dim X=n}$ ${\displaystyle P={\mathcal {F}}(TX)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )}$

Como un fibrado principal es un fibrado de fibras, localmente tiene la estructura de un producto. Es decir, existe un recubrimiento abierto de y difeomorfismos que conmutan con las proyecciones y , de modo que las funciones de transición definidas por satisfacen la condición de cociclo ${\displaystyle \{U_{\alpha }\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varphi _{\alpha }:P_{U_{\alpha }}\to U_{\alpha }\times G}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \operatorname {pr} _{1}}$ ${\displaystyle g_{\alpha \beta }:U_{\alpha }\cap U_{\beta }\to G}$ ${\displaystyle \varphi _{\alpha }\circ \varphi _{\beta }^{-1}(x,g)=(x,g_{\alpha \beta }(x)g)}$

${\displaystyle g_{\alpha \beta }(x)g_{\beta \gamma }(x)=g_{\alpha \gamma }(x)}$

en cualquier triple superposición . Para definir un fibrado principal es suficiente especificar dicha elección de funciones de transición. El fibrado se define entonces pegando fibrados triviales a lo largo de las intersecciones utilizando las funciones de transición. La condición de cociclo asegura precisamente que esto define una relación de equivalencia en la unión disjunta y, por lo tanto, que el espacio cociente está bien definido. Esto se conoce como el teorema de construcción de fibrados de fibras y el mismo proceso funciona para cualquier fibrado de fibras descrito por funciones de transición, no solo fibrados principales o fibrados vectoriales. ${\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }\cap U_{\gamma }}$ ${\displaystyle U_{\alpha }\times G}$ ${\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }}$ ${\displaystyle \bigsqcup _{\alpha }U_{\alpha }\times G}$ ${\displaystyle P=\bigsqcup _{\alpha }U_{\alpha }\times G/{\sim }}$

Nótese que la elección de una sección local que satisfaga es un método equivalente de especificar un mapa de trivialización local. Es decir, se puede definir donde es el único elemento del grupo tal que . ${\displaystyle s_{\alpha }:U_{\alpha }\to P_{U_{\alpha }}}$ ${\displaystyle \pi \circ s_{\alpha }=\operatorname {Id} }$ ${\displaystyle \varphi _{\alpha }(p)=(\pi (p),{\tilde {s}}_{\alpha }(p))}$ ${\displaystyle {\tilde {s}}_{\alpha }(p)\in G}$ ${\displaystyle p{\tilde {s}}_{\alpha }(p)^{-1}=s_{\alpha }(\pi (p))}$

Paquetes de vectores

Un haz vectorial sobre una base con una sección . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle s}$

Un fibrado vectorial es una terna donde es un fibrado con fibra dado por un espacio vectorial donde es un cuerpo. El número es el rango del fibrado vectorial. Nuevamente, se tiene una descripción local de un fibrado vectorial en términos de una cubierta abierta trivializadora. Si es una cubierta de este tipo, entonces, bajo el isomorfismo ${\displaystyle (E,X,\pi )}$ ${\displaystyle \pi :E\to X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{r}}$ ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} ,\mathbb {C} }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \{U_{\alpha }\}}$

${\displaystyle \varphi _{\alpha }:E_{U_{\alpha }}\to U_{\alpha }\times \mathbb {K} ^{r}}$

Se obtienen secciones locales distinguidas de correspondientes a los vectores de coordenadas base de , denotados . Estos se definen por la ecuación ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{r}}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{r}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {e}}_{r}}$

${\displaystyle \varphi _{\alpha }({\boldsymbol {e}}_{i}(x))=(x,e_{i}).}$

Para especificar una trivialización es por tanto equivalente dar una colección de secciones locales que sean linealmente independientes en todas partes y utilizar esta expresión para definir el isomorfismo correspondiente. Tal colección de secciones locales se denomina marco . ${\displaystyle r}$

De manera similar a los fibrados principales, se obtienen funciones de transición para un fibrado vectorial, definidas por ${\displaystyle g_{\alpha \beta }:U_{\alpha }\cap U_{\beta }\to \operatorname {GL} (r,\mathbb {K} )}$

${\displaystyle \varphi _{\alpha }\circ \varphi _{\beta }^{-1}(x,v)=(x,g_{\alpha \beta }(x)v).}$

Si se toman estas funciones de transición y se las utiliza para construir la trivialización local para un fibrado principal con fibra igual al grupo de estructura , se obtiene exactamente el fibrado de marco de , un fibrado principal . ${\displaystyle \operatorname {GL} (r,\mathbb {K} )}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (r,\mathbb {K} )}$

Paquetes asociados

Dado un fibrado principal y una representación de en un espacio vectorial , se puede construir un fibrado vectorial asociado con fibra en el espacio vectorial . Para definir este fibrado vectorial se considera la acción correcta sobre el producto definido por y se define como el espacio cociente con respecto a esta acción. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle E=P\times _{\rho }V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle P\times V}$ ${\displaystyle (p,v)g=(pg,\rho (g^{-1})v)}$ ${\displaystyle P\times _{\rho }V=(P\times V)/G}$

En términos de funciones de transición, el fibrado asociado se puede entender de forma más sencilla. Si el fibrado principal tiene funciones de transición con respecto a una trivialización local , entonces se construye el fibrado vectorial asociado utilizando las funciones de transición . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle g_{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle \{U_{\alpha }\}}$ ${\displaystyle \rho \circ g_{\alpha \beta }:U_{\alpha }\cap U_{\beta }\to \operatorname {GL} (V)}$

La construcción del fibrado asociado se puede realizar para cualquier espacio de fibras , no solo un espacio vectorial, siempre que sea un homomorfismo de grupo. Un ejemplo clave es el fibrado adjunto A en mayúscula con fibra , construido utilizando el homomorfismo de grupo definido por la conjugación . Nótese que a pesar de tener fibra , el fibrado adjunto no es un fibrado principal ni isomorfo como fibrado de fibras a sí mismo. Por ejemplo, si es abeliano, entonces la acción de conjugación es trivial y será el fibrado trivial -fibra sobre independientemente de si es o no trivial como fibrado de fibras. Otro ejemplo clave es el fibrado adjunto a en minúscula construido utilizando la representación adjunta donde es el álgebra de Lie de . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \rho :G\to \operatorname {Aut} (F)}$ ${\displaystyle \operatorname {Ad} (P)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rho :G\to \operatorname {Aut} (G)}$ ${\displaystyle g\mapsto (h\mapsto ghg^{-1})}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \operatorname {Ad} (P)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (P)}$ ${\displaystyle \rho :G\to \operatorname {Aut} ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$

Transformaciones de calibre

Una transformación de calibre de un fibrado vectorial o fibrado principal es un automorfismo de este objeto. Para un fibrado principal, una transformación de calibre consiste en un difeomorfismo que conmuta con el operador de proyección y la acción derecha . Para un fibrado vectorial, una transformación de calibre se define de manera similar mediante un difeomorfismo que conmuta con el operador de proyección , que es un isomorfismo lineal de espacios vectoriales en cada fibra. ${\displaystyle \varphi :P\to P}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \varphi :E\to E}$ ${\displaystyle \pi }$

