BPST instantáneo

Tipo de instantáneo de Yang-Mills

El coeficiente dx ¹ ⊗σ ₃ del instantón BPST en la porción (x ¹ ,x ² ) de R ⁴ donde σ ₃ es la tercera matriz de Pauli (arriba a la izquierda). El coeficiente dx ² ⊗σ ₃ (arriba a la derecha). Estos coeficientes A ₁ ³ y A ₂ ³ determinan la restricción del instantón BPST A con g=2,ρ=1,z=0 a esta porción. La intensidad de campo correspondiente centrada alrededor de z=0 (abajo a la izquierda). Una representación visual de la intensidad de campo de un instantón BPST con centro z en la compactificación S ⁴ de R ⁴ (abajo a la derecha).

En física teórica, el instantón BPST es el instantón con número de bobinado 1 encontrado por Alexander Belavin , Alexander Polyakov , Albert Schwarz y Yu. S. Tyupkin. ^[1] Es una solución clásica a las ecuaciones de movimiento de la teoría de Yang-Mills SU(2) en el espacio-tiempo euclidiano (es decir, después de la rotación de Wick ), lo que significa que describe una transición entre dos vacíos topológicos diferentes de la teoría. Originalmente se esperaba abrir el camino para resolver el problema del confinamiento , especialmente porque Polyakov había demostrado en 1975 que los instantones son la causa del confinamiento en la QED compacta tridimensional. ^[2] Sin embargo, esta esperanza no se hizo realidad.

Descripción

El instanton

El instantón BPST tiene un número de bobinado no trivial , que puede visualizarse como un mapeo no trivial del círculo sobre sí mismo.

El instantón BPST es una solución clásica esencialmente no perturbativa de las ecuaciones de campo de Yang-Mills. Se obtiene al minimizar la densidad lagrangiana SU(2) de Yang-Mills :

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }^{a}F_{\mu \nu }^{a}}$

con F _μν ^a = ∂ _μ A _ν ^a – ∂ _ν A _μ ^a + g ε ^abc A _μ ^b A _ν ^c la intensidad del campo . El instantón es una solución con acción finita, de modo que F _μν debe tender a cero en el infinito del espacio-tiempo, lo que significa que A _μ tiende a una configuración de calibre puro. El infinito del espacio-tiempo de nuestro mundo de cuatro dimensiones es S ³ . El grupo de calibre SU(2) tiene exactamente la misma estructura, de modo que las soluciones con A _μ calibre puro en el infinito son aplicaciones de S ³ sobre sí mismo. ^[1] Estas aplicaciones pueden etiquetarse con un número entero q , el índice de Pontryagin (o número de bobinado ). Los instantones tienen q = 1 y, por lo tanto, corresponden (en el infinito) a transformaciones de calibre que no se pueden deformar continuamente hasta la unidad. ^[3] La solución BPST es, por lo tanto, topológicamente estable.

Se puede demostrar que las configuraciones autoduales que obedecen la relación F _μν ^a = ± ⁠1/2⁠ ε ^μναβ F _αβ ^a minimiza la acción. ^[4] Las soluciones con un signo más se denominan instantones, las que tienen un signo menos son antiinstantones.

Se puede demostrar que los instantones y antiinstantones minimizan la acción localmente de la siguiente manera:

${\displaystyle {\tilde {F}}_{\mu \nu }{\tilde {F}}^{\mu \nu }=F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }}$, dónde . ${\displaystyle {\tilde {F}}_{\mu \nu }={\frac {1}{2}}\epsilon _{\mu \nu }^{\rho \sigma }F_{\rho \sigma }}$

${\displaystyle S=\int dx^{4}{\frac {1}{4}}F^{2}=\int dx^{4}{\frac {1}{8}}(F\pm {\tilde {F}})^{2}\mp \int dx^{4}{\frac {1}{4}}F{\tilde {F}}}$

El primer término se minimiza mediante configuraciones autoduales o antiautoduales, mientras que el último término es una derivada total y, por lo tanto, depende solo del límite (es decir, ) de la solución; por lo tanto, es un invariante topológico y se puede demostrar que es un número entero multiplicado por alguna constante (la constante aquí es ). El número entero se denomina número instantón (véase grupo de homotopía ). ${\displaystyle x\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle {\frac {8\pi ^{2}}{g^{2}}}}$

Explícitamente la solución instantón está dada por ^[5]

${\displaystyle A_{\mu }^{a}(x)={\frac {2}{g}}{\frac {\eta _{\mu \nu }^{a}(x-z)_{\nu }}{(x-z)^{2}+\rho ^{2}}}}$

con z _μ el centro y ρ la escala del instantón. η ^a _μν es el símbolo de 't Hooft :

