Ecuación de Yang-Mills hermítica deformada

En matemáticas y física teórica , y especialmente en teoría de gauge , la ecuación de Yang–Mills hermítica deformada (dHYM) es una ecuación diferencial que describe las ecuaciones de movimiento para una D-brana en el modelo B (comúnmente llamada B-brana ) de la teoría de cuerdas . La ecuación fue derivada por Mariño-Minasian - Moore - Strominger ^[1] en el caso del grupo de gauge abeliano (el grupo unitario ), y por Leung– Yau – Zaslow ^[2] usando simetría especular a partir de las ecuaciones de movimiento correspondientes para D-branas en el modelo A de la teoría de cuerdas. ${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$

Definición

En esta sección presentamos la ecuación dHYM como se explica en la literatura matemática por Collins-Xie- Yau . ^[3] La ecuación hermítica-Yang-Mills deformada es una ecuación diferencial parcial completamente no lineal para una métrica hermítica en un fibrado lineal sobre una variedad compacta de Kähler o, más generalmente, para una forma real . Es decir, supongamos que es una variedad de Kähler y es una clase. El caso de un fibrado lineal consiste en establecer donde es la primera clase de Chern de un fibrado lineal holomorfo . Supongamos que y consideremos la constante topológica ${\displaystyle (1,1)}$ ${\displaystyle (X,\omega )}$ ${\displaystyle [\alpha ]\in H^{1,1}(X,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle [\alpha ]=c_{1}(L)}$ ${\displaystyle c_{1}(L)}$ ${\displaystyle L\to X}$ ${\displaystyle \dim X=n}$

${\displaystyle {\hat {z}}([\omega ],[\alpha ])=\int _{X}(\omega +i\alpha )^{n}.}$

Tenga en cuenta que depende únicamente de la clase de y . Supongamos que . Entonces este es un número complejo ${\displaystyle {\hat {z}}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\hat {z}}\neq 0}$

${\displaystyle {\hat {z}}([\omega ],[\alpha ])=re^{i\theta }}$

para algún valor real y un ángulo que está determinado de forma única. ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle \theta \in [0,2\pi )}$

Fije una forma diferencial representativa suave en la clase . Para una función suave escriba , y observe que . La ecuación de Yang-Mills hermítica deformada para con respecto a es ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle [\alpha ]}$ ${\displaystyle \phi :X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \alpha _{\phi }=\alpha +i\partial {\bar {\partial }}\phi }$ ${\displaystyle [\alpha _{\phi }]=[\alpha ]}$ ${\displaystyle (X,\omega )}$ ${\displaystyle [\alpha ]}$

${\displaystyle {\begin{cases}\operatorname {Im} (e^{-i\theta }(\omega +i\alpha _{\phi })^{n})=0\\\operatorname {Re} (e^{-i\theta }(\omega +i\alpha _{\phi })^{n})>0.\end{cases}}}$

La segunda condición debe verse como una condición de positividad en las soluciones de la primera ecuación. Es decir, se buscan soluciones de la ecuación tales que . Esto es análogo al problema relacionado de encontrar métricas de Kähler-Einstein buscando métricas que resuelvan la ecuación de Einstein, sujeta a la condición de que sea un potencial de Kähler (que es una condición de positividad en la forma ). ${\displaystyle \operatorname {Im} (e^{-i\theta }(\omega +i\alpha _{\phi })^{n})=0}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} (e^{-i\theta }(\omega +i\alpha _{\phi })^{n})>0}$ ${\displaystyle \omega +i\partial {\bar {\partial }}\phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \omega +i\partial {\bar {\partial }}\phi }$

Discusión

Relación con la ecuación hermítica de Yang-Mills

Las ecuaciones dHYM se pueden transformar de varias maneras para ilustrar varias propiedades clave de las ecuaciones. En primer lugar, una manipulación algebraica simple muestra que la ecuación dHYM se puede escribir de forma equivalente

${\displaystyle \operatorname {Im} ((\omega +i\alpha )^{n})=\tan \theta \operatorname {Re} ((\omega +i\alpha )^{n}).}$