Las transformaciones de calibre (de o ) forman un grupo bajo composición, llamado grupo de calibre , normalmente denotado como . Este grupo puede caracterizarse como el espacio de secciones globales del fibrado adjunto, o en el caso de un fibrado vectorial, donde denota el fibrado de marco. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}=\Gamma (\operatorname {Ad} (P))}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}=\Gamma (\operatorname {Ad} ({\mathcal {F}}(E)))}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)}$

También se puede definir una transformación de calibre local como un isomorfismo de fibrado local sobre un subconjunto abierto trivializante . Esto se puede especificar de forma única como una función (tomando como ejemplo el caso de fibrados vectoriales), donde el isomorfismo de fibrado inducido se define por ${\displaystyle U_{\alpha }}$ ${\displaystyle g_{\alpha }:U_{\alpha }\to G}$ ${\displaystyle G=\operatorname {GL} (r,\mathbb {K} )}$

${\displaystyle \varphi _{\alpha }(p)=pg_{\alpha }(\pi (p))}$

y lo mismo ocurre con los paquetes vectoriales.

Obsérvese que, dadas dos trivializaciones locales de un fibrado principal sobre el mismo subconjunto abierto , la función de transición es precisamente una transformación de calibre local . Es decir, las transformaciones de calibre locales son cambios de trivialización local para fibrados principales o fibrados vectoriales. ${\displaystyle U_{\alpha }}$ ${\displaystyle g_{\alpha \alpha }:U_{\alpha }\to G}$

Conexiones en haces principales

Se requiere que una conexión de fibrado principal sea compatible con la acción de grupo correcta de en . Esto se puede visualizar como la multiplicación correcta que lleva los subespacios horizontales entre sí. Esta equivariancia de los subespacios horizontales interpretada en términos de la forma de conexión conduce a sus propiedades de equivariancia características. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle R_{g}}$ ${\displaystyle H\subset TP}$ ${\displaystyle \omega }$

Una forma de conexión de fibrado principal puede considerarse como un operador de proyección sobre el fibrado tangente del fibrado principal . El núcleo de la forma de conexión está dado por los subespacios horizontales para la conexión de Ehresmann asociada . ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle TP}$ ${\displaystyle P}$

Una conexión en un fibrado principal es un método para conectar fibras cercanas de modo de capturar la noción de que una sección es constante u horizontal . Dado que las fibras de un fibrado principal abstracto no se identifican naturalmente entre sí, o de hecho con el espacio de fibras en sí, no hay una manera canónica de especificar qué secciones son constantes. Una elección de trivialización local conduce a una posible elección, donde si es trivial sobre un conjunto , entonces se podría decir que una sección local es horizontal si es constante con respecto a esta trivialización, en el sentido de que para todos y uno . En particular, un fibrado principal trivial viene equipado con una conexión trivial . ${\displaystyle s:X\to P}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle U_{\alpha }}$ ${\displaystyle \varphi _{\alpha }(s(x))=(x,g)}$ ${\displaystyle x\in U_{\alpha }}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle P=X\times G}$

En general, una conexión se da por una elección de subespacios horizontales de los espacios tangentes en cada punto , de modo que en cada punto se tiene donde es el fibrado vertical definido por . Estos subespacios horizontales deben ser compatibles con la estructura del fibrado principal al requerir que la distribución horizontal sea invariante bajo la acción del grupo derecho: donde denota multiplicación por la derecha por . Se dice que una sección es horizontal si donde se identifica con su imagen dentro de , que es una subvariedad de con fibrado tangente . Dado un campo vectorial , existe una única sustentación horizontal . La curvatura de la conexión está dada por la forma bidimensional con valores en el fibrado adjunto definido por ${\displaystyle H_{p}\subset T_{p}P}$ ${\displaystyle p\in P}$ ${\displaystyle T_{p}P=H_{p}\oplus V_{p}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V=\ker d\pi }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H_{pg}=d(R_{g})(H_{p})}$ ${\displaystyle R_{g}:P\to P}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle T_{p}s\subset H_{p}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Ts}$ ${\displaystyle v\in \Gamma (TX)}$ ${\displaystyle v^{\#}\in \Gamma (H)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle F\in \Omega ^{2}(X,\operatorname {ad} (P))}$

${\displaystyle F(v_{1},v_{2})=[v_{1}^{\#},v_{2}^{\#}]-[v_{1},v_{2}]^{\#}}$

donde es el corchete de Lie de los campos vectoriales . Dado que el fibrado vertical consiste en los espacios tangentes a las fibras de y estas fibras son isomorfas al grupo de Lie cuyo fibrado tangente se identifica canónicamente con , existe una única forma bidimensional valorada en el álgebra de Lie correspondiente a la curvatura. Desde la perspectiva del teorema de integrabilidad de Frobenius , la curvatura mide precisamente el grado en el que la distribución horizontal no es integrable y, por lo tanto, el grado en el que no se incrusta localmente como una subvariedad horizontal. ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle TG=G\times {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle F\in \Omega ^{2}(P,{\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle P}$

La elección de subespacios horizontales puede expresarse de manera equivalente mediante un operador de proyección que es equivariante en el sentido correcto, llamado la forma unitaria de conexión . Para una distribución horizontal , esto se define por donde denota la descomposición de un vector tangente con respecto a la descomposición de suma directa . Debido a la equivariancia, esta forma unitaria de proyección puede tomarse como valorada en el álgebra de Lie, lo que da algún . ${\displaystyle \nu :TP\to V}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \nu _{H}(h+v)=v}$ ${\displaystyle h+v}$ ${\displaystyle TP=H\oplus V}$ ${\displaystyle \nu \in \Omega ^{1}(P,{\mathfrak {g}})}$

Una trivialización local para se da de manera equivalente por una sección local y la forma unitaria de conexión y la curvatura se pueden retirar a lo largo de esta función suave. Esto da la forma unitaria de conexión local que toma valores en el fibrado adjunto de . La ecuación de estructura de Cartan dice que la curvatura se puede expresar en términos de la forma unitaria local mediante la expresión ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle s_{\alpha }:U_{\alpha }\to P_{U_{\alpha }}}$ ${\displaystyle A_{\alpha }=s_{\alpha }^{*}\nu \in \Omega ^{1}(U_{\alpha },\operatorname {ad} (P))}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A_{\alpha }}$

${\displaystyle F=dA_{\alpha }+{\frac {1}{2}}[A_{\alpha },A_{\alpha }]}$

donde utilizamos el corchete de Lie en el fibrado del álgebra de Lie que se identifica con en la trivialización local . ${\displaystyle \operatorname {ad} (P)}$ ${\displaystyle U_{\alpha }\times {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U_{\alpha }}$

Bajo una transformación de calibre local de modo que , la conexión local de una forma se transforma por la expresión ${\displaystyle g:U_{\alpha }\to G}$ ${\displaystyle {\tilde {A}}_{\alpha }=(g\circ s)^{*}\nu }$