${\displaystyle \eta _{\mu \nu }^{a}={\begin{cases}\epsilon ^{a\mu \nu }&\mu ,\nu =1,2,3\\-\delta ^{a\nu }&\mu =4\\\delta ^{a\mu }&\nu =4\\0&\mu =\nu =4\end{cases}}.}$

Para valores grandes de x ² , ρ se vuelve despreciable y el campo de calibración se aproxima al de la transformación de calibración pura: . De hecho, la intensidad del campo es: ${\displaystyle {\frac {x^{0}+i\mathbf {x} \cdot \mathbf {\sigma } }{\sqrt {x^{2}}}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\epsilon _{ijk}{F^{a}}_{jk}={F^{a}}_{0i}={\frac {4{\rho }^{2}\delta _{ai}}{g(x^{2}+\rho ^{2})^{2}}}}$

y se acerca a cero tan rápido como r ⁻⁴ en el infinito.

Un anti-instantón se describe con una expresión similar, pero con el símbolo 't Hooft reemplazado por el símbolo anti-'t Hooft , que es igual al símbolo 't Hooft ordinario, excepto que los componentes con uno de los índices de Lorentz igual a cuatro tienen signo opuesto. ${\displaystyle {\bar {\eta }}_{\mu \nu }^{a}}$

La solución BPST tiene muchas simetrías. ^[6] Las traslaciones y dilataciones transforman una solución en otras soluciones. La inversión de coordenadas ( x ^μ → x ^μ / x ² ) transforma un instantón de tamaño ρ en un antiinstantón con tamaño 1/ρ y viceversa. Las rotaciones en el cuatriespacio euclidiano y las transformaciones conformes especiales dejan la solución invariante (hasta una transformación de calibre).

La acción clásica de un instantón es igual a ^[4]

${\displaystyle S={\frac {8\pi ^{2}}{g^{2}}}.}$

Dado que esta cantidad viene en forma exponencial en el formalismo de integral de trayectoria, se trata de un efecto esencialmente no perturbativo, ya que la función e ^{−1/ x^2} tiene una serie de Taylor que se desvanece en el origen, a pesar de ser distinta de cero en el resto del resto.

Otros calibres

La expresión para el instantón BPST dada anteriormente está en el llamado calibre Landau regular . Existe otra forma, que es equivalente a la expresión dada anteriormente, en el calibre Landau singular . En ambos calibres, la expresión satisface ∂ _μ A ^μ = 0. En el calibre singular, el instantón es

${\displaystyle A_{\mu }^{a}(x)={\frac {2}{g}}{\frac {\rho ^{2}}{(x-z)^{2}}}{\frac {{\bar {\eta }}_{\mu \nu }^{a}(x-z)_{\nu }}{(x-z)^{2}+\rho ^{2}}}.}$

En calibre singular, la expresión tiene una singularidad en el centro del instantón, pero tiende a cero más rápidamente para x hasta el infinito.

Cuando se trabaja con otros calibres distintos al Landau, se pueden encontrar en la literatura expresiones similares.

Generalización e inserción en otras teorías

A temperatura finita el instantón BPST se generaliza a lo que se llama calorón .

Lo anterior es válido para una teoría de Yang-Mills con SU(2) como grupo de calibración. Puede generalizarse fácilmente a un grupo no abeliano arbitrario. Los instantones vienen dados entonces por el instantón BPST para algunas direcciones en el espacio de grupo, y por cero en las otras direcciones.

Al recurrir a una teoría de Yang-Mills con ruptura espontánea de la simetría debido al mecanismo de Higgs , se descubre que los instantones BPST ya no son soluciones exactas a las ecuaciones de campo. Para encontrar soluciones aproximadas, se puede utilizar el formalismo de los instantones restringidos. ^[7]

Instanton gas y líquido

En QCD

Se espera que los instantones de tipo BPST desempeñen un papel importante en la estructura de vacío de la QCD . De hecho, los instantones se encuentran en los cálculos de red . Los primeros cálculos realizados con instantones utilizaron la aproximación de gas diluido. Los resultados obtenidos no resolvieron el problema infrarrojo de la QCD, lo que hizo que muchos físicos se alejaran de la física de los instantones. Sin embargo, más tarde se propuso un modelo líquido de instantones , que resultó ser un enfoque más prometedor. ^[8]

El modelo de gas diluido de instantones parte de la suposición de que el vacío de QCD consiste en un gas de instantones BPST. Aunque sólo se conocen con exactitud las soluciones con uno o pocos instantones (o antiinstantones), un gas diluido de instantones y antiinstantones puede aproximarse considerando una superposición de soluciones de un instantón a grandes distancias entre sí. 't Hooft calculó la acción efectiva para tal conjunto, ^[5] y encontró una divergencia infrarroja para grandes instantones, lo que significa que una cantidad infinita de instantones infinitamente grandes poblarían el vacío.

