Forma de intersección de una variedad cuadridimensional

Una forma bilineal simétrica especial en el segundo grupo de (co)homología de una variedad 4-variedad

En matemáticas , la forma de intersección de una 4-variedad compacta orientada es una forma bilineal simétrica especial en el segundo grupo de (co)homología de la 4-variedad. Refleja gran parte de la topología de las 4-variedades, incluida la información sobre la existencia de una estructura suave .

Definición usando intersección

Sea M una variedad cerrada de 4 elementos ( PL o lisa ). Tómese una triangulación T de M. Denotemos por la subdivisión de celda dual . Representemos las clases por los 2-ciclos A y B módulo 2 vistos como uniones de 2-símplices de T y de , respectivamente. Definamos la forma de intersección módulo 2. ${\displaystyle T^{*}}$ ${\displaystyle a,b\in H_{2}(M;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle T^{*}}$

${\displaystyle \cap _{M,2}:H_{2}(M;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\times H_{2}(M;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\to \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

por la fórmula

${\displaystyle a\cap _{M,2}b=|A\cap B|{\bmod {2}}.}$

Esto está bien definido porque la intersección de un ciclo y un límite consta de un número par de puntos (por definición de un ciclo y un límite).

Si M está orientado, análogamente (es decir, contando las intersecciones con signos) se define la forma de intersección en el segundo grupo de homología.

${\displaystyle Q_{M}=\cap _{M}=\cdot _{M}:H_{2}(M;\mathbb {Z} )\times H_{2}(M;\mathbb {Z} )\to \mathbb {Z} .}$

Utilizando la noción de transversalidad, se pueden enunciar los siguientes resultados (que constituyen una definición equivalente de la forma de intersección).

• Si las clases están representadas por superficies cerradas (o 2 ciclos módulo 2) A y B que se encuentran transversalmente, entonces ${\displaystyle a,b\in H_{2}(M;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle a\cap _{M,2}b=|A\cap B|\mod 2.}$

• Si M está orientado y las clases están representadas por superficies orientadas cerradas (o 2-ciclos) A y B que se encuentran transversalmente, entonces cada punto de intersección en tiene el signo +1 o −1 dependiendo de las orientaciones, y es la suma de estos signos. ${\displaystyle a,b\in H_{2}(M;\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle A\cap B}$ ${\displaystyle Q_{M}(a,b)}$

Definición usando el producto taza

Utilizando la noción de producto de copa , se puede dar una definición dual (y por lo tanto equivalente) de la siguiente manera. Sea M una variedad de 4-variedades cerradas y orientadas (PL o lisa). Defina la forma de intersección en el segundo grupo de cohomología ${\displaystyle \smile }$

${\displaystyle Q_{M}\colon H^{2}(M;\mathbb {Z} )\times H^{2}(M;\mathbb {Z} )\to \mathbb {Z} }$

por la fórmula

${\displaystyle Q_{M}(a,b)=\langle a\smile b,[M]\rangle .}$

La definición de un producto de copa es dual (y por lo tanto análoga) a la definición anterior de la forma de intersección en la homología de una variedad, pero es más abstracta. Sin embargo, la definición de un producto de copa se generaliza a variedades complejas y topológicas. Esto es una ventaja para los matemáticos que están interesados ​​en variedades complejas y topológicas (no solo en variedades PL y suaves).

Cuando la 4-variedad es suave, entonces en la cohomología de De Rham , si a y b están representados por 2-formas y , entonces la forma de intersección se puede expresar mediante la integral ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle Q(a,b)=\int _{M}\alpha \wedge \beta }$

¿Dónde está el producto cuña ? ${\displaystyle \wedge }$

La definición que utiliza el producto de copa tiene un módulo 2 análogo más simple (que funciona para variedades no orientables). Por supuesto, esto no se da en la cohomología de De Rham.

Propiedades y aplicaciones

La dualidad de Poincaré establece que la forma de intersección es unimodular (hasta la torsión).

Según la fórmula de Wu, una variedad de 4 espín debe tener forma de intersección par, es decir, es par para cada x . Para una variedad de 4 espín lisa y simplemente conexa (o, más generalmente, una sin 2-torsiones en la primera homología), se cumple lo inverso. ${\displaystyle Q(x,x)}$

La signatura de la forma de intersección es un invariante importante. Una variedad 4-variedad limita una variedad 5-variedad si y solo si tiene signatura cero. El lema de Van der Blij implica que una variedad 4-variedad de espín tiene signatura múltiplo de ocho. De hecho, el teorema de Rokhlin implica que una variedad 4-variedad de espín compacta y suave tiene signatura múltiplo de 16.

Michael Freedman utilizó la forma de intersección para clasificar las 4-variedades topológicas simplemente conexas. Dada cualquier forma bilineal simétrica unimodular sobre los números enteros, Q , existe una 4-variedad cerrada simplemente conexa M con forma de intersección Q . Si Q es par, solo hay una de esas variedades. Si Q es impar, hay dos, y al menos una (posiblemente ambas) no tiene estructura lisa. Por lo tanto, dos 4-variedades cerradas simplemente conexas lisas con la misma forma de intersección son homeomorfas. En el caso impar, las dos variedades se distinguen por su invariante de Kirby-Siebenmann .

El teorema de Donaldson establece que una variedad de 4 elementos simplemente conexos y suaves con forma de intersección definida positiva tiene la forma de intersección diagonal (escalar 1). Por lo tanto, la clasificación de Freedman implica que existen muchas variedades de 4 elementos no suavizables, por ejemplo, la variedad E8 .

Referencias

• Forma de intersección
• Intersección_número_de_inmersiones
• Kirby, Robion (1989), La topología de 4-variedades, Apuntes de clase de matemáticas. 1374 , Springer-Verlag
• Formulario de enlace
• Scorpan, Alexandru (2005), El mundo salvaje de las 4-variedades , American Mathematical Society , ISBN 0-8218-3749-4
• Skopenkov, Arkadiy (2015), Topología algebraica desde el punto de vista geométrico (en ruso), MCCME, ISBN 978-5-4439-0293-7