${\displaystyle {\tilde {A}}_{\alpha }=\operatorname {ad} (g)\circ A_{\alpha }+(g^{-1})^{*}\theta }$

donde denota la forma Maurer–Cartan del grupo de Lie . En el caso donde es un grupo de Lie de matrices , se tiene la expresión más simple ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\tilde {A}}_{\alpha }=gA_{\alpha }g^{-1}-(dg)g^{-1}.}$

Conexiones en haces vectoriales

La derivada covariante de una conexión en un fibrado vectorial puede recuperarse a partir de su transporte paralelo. Los valores de una sección se transportan en paralelo a lo largo del camino de regreso a , y luego se toma la derivada covariante en el espacio vectorial fijo, la fibra sobre . ${\displaystyle s(\gamma (t))}$ ${\displaystyle s\in \Gamma (E)}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma (0)=x}$ ${\displaystyle E_{x}}$ ${\displaystyle x}$

Una conexión en un fibrado vectorial puede especificarse de manera similar al caso de los fibrados principales mencionado anteriormente, conocida como conexión de Ehresmann . Sin embargo, las conexiones de fibrados vectoriales admiten una descripción más potente en términos de un operador diferencial. Una conexión en un fibrado vectorial es una elección de un operador diferencial lineal. ${\displaystyle \mathbb {K} }$

${\displaystyle \nabla :\Gamma (E)\to \Gamma (T^{*}X\otimes E)=\Omega ^{1}(E)}$

de tal manera que

${\displaystyle \nabla (fs)=df\otimes s+f\nabla s}$

para todas las secciones y . La derivada covariante de una sección en la dirección de un campo vectorial se define por ${\displaystyle f\in C^{\infty }(X)}$ ${\displaystyle s\in \Gamma (E)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle v}$

${\displaystyle \nabla _{v}(s)=\nabla s(v)}$

donde a la derecha usamos el emparejamiento natural entre y . Esta es una nueva sección del fibrado vectorial , considerada como la derivada de en la dirección de . El operador es el operador de derivada covariante en la dirección de . La curvatura de está dada por el operador con valores en el fibrado de endomorfismos , definido por ${\displaystyle \Omega ^{1}(X)}$ ${\displaystyle TX}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \nabla _{v}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle F_{\nabla }\in \Omega ^{2}(\operatorname {End} (E))}$

${\displaystyle F_{\nabla }(v_{1},v_{2})=\nabla _{v_{1}}\nabla _{v_{2}}-\nabla _{v_{2}}\nabla _{v_{1}}-\nabla _{[v_{1},v_{2}]}.}$

En una trivialización local, la derivada exterior actúa como una conexión trivial (que corresponde en la imagen del fibrado principal a la conexión trivial discutida anteriormente). Es decir, para un marco local se define ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {e}}_{r}}$

${\displaystyle d(s^{i}{\boldsymbol {e}}_{i})=ds^{i}\otimes {\boldsymbol {e}}_{i}}$

donde aquí hemos utilizado la notación de Einstein para una sección local . ${\displaystyle s=s^{i}{\boldsymbol {e}}_{i}}$

Dos conexiones cualesquiera difieren en una forma unidimensional con valor . Para comprobarlo, observe que la diferencia entre dos conexiones es lineal: ${\displaystyle \nabla _{1},\nabla _{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {End} (E)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C^{\infty }(X)}$

${\displaystyle (\nabla _{1}-\nabla _{2})(fs)=f(\nabla _{1}-\nabla _{2})(s).}$

En particular, dado que todo fibrado vectorial admite una conexión (utilizando particiones de unidad y las conexiones triviales locales), el conjunto de conexiones en un fibrado vectorial tiene la estructura de un espacio afín de dimensión infinita modelado sobre el espacio vectorial . Este espacio se denota comúnmente como . ${\displaystyle \Omega ^{1}(\operatorname {End} (E))}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Aplicando esta observación localmente, cada conexión sobre un subconjunto trivializante difiere de la conexión trivial por alguna forma de conexión local , con la propiedad de que en . En términos de esta forma de conexión local, la curvatura puede escribirse como ${\displaystyle U_{\alpha }}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle A_{\alpha }\in \Omega ^{1}(U_{\alpha },\operatorname {End} (E))}$ ${\displaystyle \nabla =d+A_{\alpha }}$ ${\displaystyle U_{\alpha }}$

${\displaystyle F_{A}=dA_{\alpha }+A_{\alpha }\wedge A_{\alpha }}$

donde el producto de cuña ocurre en el componente de una forma, y ​​uno compone endomorfismos en el componente de endomorfismo. Para volver a la teoría de los fibrados principales, observe que donde a la derecha ahora realizamos cuña de una forma y conmutador de endomorfismos. ${\displaystyle A\wedge A={\frac {1}{2}}[A,A]}$

Bajo una transformación de calibre del fibrado vectorial , una conexión se transforma en una conexión por la conjugación . La diferencia donde aquí actúa sobre los endomorfismos de . Bajo una transformación de calibre local se obtiene la misma expresión ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle u\cdot \nabla }$ ${\displaystyle (u\cdot \nabla )_{v}(s)=u(\nabla _{v}(u^{-1}(s))}$ ${\displaystyle u\cdot \nabla -\nabla =-(\nabla u)u^{-1}}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle {\tilde {A}}_{\alpha }=gA_{\alpha }g^{-1}-(dg)g^{-1}}$

como en el caso de los paquetes principales.

Conexiones inducidas

Una conexión en un fibrado principal induce conexiones en fibrados vectoriales asociados. Una forma de ver esto es en términos de las formas de conexión local descritas anteriormente. Es decir, si una conexión de fibrado principal tiene formas de conexión local , y es una representación de la definición de un fibrado vectorial asociado , entonces las formas de conexión local inducidas se definen por ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A_{\alpha }\in \Omega ^{1}(U_{\alpha },\operatorname {ad} (P))}$ ${\displaystyle \rho :G\to \operatorname {Aut} (V)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle E=P\times _{\rho }V}$

${\displaystyle \rho _{*}A_{\alpha }\in \Omega ^{1}(U_{\alpha },\operatorname {End} (E)).}$

Aquí está el homomorfismo del álgebra de Lie inducido a partir de , y usamos el hecho de que este mapa induce un homomorfismo de fibrados vectoriales . ${\displaystyle \rho _{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to \operatorname {End} (V)}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (P)\to \operatorname {End} (E)}$

La curvatura inducida se puede definir simplemente por

${\displaystyle \rho _{*}F_{A}\in \Omega ^{2}(U_{\alpha },\operatorname {End} (E)).}$

Aquí se ve cómo las expresiones locales para la curvatura están relacionadas para los fibrados principales y los fibrados vectoriales, ya que el corchete de Lie en el álgebra de Lie se envía al conmutador de endomorfismos de bajo el homomorfismo del álgebra de Lie . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {End} (V)}$ ${\displaystyle \rho _{*}}$

