Conexión hermítica

En matemáticas, una conexión hermítica ${\displaystyle \nabla }$ es una conexión en un fibrado vectorial hermítico sobre una variedad suave que es compatible con la métrica hermítica en , lo que significa que ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle v\langle s,t\rangle =\langle \nabla _{v}s,t\rangle +\langle s,\nabla _{v}t\rangle }$

para todos los campos vectoriales suaves y todas las secciones suaves de . ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle s,t}$ ${\displaystyle E}$

Si es una variedad compleja y el fibrado vectorial hermítico en está equipado con una estructura holomorfa , entonces existe una única conexión hermítica cuya parte (0, 1) coincide con el operador Dolbeault en asociado a la estructura holomorfa. Esto se denomina conexión de Chern en . La curvatura de la conexión de Chern es una forma (1, 1). Para obtener más detalles, consulte Métricas hermíticas en un fibrado vectorial holomorfo . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$

En particular, si la variedad base es Kähler y el fibrado vectorial es su fibrado tangente, entonces la conexión de Chern coincide con la conexión de Levi-Civita de la métrica de Riemann asociada.

Referencias

• Shiing-Shen Chern, Teoría de variedades complejas sin potencial .
• Shoshichi Kobayashi, Geometría diferencial de fibrados vectoriales complejos . Publicaciones de la Sociedad Matemática de Japón, 15. Princeton University Press, Princeton, NJ , 1987. xii+305 pp. ISBN  0-691-08467-X .