Forma positiva

En geometría compleja , el término forma positiva se refiere a varias clases de formas diferenciales reales de tipo Hodge (p, p) .

(1,1)-formas

Las formas reales ( p , p ) en una variedad compleja M son formas que son del tipo ( p , p ) y reales, es decir, se encuentran en la intersección. Una forma real (1,1) se denomina semipositiva ^[1] (a veces simplemente positiva ^[2] ), respectivamente, positiva ^[3] (o definida positiva ^[4] ) si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle \Lambda ^{p,p}(M)\cap \Lambda ^{2p}(M,{\mathbb {R} }).}$ ${\displaystyle \omega }$

1. ${\displaystyle -\omega }$es la parte imaginaria de una forma hermítica positiva semidefinida (respectivamente, positiva definida) .
2. Para algunas bases en el espacio de (1,0)-formas, se puede escribir en diagonal, como con reales y no negativos (respectivamente, positivos). ${\displaystyle dz_{1},...dz_{n}}$ ${\displaystyle \Lambda ^{1,0}M}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega ={\sqrt {-1}}\sum _{i}\alpha _{i}dz_{i}\wedge d{\bar {z}}_{i},}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$
3. Para cualquier vector (1,0)-tangente , (respectivamente, ). ${\displaystyle v\in T^{1,0}M}$ ${\displaystyle -{\sqrt {-1}}\omega (v,{\bar {v}})\geq 0}$ ${\displaystyle >0}$
4. Para cualquier vector tangente real , (respectivamente, ), donde es el operador de estructura compleja . ${\displaystyle v\in TM}$ ${\displaystyle \omega (v,I(v))\geq 0}$ ${\displaystyle >0}$ ${\displaystyle I:\;TM\mapsto TM}$

Haces de líneas positivas

En geometría algebraica, las formas definidas positivas (1,1) surgen como formas de curvatura de fibrados lineales amplios (también conocidos como fibrados lineales positivos ). Sea L un fibrado lineal hermítico holomorfo en una variedad compleja,

${\displaystyle {\bar {\partial }}:\;L\mapsto L\otimes \Lambda ^{0,1}(M)}$

Su operador de estructura compleja. Entonces L está equipado con una conexión única que preserva la estructura hermítica y satisface

${\displaystyle \nabla ^{0,1}={\bar {\partial }}}$.

Esta conexión se llama conexión de Chern .

La curvatura de la conexión de Chern es siempre una forma (1,1) puramente imaginaria. Un fibrado lineal L se llama positivo si es una forma (1,1) positiva. (Obsérvese que la clase de cohomología de De Rham de es multiplicada por la primera clase de Chern de L .) El teorema de incrustación de Kodaira afirma que un fibrado lineal positivo es amplio y, a la inversa, cualquier fibrado lineal amplio admite una métrica hermítica con positiva. ${\displaystyle \Theta }$ ${\displaystyle {\sqrt {-1}}\Theta }$ ${\displaystyle {\sqrt {-1}}\Theta }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle {\sqrt {-1}}\Theta }$

Positividad para(pág., pág.)-formas

Las formas (1,1) semipositivas de M forman un cono convexo . Cuando M es una superficie compleja compacta , este cono es autodual con respecto al apareamiento de Poincaré: ${\displaystyle dim_{\mathbb {C} }M=2}$ ${\displaystyle \eta ,\zeta \mapsto \int _{M}\eta \wedge \zeta }$

Para las (p, p) -formas, donde , hay dos nociones diferentes de positividad. ^[5] Una forma se llama fuertemente positiva si es una combinación lineal de productos de formas semipositivas, con coeficientes reales positivos. Una (p, p) -forma real en una variedad compleja n -dimensional M se llama débilmente positiva si para todas las (np, np) -formas fuertemente positivas ζ con soporte compacto, tenemos . ${\displaystyle 2\leq p\leq dim_{\mathbb {C} }M-2}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \int _{M}\eta \wedge \zeta \geq 0}$

Las formas débilmente positivas y fuertemente positivas forman conos convexos. En variedades compactas, estos conos son duales con respecto al par de Poincaré.

Notas

1. Huybrechts (2005)
2. Demailly (1994)
3. Huybrechts (2005)
4. Demailly (1994)
5. Demailly (1994)

Referencias

• P. Griffiths y J. Harris (1978), Principios de geometría algebraica , Wiley. ISBN  0-471-32792-1
• Griffiths, Phillip (3 de enero de 2020). "Teoremas de positividad y desaparición". hdl :20.500.12111/7881.
• J.-P. Demailly , Teoremas de desaparición de L2 para fibrados de líneas positivos y teoría de adjunción, Notas de clase de un curso CIME sobre "Métodos trascendentales de geometría algebraica" (Cetraro, Italia, julio de 1994) .
• Huybrechts, Daniel (2005), Geometría compleja: una introducción , Springer , ISBN 3-540-21290-6, Sr.  2093043
• Voisin, Claire (2007) [2002], Teoría de Hodge y geometría algebraica compleja (2 vols.) , Cambridge University Press , doi :10.1017/CBO9780511615344, ISBN 978-0-521-71801-1, Sr.  1967689