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Forma de curvatura

En geometría diferencial , la forma de curvatura describe la curvatura de una conexión en un fibrado principal . El tensor de curvatura de Riemann en geometría riemanniana puede considerarse un caso especial.

Definición

Sea G un grupo de Lie con álgebra de Lie y PB un fibrado principal de G. Sea ω una conexión de Ehresmann en P (que es una forma unidimensional de valor α en P ).

Entonces la forma de curvatura es la forma 2-valorada en P definida por

(En otra convención, 1/2 no aparece.) Aquí representa la derivada exterior , se define en el artículo " Forma de álgebra de Lie valorada " y D denota la derivada covariante exterior . En otros términos, [1]

donde X , Y son vectores tangentes a P.

También hay otra expresión para Ω: si X , Y son campos vectoriales horizontales en P , entonces [2]

donde hZ significa el componente horizontal de Z , a la derecha identificamos un campo vectorial vertical y un elemento del álgebra de Lie que lo genera ( campo vectorial fundamental ), y es el inverso del factor de normalización utilizado por convención en la fórmula para la derivada exterior .

Se dice que una conexión es plana si su curvatura desaparece: Ω = 0. De manera equivalente, una conexión es plana si el grupo de estructura puede reducirse al mismo grupo subyacente pero con la topología discreta.

Forma de curvatura en un haz vectorial

Si EB es un fibrado vectorial, entonces también se puede pensar en ω como una matriz de 1-formas y la fórmula anterior se convierte en la ecuación de estructura de E. Cartan:

donde es el producto de cuña . Más precisamente, si y denotan componentes de ω y Ω correspondientemente (por lo que cada uno es una forma 1 habitual y cada uno es una forma 2 habitual), entonces

Por ejemplo, para el fibrado tangente de una variedad de Riemann , el grupo de estructura es O( n ) y Ω es una 2-forma con valores en el álgebra de Lie de O( n ), es decir, las matrices antisimétricas . En este caso, la forma Ω es una descripción alternativa del tensor de curvatura , es decir

utilizando la notación estándar para el tensor de curvatura de Riemann.

Identidades de Bianchi

Si es la forma 1 con valor vectorial canónico en el fibrado del marco , la torsión de la forma de conexión es la forma 2 con valor vectorial definida por la ecuación de estructura

donde como arriba D denota la derivada covariante exterior .

La primera identidad de Bianchi toma la forma

La segunda identidad de Bianchi toma la forma

y es válido de manera más general para cualquier conexión en un haz principal .

Las identidades de Bianchi se pueden escribir en notación tensorial como:

Las identidades de Bianchi contraídas se utilizan para derivar el tensor de Einstein en las ecuaciones de campo de Einstein , la mayor parte de la teoría general de la relatividad . [ aclaración necesaria ]

Notas

  1. ^ desde . Aquí también utilizamos la convención de Kobayashi para la derivada exterior de una forma que es entonces
  2. ^ Prueba:

Referencias

Véase también