Más tarde, se estudió un modelo líquido de instantones . Este modelo parte del supuesto de que un conjunto de instantones no puede describirse mediante una mera suma de instantones separados. Se han propuesto varios modelos, introduciendo interacciones entre instantones o utilizando métodos variacionales (como la "aproximación de valle"), intentando aproximarse lo más posible a la solución multi-instantón exacta. Se han alcanzado muchos éxitos fenomenológicos. ^[8] El confinamiento parece ser el mayor problema de la teoría de Yang-Mills para el que los instantones no tienen respuesta alguna.

En la teoría electrodébil

La interacción débil se describe mediante SU(2), por lo que se puede esperar que los instantones también desempeñen un papel allí. Si es así, inducirían una violación del número bariónico . Debido al mecanismo de Higgs , los instantones ya no son soluciones exactas, pero se pueden utilizar aproximaciones en su lugar. Una de las conclusiones es que la presencia de una masa de bosón de calibración suprime los instantones grandes, por lo que la aproximación del gas de instantones es consistente.

Debido a la naturaleza no perturbativa de los instantones, todos sus efectos son suprimidos por un factor de e ^{−16π 2 / g 2} , que, en la teoría electrodébil, es del orden de 10 ⁻¹⁷⁹ .

Otras soluciones a las ecuaciones de campo

Los instantones y antiinstantones no son las únicas soluciones de las ecuaciones de campo de Yang-Mills rotadas por Wick. Se han encontrado soluciones multiinstantones para q iguales a dos y tres, y también existen soluciones parciales para q mayores . Las soluciones multiinstantones generales solo se pueden aproximar utilizando la aproximación de valle: se parte de un cierto ansatz (normalmente la suma del número requerido de instantones) y se minimiza numéricamente la acción bajo una restricción dada (manteniendo constante el número de instantones y los tamaños de los instantones).

También existen soluciones que no son autoduales. ^[9] Éstas no son mínimos locales de la acción, sino que corresponden a puntos de silla.

Los instantones también están estrechamente relacionados con los merones , ^[10] soluciones singulares no duales de las ecuaciones de campo euclidianas de Yang-Mills de carga topológica 1/2. Se cree que los instantones están compuestos de dos merones.

Véase también

• Instantáneo
• Merón
• Monopolo Wu-Yang

Referencias

1. AA Belavin; AM Polyakov; AS Schwartz; Yu.S.Tyupkin (1975). "Soluciones de pseudopartículas de las ecuaciones de Yang-Mills". Phys. Lett. B . 59 (1): 85–87. Bibcode :1975PhLB...59...85B. doi :10.1016/0370-2693(75)90163-X.
2. Polyakov, Alexander (1975). "Campos de calibración compactos y la catástrofe infrarroja". Phys. Lett. B . 59 (1): 82–84. Bibcode :1975PhLB...59...82P. doi :10.1016/0370-2693(75)90162-8.
3. S. Coleman, Los usos de los instantones , Int. School of Subnuclear Physics, (Erice, 1977)
4. Instantones en teorías de calibre, M. Shifman, World Scientific, ISBN 981-02-1681-5 
5. 't Hooft, Gerard (1976). "Cálculo de los efectos cuánticos debidos a una pseudopartícula de cuatro dimensiones". Phys. Rev. D . 14 (12): 3432–3450. Bibcode :1976PhRvD..14.3432T. doi :10.1103/PhysRevD.14.3432.
6. R. Jackiw y C. Rebbi, Propiedades conformes de una pseudopartícula de Yang-Mills , Phys. Rev. D14 (1976) 517
7. Affleck, Ian (1981). "Sobre instantones restringidos". Nucl. Phys. B . 191 (2): 429–444. Código Bibliográfico :1981NuPhB.191..429A. doi :10.1016/0550-3213(81)90307-2.
8. Hutter, Marcus (1995). "Instantones en QCD: teoría y aplicación del modelo líquido de instantones". arXiv : hep-ph/0107098 .
9. Stefan Vandoren; Peter van Nieuwenhuizen (2008). "Conferencias sobre instantones". arXiv : 0802.1862 [hep-th].
10. Actor, Alfred (1979). "Soluciones clásicas de las teorías de Yang-Mills SU(2)". Rev. Mod. Phys . 51 (3): 461–525. Código Bibliográfico :1979RvMP...51..461A. doi :10.1103/RevModPhys.51.461.