Espacio de conexiones

El objeto central de estudio en la teoría de gauge matemática es el espacio de conexiones en un fibrado vectorial o fibrado principal. Este es un espacio afín de dimensión infinita modelado sobre el espacio vectorial (o en el caso de fibrados vectoriales). Se dice que dos conexiones son equivalentes de gauge si existe una transformación de gauge tal que . La teoría de gauge se ocupa de las clases de equivalencia de gauge de las conexiones. En cierto sentido, la teoría de gauge se ocupa, por tanto, de las propiedades del espacio cociente , que en general no es ni un espacio de Hausdorff ni una variedad suave . ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \Omega ^{1}(X,\operatorname {ad} (P))}$ ${\displaystyle \Omega ^{1}(X,\operatorname {End} (E))}$ ${\displaystyle A,A'\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle A'=u\cdot A}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}/{\mathcal {G}}}$

Muchas propiedades interesantes de la variedad base pueden codificarse en la geometría y topología de los espacios de módulos de conexiones en fibrados principales y fibrados vectoriales sobre . Los invariantes de , como los invariantes de Donaldson o los invariantes de Seiberg–Witten, pueden obtenerse calculando cantidades numéricas derivadas de los espacios de módulos de conexiones sobre . La aplicación más famosa de esta idea es el teorema de Donaldson , que utiliza el espacio de módulos de las conexiones de Yang–Mills en un fibrado principal sobre una cuadrivariedad simplemente conexa para estudiar su forma de intersección. Por este trabajo, Donaldson recibió la Medalla Fields . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ ${\displaystyle X}$

Convenciones de notación

Existen varias convenciones de notación utilizadas para conexiones en fibrados vectoriales y fibrados principales que se resumirán aquí.

• La letra es el símbolo más común utilizado para representar una conexión en un fibrado vectorial o fibrado principal. Proviene del hecho de que si uno elige una conexión fija de todas las conexiones, entonces cualquier otra conexión puede escribirse para alguna forma única de conexión . También proviene del uso de para denotar la forma local de la conexión en un fibrado vectorial, que posteriormente proviene del potencial electromagnético en física. A veces, el símbolo también se usa para referirse a la forma de conexión, generalmente en un fibrado principal, y generalmente en este caso se refiere a la forma única de conexión global en el espacio total del fibrado principal, en lugar de las formas de conexión locales correspondientes. Esta convención generalmente se evita en la literatura matemática, ya que a menudo entra en conflicto con el uso de para una forma de Kähler cuando la variedad subyacente es una variedad de Kähler . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \nabla _{0}\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \nabla =\nabla _{0}+A}$ ${\displaystyle A\in \Omega ^{1}(X,\operatorname {ad} (P))}$ ${\displaystyle A_{\alpha }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{1}(P,{\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle X}$
• El símbolo se utiliza más comúnmente para representar una conexión en un fibrado vectorial como un operador diferencial y, en ese sentido, se utiliza indistintamente con la letra . También se utiliza para referirse a los operadores de derivada covariante . La notación alternativa para el operador de conexión y los operadores de derivada covariante es enfatizar la dependencia de la elección de , o o . ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \nabla _{X}}$ ${\displaystyle \nabla _{A}}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle D_{A}}$ ${\displaystyle d_{A}}$
• El operador se refiere más comúnmente a la derivada covariante exterior de una conexión (y por eso a veces se escribe para una conexión ). Dado que la derivada covariante exterior en grado 0 es la misma que la derivada covariante regular, la conexión o derivada covariante en sí misma a menudo se denota en lugar de . ${\displaystyle d_{A}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle d_{\nabla }}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle d_{A}}$ ${\displaystyle \nabla }$
• El símbolo o se utiliza con mayor frecuencia para referirse a la curvatura de una conexión. Cuando se hace referencia a la conexión mediante , se hace referencia a la curvatura mediante en lugar de . Otras convenciones implican o o , por analogía con el tensor de curvatura de Riemann en la geometría de Riemann, que se denota mediante . ${\displaystyle F_{A}}$ ${\displaystyle F_{\nabla }}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle F_{\omega }}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R_{A}}$ ${\displaystyle R_{\nabla }}$ ${\displaystyle R}$
• La letra se utiliza a menudo para indicar una conexión de fibrado principal o una conexión de Ehresmann cuando se debe poner énfasis en la distribución horizontal . En este caso, el operador de proyección vertical correspondiente a (la forma única de conexión en ) se suele denotar , o , o . Utilizando esta convención, la curvatura a veces se denota para enfatizar la dependencia, y puede referirse al operador de curvatura en el espacio total o a la curvatura en la base . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H\subset TP}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle F_{H}}$ ${\displaystyle F_{H}}$ ${\displaystyle F_{H}\in \Omega ^{2}(P,{\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle F_{H}\in \Omega ^{2}(X,\operatorname {ad} (P))}$
• El fibrado adjunto del álgebra de Lie se denota habitualmente por , y el fibrado adjunto del grupo de Lie por . Esto no concuerda con la convención en la teoría de los grupos de Lie , donde se refiere a la representación de sobre , y se refiere a la representación del álgebra de Lie de sobre sí mismo por el corchete de Lie . En la teoría de grupos de Lie, la acción de conjugación (que define el fibrado ) se denota a menudo por . ${\displaystyle \operatorname {ad} (P)}$ ${\displaystyle \operatorname {Ad} (P)}$ ${\displaystyle \operatorname {Ad} }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Ad} (P)}$ ${\displaystyle \Psi _{g}}$

Diccionario de terminología matemática y física

Los campos matemáticos y físicos de la teoría de gauge implican el estudio de los mismos objetos, pero utilizan terminología diferente para describirlos. A continuación se presenta un resumen de cómo se relacionan estos términos entre sí.

Como demostración de este diccionario, considere un término interactuante de un campo de partículas electrón-positrón y el campo electromagnético en el Lagrangiano de la electrodinámica cuántica : ^[19]

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu },}$

Matemáticamente esto podría reescribirse.

${\displaystyle {\mathcal {L}}=\langle \psi ,({D\!\!\!\!/}_{A}-m)\psi \rangle _{L^{2}}+\|F_{A}\|_{L^{2}}^{2}}$

donde es una conexión en un fibrado principal , es una sección de un fibrado espinorial asociado y es el operador de Dirac inducido de la derivada covariante inducida en este fibrado asociado. El primer término es un término interactuante en el lagrangiano entre el campo espinorial (el campo que representa el electrón-positrón) y el campo de calibración (que representa el campo electromagnético). El segundo término es el funcional regular de Yang-Mills que describe las propiedades básicas no interactuantes del campo electromagnético (la conexión ). El término de la forma es un ejemplo de lo que en física se llama acoplamiento mínimo, es decir, la interacción más simple posible entre un campo de materia y un campo de calibración . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {D\!\!\!\!/}_{A}}$ ${\displaystyle \nabla _{A}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \nabla _{A}\psi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle A}$

Teoría de Yang-Mills

La teoría predominante que se da en la teoría de calibración matemática es la teoría de Yang-Mills. Esta teoría implica el estudio de las conexiones que son puntos críticos de la función de Yang-Mills definida por