En esta forma, es posible ver la relación entre la ecuación dHYM y la ecuación de Yang-Mills hermítica regular . En particular, la ecuación dHYM debería parecerse a la ecuación HYM regular en el llamado límite de gran volumen. Precisamente, se reemplaza la forma de Kähler por para un entero positivo , y permite . Nótese que la fase para depende de . De hecho, , y podemos desarrollar ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle k\omega }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k\to \infty }$ ${\displaystyle \theta _{k}}$ ${\displaystyle (X,k\omega ,[\alpha ])}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \tan \theta _{k}=O(k^{-1})}$

${\displaystyle (k\omega +i\alpha )^{n}=k^{n}\omega ^{n}+ink^{n-1}\omega ^{n-1}\wedge \alpha +O(k^{n-2}).}$

Aquí vemos que

${\displaystyle \operatorname {Re} ((k\omega +i\alpha )^{n})=k^{n}\omega ^{n}+O(k^{n-2}),\quad \operatorname {Im} ((k\omega +i\alpha )^{n})=nk^{n-1}\omega ^{n-1}\wedge \alpha +O(k^{n-3}),}$

y vemos que la ecuación dHYM toma la forma ${\displaystyle k\omega }$

${\displaystyle Ck^{n-1}\omega ^{n}+O(k^{n-3})=nk^{n-1}\omega ^{n-1}\wedge \alpha +O(k^{n-3})}$

para alguna constante topológica determinada por . Así vemos que el término de orden principal en la ecuación dHYM es ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \tan \theta }$

${\displaystyle n\omega ^{n-1}\wedge \alpha =C\omega ^{n}}$

que es simplemente la ecuación HYM (reemplazando por si es necesario). ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle F(h)}$

Forma local

La ecuación dHYM también puede escribirse en coordenadas locales. Fijemos coordenadas holomorfas de manera que en el punto , tengamos ${\displaystyle p\in X}$ ${\displaystyle (z^{1},\dots ,z^{n})}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle \omega =\sum _{j=1}^{n}idz^{j}\wedge d{\bar {z}}^{j},\quad \alpha =\sum _{j=1}^{n}\lambda _{j}idz^{j}\wedge d{\bar {z}}^{j}.}$

Aquí, como supusimos, se trataba de una forma real. Defina el operador de fase lagrangiano como ${\displaystyle \lambda _{j}\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \Theta _{\omega }(\alpha )=\sum _{j=1}^{n}\arctan(\lambda _{j}).}$

Luego, un cálculo simple muestra que la ecuación dHYM en estas coordenadas locales toma la forma

${\displaystyle \Theta _{\omega }(\alpha )=\phi }$

donde . De esta forma se ve que la ecuación dHYM es completamente no lineal y elíptica. ${\displaystyle \phi =\theta \mod 2\pi }$

Soluciones

Es posible utilizar la geometría algebraica para estudiar la existencia de soluciones a la ecuación dHYM, como lo demuestra el trabajo de Collins–Jacob–Yau y Collins–Yau. ^{[4] [5] [6]} Supóngase que es cualquier subvariedad analítica de dimensión . Defina la carga central mediante ${\displaystyle V\subset X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle Z_{V}([\alpha ])}$

${\displaystyle Z_{V}([\alpha ])=-\int _{V}e^{-i\omega +\alpha }.}$

Cuando la dimensión de es 2, Collins–Jacob–Yau demuestra que si , entonces existe una solución de la ecuación dHYM en la clase si y solo si para cada curva tenemos ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} (Z_{X}([\alpha ]))>0}$ ${\displaystyle [\alpha ]\in H^{1,1}(X,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle C\subset X}$

${\displaystyle \operatorname {Im} \left({\frac {Z_{C}([\alpha ])}{Z_{X}([\alpha ])}}\right)>0.}$^[4]