${\displaystyle \operatorname {YM} (A)=\int _{X}\|F_{A}\|^{2}\,d\mathrm {vol} _{g}}$

donde es una variedad riemanniana orientada con la forma de volumen riemanniana y una -norma en el fibrado adjunto . Este funcional es el cuadrado de la -norma de la curvatura de la conexión , por lo que las conexiones que son puntos críticos de esta función son aquellas con curvatura lo más pequeña posible (o mínimos locales mayores de ). ${\displaystyle (X,g)}$ ${\displaystyle d\mathrm {vol} _{g}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|^{2}}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (P)}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {YM} }$

Estos puntos críticos se caracterizan como soluciones de las ecuaciones de Euler-Lagrange asociadas , las ecuaciones de Yang-Mills

${\displaystyle d_{A}\star F_{A}=0}$

donde es la derivada covariante exterior inducida de on y es el operador de estrella de Hodge . Estas soluciones se denominan conexiones de Yang-Mills y tienen un interés geométrico significativo. ${\displaystyle d_{A}}$ ${\displaystyle \nabla _{A}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (P)}$ ${\displaystyle \star }$

La identidad de Bianchi afirma que para cualquier conexión, . Por analogía para las formas diferenciales, una forma armónica se caracteriza por la condición ${\displaystyle d_{A}F_{A}=0}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle d\star \omega =d\omega =0.}$

Si se definiera una conexión armónica mediante la condición de que

${\displaystyle d_{A}\star F_{A}=d_{A}F_{A}=0}$

El estudio de las conexiones de Yang-Mills es de naturaleza similar al de las formas armónicas. La teoría de Hodge proporciona un representante armónico único de cada clase de cohomología de De Rham . Al reemplazar una clase de cohomología por una órbita de calibración , el estudio de las conexiones de Yang-Mills puede verse como un intento de encontrar representantes únicos para cada órbita en el espacio cociente de conexiones módulo transformaciones de calibración. ${\displaystyle [\omega ]}$ ${\displaystyle \{u\cdot A\mid u\in {\mathcal {G}}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}/{\mathcal {G}}}$

Ecuaciones de autodualidad y anti-autodualidad

En la dimensión cuatro, el operador de estrella de Hodge envía dos formas a dos formas, , y eleva al cuadrado al operador identidad, . Por lo tanto, la estrella de Hodge que opera en dos formas tiene valores propios , y las dos formas en una variedad riemanniana orientada de cuatro dimensiones se dividen como una suma directa ${\displaystyle \star :\Omega ^{2}(X)\to \Omega ^{2}(X)}$ ${\displaystyle \star ^{2}=\operatorname {Id} }$ ${\displaystyle \pm 1}$

${\displaystyle \Omega ^{2}(X)=\Omega _{+}(X)\oplus \Omega _{-}(X)}$

en las dos formas auto-duales y anti-auto-duales , dadas por los espacios propios y del operador de estrella de Hodge respectivamente. Es decir, es auto-dual si , y anti-auto-dual si , y cada dos formas diferenciales admite una división en partes auto-duales y anti-auto-duales. ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{2}(X)}$ ${\displaystyle \star \alpha =\alpha }$ ${\displaystyle \star \alpha =-\alpha }$ ${\displaystyle \alpha =\alpha _{+}+\alpha _{-}}$

Si la curvatura de una conexión en un fibrado principal sobre una variedad cuadridimensional es autodual o antiautodual, entonces por la identidad de Bianchi , la conexión es automáticamente una conexión de Yang-Mills. La ecuación ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle d_{A}\star F_{A}=\pm d_{A}F_{A}=0}$

${\displaystyle \star F_{A}=\pm F_{A}}$

es una ecuación diferencial parcial de primer orden para la conexión y, por lo tanto, es más sencilla de estudiar que la ecuación de Yang-Mills de segundo orden completa. La ecuación se denomina ecuación de autodualidad y la ecuación se denomina ecuación de anti-autodualidad y las soluciones de estas ecuaciones son conexiones autoduales o conexiones anti-autoduales respectivamente. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \star F_{A}=F_{A}}$ ${\displaystyle \star F_{A}=-F_{A}}$

Reducción dimensional

Una forma de derivar nuevas e interesantes ecuaciones de teoría de calibre es aplicar el proceso de reducción dimensional a las ecuaciones de Yang-Mills. Este proceso implica tomar las ecuaciones de Yang-Mills sobre una variedad (que generalmente se toma como el espacio euclidiano ), e imponer que las soluciones de las ecuaciones sean invariantes bajo un grupo de simetrías traslacionales o de otro tipo. A través de este proceso, las ecuaciones de Yang-Mills conducen a las ecuaciones de Bogomolny que describen monopolos en , las ecuaciones de Hitchin que describen fibrados de Higgs en superficies de Riemann , y las ecuaciones de Nahm en intervalos reales, al imponer simetría bajo traslaciones en una, dos y tres direcciones respectivamente. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Teoría de calibre en una y dos dimensiones

Aquí se analizan las ecuaciones de Yang-Mills cuando la variedad base es de dimensión baja. En este contexto, las ecuaciones se simplifican drásticamente debido al hecho de que en la dimensión uno no hay formas-dos, y en la dimensión dos el operador de estrella de Hodge en formas-dos actúa como . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \star :\Omega ^{2}(X)\to C^{\infty }(X)}$

Teoría de Yang-Mills

Se pueden estudiar las ecuaciones de Yang-Mills directamente en una variedad de dimensión dos. La teoría de las ecuaciones de Yang-Mills cuando la variedad base es una superficie compacta de Riemann fue desarrollada por Michael Atiyah y Raoul Bott . ^[6] En este caso, el espacio de módulos de las conexiones de Yang-Mills sobre un fibrado vectorial complejo admite varias interpretaciones ricas, y la teoría sirve como el caso más simple para comprender las ecuaciones en dimensiones superiores. Las ecuaciones de Yang-Mills en este caso se convierten en ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \star F_{A}=\lambda (E)\operatorname {Id} _{E}}$

para alguna constante topológica que depende de . Tales conexiones se denominan proyectivamente planas y, en el caso en que el fibrado vectorial es topológicamente trivial (por lo que ) son precisamente las conexiones planas. ${\displaystyle \lambda (E)\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \lambda (E)=0}$

Cuando el rango y grado del fibrado vectorial son coprimos , el espacio de módulos de las conexiones de Yang–Mills es suave y tiene una estructura natural de una variedad simpléctica . Atiyah y Bott observaron que, dado que las conexiones de Yang–Mills son proyectivamente planas, su holonomía da representaciones unitarias proyectivas del grupo fundamental de la superficie, de modo que este espacio tiene una descripción equivalente como un espacio de módulos de representaciones unitarias proyectivas del grupo fundamental de la superficie de Riemann, una variedad de caracteres . El teorema de Narasimhan y Seshadri da una descripción alternativa de este espacio de representaciones como el espacio de módulos de fibrados vectoriales holomorfos estables que son suavemente isomorfos a la . ^[20] A través de este isomorfismo, el espacio de módulos de las conexiones de Yang–Mills adquiere una estructura compleja, que interactúa con la estructura simpléctica de Atiyah y Bott para convertirlo en una variedad de Kähler compacta. ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle E}$

Simon Donaldson dio una prueba alternativa del teorema de Narasimhan y Seshadri que pasaba directamente de las conexiones de Yang–Mills a las estructuras holomorfas estables. ^[21] Atiyah y Bott usaron esta reformulación del problema para iluminar la relación íntima entre las conexiones extremales de Yang–Mills y la estabilidad de los fibrados vectoriales, como un mapa de momentos de dimensión infinita para la acción del grupo de calibración , dado por el mapa de curvatura en sí. Esta observación expresa el teorema de Narasimhan–Seshadri como una especie de versión de dimensión infinita del teorema de Kempf–Ness de la teoría de invariantes geométricos , relacionando los puntos críticos de la norma al cuadrado del mapa de momentos (en este caso las conexiones de Yang–Mills) con los puntos estables en el cociente algebraico correspondiente (en este caso los fibrados vectoriales holomorfos estables). Esta idea ha sido posteriormente muy influyente en la teoría de calibración y la geometría compleja desde su introducción. ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle A\mapsto F_{A}}$

Ecuaciones de Nahm

Las ecuaciones de Nahm, introducidas por Werner Nahm , se obtienen como la reducción dimensional de la anti-auto-dualidad en cuatro dimensiones a una dimensión, imponiendo invariancia traslacional en tres direcciones. ^[22] Concretamente, se requiere que la forma de conexión no dependa de las coordenadas . En este contexto, las ecuaciones de Nahm entre un sistema de ecuaciones en un intervalo para cuatro matrices que satisfacen el triple de ecuaciones ${\displaystyle A=A_{0}\,dx^{0}+A_{1}\,dx^{1}+A_{2}\,dx^{2}+A_{3}\,dx^{3}}$ ${\displaystyle x^{1},x^{2},x^{3}}$ ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle T_{0},T_{1},T_{2},T_{3}\in C^{\infty }(I,{\mathfrak {g}})}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {dT_{1}}{dt}}+[T_{0},T_{1}]+[T_{2},T_{3}]=0\\{\frac {dT_{2}}{dt}}+[T_{0},T_{2}]+[T_{3},T_{1}]=0\\{\frac {dT_{3}}{dt}}+[T_{0},T_{3}]+[T_{1},T_{2}]=0.\end{cases}}}$

Nahm demostró que las soluciones de estas ecuaciones (que se pueden obtener con bastante facilidad ya que son un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias ) se pueden utilizar para construir soluciones a las ecuaciones de Bogomolny , que describen monopolos en . Nigel Hitchin demostró que las soluciones a las ecuaciones de Bogomolny se podían utilizar para construir soluciones a las ecuaciones de Nahm, mostrando que las soluciones a los dos problemas eran equivalentes. ^[23] Donaldson demostró además que las soluciones a las ecuaciones de Nahm son equivalentes a mapas racionales de grado de la línea proyectiva compleja a sí misma, donde es la carga del monopolo magnético correspondiente. ^[24] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$ ${\displaystyle k}$

El espacio de módulos de soluciones de las ecuaciones de Nahm tiene la estructura de una variedad hiperkähler.

Ecuaciones de Hitchin y haces de Higgs

Las ecuaciones de Hitchin, introducidas por Nigel Hitchin , se obtienen como la reducción dimensional de las ecuaciones de autodualidad en cuatro dimensiones a dos dimensiones imponiendo invariancia de traslación en dos direcciones. ^[25] En este contexto, los dos componentes de forma de conexión adicionales se pueden combinar en un único endomorfismo de valor complejo , y cuando se formulan de esta manera, las ecuaciones se vuelven invariantes conformemente y, por lo tanto, son naturales para estudiar en una superficie de Riemann compacta en lugar de . Las ecuaciones de Hitchin establecen que para un par en un fibrado vectorial complejo donde , que ${\displaystyle A_{3}\,dx^{3}+A_{4}\,dx^{4}}$ ${\displaystyle \Phi =A_{3}+iA_{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle (A,\Phi )}$ ${\displaystyle E\to \Sigma }$ ${\displaystyle \Phi \in \Omega ^{1,0}(\Sigma ,\operatorname {End} (E))}$

${\displaystyle {\begin{cases}F_{A}+[\Phi ,\Phi ^{*}]=0\\{\bar {\partial }}_{A}\Phi =0\end{cases}}}$

donde es el componente de . Las soluciones de las ecuaciones de Hitchin se denominan pares de Hitchin . ${\displaystyle {\bar {\partial }}_{A}}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle d_{A}}$

Mientras que las soluciones de las ecuaciones de Yang-Mills en una superficie compacta de Riemann corresponden a representaciones unitarias proyectivas del grupo de superficies, Hitchin demostró que las soluciones de las ecuaciones de Hitchin corresponden a representaciones complejas proyectivas del grupo de superficies. El espacio de módulos de los pares de Hitchin tiene naturalmente (cuando el rango y el grado del fibrado son coprimos) la estructura de una variedad de Kähler. A través de un análogo de la observación de Atiyah y Bott sobre las ecuaciones de Yang-Mills, Hitchin demostró que los pares de Hitchin corresponden a los llamados fibrados de Higgs estables , donde un fibrado de Higgs es un par donde es un fibrado vectorial holomorfo y es un endomorfismo holomorfo de con valores en el fibrado canónico de la superficie de Riemann . Esto se muestra a través de una construcción de mapa de momentos de dimensión infinita, y este espacio de módulos de fibrados de Higgs también tiene una estructura compleja, que es diferente a la que proviene de los pares de Hitchin, lo que lleva a dos estructuras complejas en el espacio de módulos de fibrados de Higgs. Estos se combinan para dar un tercero, haciendo de este espacio de módulos una variedad hiperkähler . ${\displaystyle (E,\Phi )}$ ${\displaystyle E\to \Sigma }$ ${\displaystyle \Phi :E\to E\otimes K}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

El trabajo de Hitchin fue posteriormente generalizado ampliamente por Carlos Simpson , y la correspondencia entre las soluciones de las ecuaciones de Hitchin y los fibrados de Higgs sobre una variedad de Kähler arbitraria se conoce como el teorema de Hodge no abeliano . ^{[26] [27] [28] [29] [30]}

Teoría de calibre en tres dimensiones

Monopolos

La reducción dimensional de las ecuaciones de Yang-Mills a tres dimensiones imponiendo invariancia traslacional en una dirección da lugar a las ecuaciones de Bogomolny para un par donde es una familia de matrices. ^[31] Las ecuaciones son ${\displaystyle (A,\Phi )}$ ${\displaystyle \Phi :\mathbb {R} ^{3}\to {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle F_{A}=\star d_{A}\Phi .}$