En el ejemplo específico donde , la explosión del espacio proyectivo complejo , Jacob-Sheu muestra que admite una solución a la ecuación dHYM si y solo si y para cualquier , de manera similar tenemos ${\displaystyle X=\operatorname {Bl} _{p}\mathbb {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle [\alpha ]}$ ${\displaystyle Z_{X}([\alpha ])\neq 0}$ ${\displaystyle V\subset X}$

${\displaystyle \operatorname {Im} \left({\frac {Z_{V}([\alpha ])}{Z_{X}([\alpha ])}}\right)>0.}$^[7]

Gao Chen ha demostrado que en la denominada fase supercrítica, donde , las condiciones algebraicas análogas a las anteriores implican la existencia de una solución a la ecuación dHYM. ^[8] Esto se logra mediante comparaciones entre dHYM y la denominada ecuación J en la geometría de Kähler. La ecuación J aparece como el *límite de volumen pequeño* de la ecuación dHYM, donde se reemplaza por para un número real pequeño y uno permite . ${\displaystyle {\frac {(n-2)\pi }{2}}<\theta <{\frac {n\pi }{2}}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \varepsilon \omega }$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \epsilon \to 0}$

En general, se conjetura que la existencia de soluciones a la ecuación dHYM para una clase debería ser equivalente a la estabilidad de Bridgeland del fibrado lineal . ^{[5] [6]} Esto está motivado tanto por comparaciones con teoremas similares en el caso no deformado, como la famosa correspondencia Kobayashi-Hitchin que afirma que existen soluciones a las ecuaciones HYM si y solo si el fibrado subyacente es estable en pendiente. También está motivado por el razonamiento físico que proviene de la teoría de cuerdas, que predice que las B-branas físicamente realistas (aquellas que admiten soluciones a la ecuación dHYM, por ejemplo) deberían corresponder a la Π-estabilidad . ^[9] ${\displaystyle [\alpha ]=c_{1}(L)}$ ${\displaystyle L}$

Relación con la teoría de cuerdas

La teoría de supercuerdas predice que el espacio-tiempo es de 10 dimensiones, y que consiste en una variedad lorentziana de dimensión 4 (que generalmente se supone que es el espacio de Minkowski o el espacio de De Sitter o anti-De Sitter ) junto con una variedad de Calabi-Yau de dimensión 6 (que por lo tanto tiene dimensión compleja 3). En esta teoría de cuerdas, las cuerdas abiertas deben satisfacer las condiciones de contorno de Dirichlet en sus puntos finales. Estas condiciones requieren que los puntos finales de la cuerda se encuentren en las llamadas D-branas (D de Dirichlet), y existe mucho interés matemático en describir estas branas. ${\displaystyle X}$

Cuerdas abiertas con puntos finales fijados en D-branas

En el modelo B de la teoría de cuerdas topológica , la simetría especular homológica sugiere que las D-branas deberían considerarse como elementos de la categoría derivada de haces coherentes en el triple pliegue de Calabi–Yau . ^[10] Esta caracterización es abstracta, y el caso de importancia primaria, al menos para el propósito de formular la ecuación dHYM, es cuando una B-brana consiste en una subvariedad holomorfa y un fibrado vectorial holomorfo sobre ella (aquí se consideraría como el soporte del haz coherente sobre ), posiblemente con una conexión de Chern compatible en el fibrado. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y\subset X}$ ${\displaystyle E\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$