Cuando el fibrado principal tiene un grupo de estructura que es el grupo circular , las soluciones de las ecuaciones de Bogomolny modelan el monopolo de Dirac, describiendo un monopolo magnético en el electromagnetismo clásico. El trabajo de Nahm y Hitchin muestra que cuando el grupo de estructura es el grupo unitario especial, las soluciones de las ecuaciones del monopolo corresponden a las soluciones de las ecuaciones de Nahm y, por el trabajo de Donaldson, estas corresponden además a aplicaciones racionales de a sí mismo de grado donde es la carga del monopolo. Esta carga se define como el límite ${\displaystyle P\to \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$ ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \lim _{R\to \infty }\int _{S_{R}}(\Phi ,F_{A})=4\pi k}$

de la integral del apareamiento sobre esferas en de radio creciente . ${\displaystyle (\Phi ,F_{A})\in \Omega ^{2}(\mathbb {R} ^{3})}$ ${\displaystyle S_{R}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle R}$

Teoría de Chern-Simons

La teoría de Chern-Simons en 3 dimensiones es una teoría cuántica de campos topológica con una función de acción proporcional a la integral de la forma de Chern-Simons , una forma tridimensional definida por

${\displaystyle \operatorname {Tr} (F_{A}\wedge A-{\frac {1}{3}}A\wedge A\wedge A).}$

Las soluciones clásicas a las ecuaciones de Euler-Lagrange del funcional de Chern-Simons en una 3-variedad cerrada corresponden a conexiones planas en el fibrado principal . Sin embargo, cuando tiene un borde la situación se vuelve más complicada. La teoría de Chern-Simons fue utilizada por Edward Witten para expresar el polinomio de Jones , un invariante de nudos, en términos del valor esperado de vacío de un bucle de Wilson en la teoría de Chern-Simons en la 3-esfera . ^[10] Esta fue una clara demostración del poder de los problemas teóricos de calibre para proporcionar una nueva visión en topología, y fue uno de los primeros ejemplos de una teoría cuántica de campos topológica . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P\to X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ ${\displaystyle S^{3}}$

En la cuantificación de la teoría clásica de Chern-Simons se estudian las conexiones planas inducidas o proyectivamente planas sobre el fibrado principal restringidas a superficies dentro de la 3-variedad. Los espacios de estados clásicos correspondientes a cada superficie son precisamente los espacios de módulos de las ecuaciones de Yang-Mills estudiadas por Atiyah y Bott. ^[6] La cuantificación geométrica de estos espacios fue lograda por Nigel Hitchin y Axelrod–Della Pietra–Witten de forma independiente, y en el caso en que el grupo de estructura es complejo, el espacio de configuración es el espacio de módulos de los fibrados de Higgs y su cuantificación fue lograda por Witten. ^{[32] [33] [34]} ${\displaystyle \Sigma \subset X}$

Homología de Floer

Andreas Floer introdujo un tipo de homología en una variedad de 3 elementos definida en analogía con la homología de Morse en dimensiones finitas. ^[35] En esta teoría de homología, la función de Morse es la funcional de Chern-Simons en el espacio de conexiones en un fibrado principal sobre la variedad de 3 elementos . Los puntos críticos son las conexiones planas, y las líneas de flujo se definen como los instantones de Yang-Mills en que se restringen a las conexiones planas críticas en los dos componentes de contorno. Esto conduce a la homología de Floer de instantones . La conjetura de Atiyah-Floer afirma que la homología de Floer de instantones concuerda con la homología de Floer de intersección lagrangiana del espacio de módulos de conexiones planas en la superficie que define una división de Heegaard de , que es simpléctica debido a las observaciones de Atiyah y Bott. ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M\times I}$ ${\displaystyle \Sigma \subset X}$ ${\displaystyle X}$

En analogía con la homología de Floer de instantones, se puede definir la homología de Floer de Seiberg-Witten , en la que los instantones se reemplazan con soluciones de las ecuaciones de Seiberg-Witten . Por el trabajo de Clifford Taubes, se sabe que esto es isomorfo a la homología de contacto embebido y, posteriormente, a la homología de Floer de Heegaard.

Teoría de calibre en cuatro dimensiones

La teoría de gauge ha sido estudiada más intensamente en cuatro dimensiones. Aquí el estudio matemático de la teoría de gauge se superpone significativamente con sus orígenes físicos, ya que el modelo estándar de física de partículas puede considerarse como una teoría cuántica de campos en un espacio-tiempo de cuatro dimensiones . El estudio de los problemas de la teoría de gauge en cuatro dimensiones conduce naturalmente al estudio de la teoría cuántica de campos topológica . Estas teorías son teorías de gauge físicas que son insensibles a los cambios en la métrica de Riemann de la variedad de cuatro dimensiones subyacente y, por lo tanto, pueden usarse para definir invariantes topológicos (o de estructura suave) de la variedad.

Ecuaciones anti-auto-dualidad

En cuatro dimensiones, las ecuaciones de Yang-Mills admiten una simplificación de las ecuaciones de anti-auto-dualidad de primer orden para una conexión en un fibrado principal sobre una cuatrivariedad riemanniana orientada . ^[17] Estas soluciones de las ecuaciones de Yang-Mills representan los mínimos absolutos del funcional de Yang-Mills, y los puntos críticos más altos corresponden a las soluciones que no surgen de conexiones anti-auto-duales. El espacio de módulos de soluciones de las ecuaciones de anti-auto-dualidad, , permite derivar invariantes útiles sobre la cuatrivariedad subyacente. ${\displaystyle \star F_{A}=-F_{A}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P\to X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d_{A}\star F_{A}=0}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{P}}$

Cobordismo dado por el espacio de módulos de conexiones anti-auto-duales en el teorema de Donaldson

Esta teoría es más efectiva en el caso en que es simplemente conexa . Por ejemplo, en este caso el teorema de Donaldson afirma que si la cuatrivariedad tiene forma de intersección definida negativa (4-variedad) , y si el fibrado principal tiene grupo de estructura el grupo unitario especial y segunda clase de Chern , entonces el espacio de módulos es pentadimensional y da un cobordismo entre sí mismo y una unión disjunta de copias de con su orientación invertida. Esto implica que la forma de intersección de dicha cuatrivariedad es diagonalizable. Hay ejemplos de cuatrivariedades topológicas simplemente conexas con forma de intersección no diagonalizable, como la variedad E8 , por lo que el teorema de Donaldson implica la existencia de cuatrivariedades topológicas sin estructura suave . Esto está en marcado contraste con dos o tres dimensiones, en las que las estructuras topológicas y las estructuras suaves son equivalentes: cualquier variedad topológica de dimensión menor o igual a 3 tiene una estructura suave única. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ ${\displaystyle c_{2}(P)=1}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{P}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle b_{2}(X)}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{2}}$

Clifford Taubes y Donaldson utilizaron técnicas similares para demostrar que el espacio euclidiano admite una cantidad infinita de estructuras lisas distintas, lo que contrasta marcadamente con cualquier dimensión distinta de cuatro, donde el espacio euclidiano tiene una estructura lisa única. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

Una extensión de estas ideas conduce a la teoría de Donaldson , que construye invariantes adicionales de cuatro variedades suaves a partir de los espacios de módulos de conexiones sobre ellas. Estos invariantes se obtienen evaluando las clases de cohomología en el espacio de módulos contra una clase fundamental , que existe debido al trabajo analítico que muestra la orientabilidad y compacidad del espacio de módulos de Karen Uhlenbeck , Taubes y Donaldson.