Esta conexión de Chern surge de una elección de métrica hermítica en , con la forma de curvatura y conexión correspondiente . En el ambiente del espacio-tiempo también hay un campo B o campo Kalb-Ramond (que no debe confundirse con el B en el modelo B), que es el equivalente teórico de cuerdas del campo electromagnético de fondo clásico (de ahí el uso de , que comúnmente denota la intensidad del campo magnético). ^[11] Matemáticamente, el campo B es una gerbe o gerbe de fibrado sobre el espacio-tiempo, lo que significa que consiste en una colección de dos formas para una cubierta abierta del espacio-tiempo, pero estas formas pueden no estar de acuerdo en las superposiciones, donde deben satisfacer las condiciones de cociclo en analogía con las funciones de transición de los fibrados de líneas (0-gerbes). ^[12] Este campo B tiene la propiedad de que cuando se retrotrae a lo largo del mapa de inclusión, la gerbe es trivial, lo que significa que el campo B puede identificarse con una dos formas definida globalmente en , escrita . La forma diferencial discutida anteriormente en este contexto está dada por , y estudiando las ecuaciones dHYM en el caso especial donde o equivalentemente debería verse como apagar el campo B o configurar , lo que en la teoría de cuerdas corresponde a un espacio-tiempo sin un campo electromagnético superior de fondo. ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle F(h)}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B_{i}\in \Omega ^{2}(U_{i})}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle \iota :Y\to X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha =F(h)+\beta }$ ${\displaystyle \alpha =F(h)}$ ${\displaystyle [\alpha ]=c_{1}(L)}$ ${\displaystyle \beta =0}$

La ecuación dHYM describe las ecuaciones de movimiento para esta D-brana en el espacio-tiempo equipada con un campo B , y se deriva de las ecuaciones de movimiento correspondientes para las A-branas a través de simetría especular. ^{[1] [2]} Matemáticamente, el modelo A describe las D-branas como elementos de la categoría de Fukaya de , subvariedades lagrangianas especiales de equipadas con un fibrado lineal unitario plano sobre ellas, y se entienden las ecuaciones de movimiento para estas A-branas. En la sección anterior, la ecuación dHYM se ha formulado para la D6-brana . ${\displaystyle (Y,E)}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y=X}$

Véase también

• Conexión Hermitian Yang-Mills
• Conexión Yang-Mills
• Conjetura de Thomas-Yau

Referencias

1. Marino, M., Minasian, R., Moore, G. y Strominger, A., Instantones no lineales a partir de p-branas supersimétricas. Journal of High Energy Physics, 2000(01), p.005.
2. Leung, NC, Yau, ST y Zaslow, E., De lagrangiana especial a la hermítica-Yang-Mills mediante la transformada de Fourier-Mukai. Adv. Theor. Math. Phys. 4 (2000), n.º 6, 1319-1341.
3. Collins, TC, XIIE, D. y YAU, STG, La ecuación hermítica-Yang-Mills deformada en geometría y física. Geometría y física: Volumen 1: Un homenaje en honor a Nigel Hitchin, 1, pág. 69.
4. Collins, TC, Jacob, A. y Yau, ST, (1, 1) Formas con fase lagrangiana especificada: estimaciones a priori y obstrucciones algebraicas. Camb. J. Math. 8 (2020), n.º 2, 407–452.
5. Collins, TC y Yau, ST, Mapas de momentos, PDE no lineales y estabilidad en simetría especular. Preimpresión arXiv 2018, arXiv :1811.04824.
6. Collins, TC y Shi, Y., Estabilidad y la ecuación hermítica-Yang-Mills deformada. Preimpresión arXiv 2020, arXiv :2004.04831.
7. A. Jacob y N. Sheu, La ecuación hermítica-Yang-Mills deformada en la explosión de P^n, preimpresión de arXiv 2020, arXiv :2009.00651
8. Chen, G., La ecuación J y la ecuación supercrítica deformada de Hermitian-Yang-Mills. Invent. Math. (2021)
9. Douglas, MR, Fiol, B. y Römelsberger, C., Estabilidad y branas BPS. Journal of High Energy Physics, 2005(09), p.006.
10. Aspinwall, PS, D-Branes on Calabi–Yau Manifolds. En progreso en teoría de cuerdas: notas de la conferencia TASI 2003. Editado por MALDACENA JUAN M. Publicado por World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 2005. ISBN  9789812775108 , pp. 1–152 (pp. 1–152).
11. Freed, DS y Witten, E., Anomalías en la teoría de cuerdas con $ D $-branas. Asian Journal of Mathematics, 3(4), págs. 819–852.
12. Laine, K., Aspectos geométricos y topológicos de las D-branas de tipo IIB. Tesis de maestría (asesor Jouko Mickelsson), Universidad de Helsinki