Cuando la cuadrivariable es una variedad de Kähler o una superficie algebraica y el fibrado principal tiene una primera clase de Chern que se desvanece, las ecuaciones de anti-autodualidad son equivalentes a las ecuaciones de Yang-Mills hermíticas en la variedad compleja . La correspondencia de Kobayashi-Hitchin probada para superficies algebraicas por Donaldson, y en general por Uhlenbeck y Yau, afirma que las soluciones a las ecuaciones de HYM corresponden a fibrados vectoriales holomorfos estables . Este trabajo proporcionó una descripción algebraica alternativa del espacio de módulos y su compactificación, porque el espacio de módulos de fibrados vectoriales holomorfos semiestables sobre una variedad compleja es una variedad proyectiva , y por lo tanto compacto. Esto indica que una forma de compactificar el espacio de módulos de conexiones es agregar conexiones correspondientes a fibrados vectoriales semiestables, las llamadas conexiones de Yang-Mills casi hermíticas . ${\displaystyle X}$

Ecuaciones de Seiberg-Witten

Durante su investigación de la supersimetría en cuatro dimensiones, Edward Witten y Nathan Seiberg descubrieron un sistema de ecuaciones ahora llamadas ecuaciones de Seiberg-Witten, para una conexión y un campo de espinores . ^[11] En este caso, la cuatrivariedad debe admitir una estructura de espín C , que define un fibrado principal de espín ^C con fibrado lineal determinante , y un fibrado de espinores asociado . La conexión está en , y el campo de espinores . Las ecuaciones de Seiberg-Witten están dadas por ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle S^{+}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \psi \in \Gamma (S^{+})}$

${\displaystyle {\begin{cases}F_{A}^{+}=\psi \otimes \psi ^{*}-{\frac {1}{2}}|\psi |^{2}\\d_{A}\psi =0.\end{cases}}}$

Las soluciones de las ecuaciones de Seiberg-Witten se denominan monopolos. El espacio de módulos de las soluciones de las ecuaciones de Seiberg-Witten, donde denota la elección de la estructura de espín, se utiliza para derivar los invariantes de Seiberg-Witten. Las ecuaciones de Seiberg-Witten tienen una ventaja sobre las ecuaciones anti-autodualidad, en el sentido de que las propias ecuaciones pueden perturbarse ligeramente para dar al espacio de módulos de las soluciones mejores propiedades. Para ello, se añade una biforma autodual arbitraria a la primera ecuación. Para elecciones genéricas de métrica en la variedad cuatridimensional subyacente y la elección de la biforma perturbadora, el espacio de módulos de las soluciones es una variedad compacta y suave. En buenas circunstancias (cuando la variedad es de tipo simple ), este espacio de módulos es de dimensión cero: una colección finita de puntos. El invariante de Seiberg-Witten en este caso es simplemente el número de puntos en el espacio de módulos. Los invariantes de Seiberg-Witten se pueden utilizar para demostrar muchos de los mismos resultados que los invariantes de Donaldson, pero a menudo con pruebas más sencillas que se aplican con mayor generalidad. ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\sigma }}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle X}$

Teoría de calibre en dimensiones superiores

Ecuaciones hermitianas de Yang-Mills

Es posible estudiar una clase particular de conexiones de Yang–Mills sobre variedades de Kähler o variedades hermíticas . Las ecuaciones de Yang–Mills hermíticas generalizan las ecuaciones de anti-autodualidad que ocurren en la teoría de Yang–Mills de cuatro dimensiones a fibrados vectoriales holomorfos sobre variedades complejas hermíticas en cualquier dimensión. Si es un fibrado vectorial holomorfo sobre una variedad de Kähler compacta , y es una conexión hermítica en con respecto a alguna métrica hermítica . Las ecuaciones de Yang–Mills hermíticas son ${\displaystyle E\to X}$ ${\displaystyle (X,\omega )}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle {\begin{cases}F_{A}^{0,2}=0\\\Lambda _{\omega }F_{A}=\lambda (E)\operatorname {Id} _{E},\end{cases}}}$

donde es una constante topológica que depende de . Estas pueden verse como una ecuación para la conexión hermítica o para la métrica hermítica correspondiente con la conexión de Chern asociada . En cuatro dimensiones, las ecuaciones HYM son equivalentes a las ecuaciones ASD. En dos dimensiones, las ecuaciones HYM corresponden a las ecuaciones de Yang-Mills consideradas por Atiyah y Bott. La correspondencia Kobayashi-Hitchin afirma que las soluciones de las ecuaciones HYM están en correspondencia con fibrados vectoriales holomórficos poliestables. En el caso de superficies compactas de Riemann, este es el teorema de Narasimhan y Seshadri, tal como lo demostró Donaldson. Para superficies algebraicas, fue demostrado por Donaldson y, en general, fue demostrado por Karen Uhlenbeck y Shing-Tung Yau . ^{[13] [14]} Este teorema se generaliza en el teorema de Hodge no abeliano de Simpson y, de hecho, es un caso especial del mismo donde el campo de Higgs de un fibrado de Higgs se establece en cero. ^[26] ${\displaystyle \lambda (E)\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (E,\Phi )}$

Instantones holonomicos excepcionales

La efectividad de las soluciones de las ecuaciones de Yang-Mills para definir invariantes de cuatro variedades ha generado interés en que puedan ayudar a distinguir entre variedades de holonomía excepcionales , como las variedades G2 en dimensión 7 y las variedades Spin(7) en dimensión 8, así como estructuras relacionadas, como las variedades de 6 Calabi-Yau y las variedades casi Kähler . ^{[36] [37]}

Teoría de cuerdas

Los nuevos problemas de teoría de calibre surgen de los modelos de teoría de supercuerdas . En tales modelos, el universo es de 10 dimensiones y consta de cuatro dimensiones de espacio-tiempo regular y una variedad de Calabi-Yau de 6 dimensiones. En tales teorías, los campos que actúan sobre las cuerdas viven en haces sobre estos espacios de dimensiones superiores, y uno está interesado en los problemas de teoría de calibre relacionados con ellos. Por ejemplo, el límite de las teorías de campo naturales en la teoría de supercuerdas cuando el radio de la cuerda se acerca a cero (el llamado límite de gran volumen ) en una variedad de Calabi-Yau de 6 dimensiones viene dado por las ecuaciones hermíticas de Yang-Mills en esta variedad. Alejándose del límite de gran volumen se obtiene la ecuación hermítica de Yang-Mills deformada , que describe las ecuaciones de movimiento para una D-brana en el modelo B de la teoría de supercuerdas. La simetría especular predice que las soluciones a estas ecuaciones deberían corresponder a subvariedades lagrangianas especiales del dual especular de Calabi-Yau. ^[38]

Véase también

• Teoría de calibre
• Introducción a la teoría de calibres
• Grupo de calibres (matemáticas)
• Simetría de calibre (matemáticas)
• Teoría de Yang-Mills
• Ecuaciones de Yang-Mills

Referencias

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