Correspondencia Kobayashi-Hitchin

Teorema de los fibrados vectoriales

En geometría diferencial , geometría algebraica y teoría de gauge , la correspondencia de Kobayashi-Hitchin (o teorema de Donaldson-Uhlenbeck-Yau ) relaciona los fibrados vectoriales estables sobre una variedad compleja con los fibrados vectoriales de Einstein-Hermitianos . La correspondencia recibe su nombre de Shoshichi Kobayashi y Nigel Hitchin , quienes independientemente conjeturaron en la década de 1980 que los espacios de módulos de los fibrados vectoriales estables y los fibrados vectoriales de Einstein-Hermitianos sobre una variedad compleja eran esencialmente los mismos. ^{[1] [2]}

Esto fue demostrado por Simon Donaldson para superficies algebraicas proyectivas y más tarde para variedades algebraicas proyectivas , ^{[3] [4]} por Karen Uhlenbeck y Shing-Tung Yau para variedades compactas de Kähler , ^[5] e independientemente por Buchdahl para superficies compactas no Kahler, y por Jun Li y Yau para variedades complejas compactas arbitrarias. ^{[6] [7]}

El teorema puede considerarse una vasta generalización del teorema de Narasimhan-Seshadri relacionado con el caso de superficies compactas de Riemann , y ha sido influyente en el desarrollo de la geometría diferencial, la geometría algebraica y la teoría de gauge desde la década de 1980. En particular, la correspondencia de Hitchin-Kobayashi inspiró conjeturas que llevaron a la correspondencia de Hodge no abeliana para los fibrados de Higgs , así como la conjetura de Yau-Tian-Donaldson sobre la existencia de métricas de Kähler-Einstein en variedades de Fano , y la conjetura de Thomas-Yau sobre la existencia de lagrangianos especiales dentro de clases de isotopía de subvariedades lagrangianas de una variedad de Calabi-Yau . ^[8]

Historia

En 1965, MS Narasimhan y CS Seshadri demostraron el teorema de Narasimhan-Seshadri , que relaciona los fibrados vectoriales holomórficos (o algebraicos) estables sobre superficies de Riemann compactas (o curvas algebraicas proyectivas no singulares), con representaciones unitarias proyectivas del grupo fundamental de la superficie de Riemann. ^{[9] En la década de 1970,} Michael Atiyah , Raoul Bott , Hitchin y otros se dieron cuenta de que dicha teoría de representación del grupo fundamental podía entenderse en términos de conexiones de Yang-Mills , nociones que surgieron de la física matemática contemporánea en ese momento. Inspirado por el teorema de Narasimhan-Seshadri, en esta época se formó una conjetura folclórica de que los fibrados vectoriales poliestables de pendiente admiten conexiones hermíticas de Yang-Mills . Esto se debe en parte al argumento de Fedor Bogomolov y al éxito del trabajo de Yau sobre la construcción de estructuras geométricas globales en la geometría de Kähler . Esta conjetura fue compartida explícitamente por primera vez por Kobayashi y Hitchin de forma independiente a principios de la década de 1980. ^{[1] [2]}

La relación explícita entre las conexiones de Yang-Mills y los fibrados vectoriales estables se concretó a principios de los años 1980. Una correspondencia directa cuando la dimensión de la variedad compleja base es uno fue explicada en el trabajo de Atiyah y Bott en 1982 sobre las ecuaciones de Yang-Mills sobre superficies compactas de Riemann, y en la nueva prueba de Donaldson del teorema de Narasimhan-Seshadri desde la perspectiva de la teoría de calibre en 1983. ^{[10] [11]} En ese contexto, una conexión hermítica de Yang-Mills podría entenderse simplemente como una conexión (proyectivamente) plana sobre la superficie de Riemann. La noción de una conexión hermítica-Einstein para un fibrado vectorial sobre una variedad compleja de dimensión superior fue destilada por Kobayashi en 1980, y en 1982 demostró en general que un fibrado vectorial que admitiera tal conexión era estable en pendiente en el sentido de Mumford . ^{[12] [13]}

La dirección más difícil de probar la existencia de métricas de Hermite-Einstein en fibrados vectoriales holomorfos estables sobre variedades complejas de dimensión mayor que uno siguió rápidamente en la década de 1980. Poco después de proporcionar una nueva prueba del teorema de Narasimhan-Seshadri en dimensión compleja uno, Donaldson demostró la existencia para superficies algebraicas en 1985. ^[3] El año siguiente, Uhlenbeck -Yau demostró la existencia para variedades de Kähler compactas arbitrarias utilizando un método de continuidad. ^[5] Poco después de eso, Donaldson proporcionó una segunda prueba adaptada específicamente al caso de variedades algebraicas proyectivas utilizando la teoría de fibrados determinantes y la métrica de Quillen . ^[4] Debido a su trabajo, la correspondencia Kobayashi-Hitchin a menudo también se conoce como el teorema de Donaldson-Uhlenbeck-Yau. En 2019, Karen Uhlenbeck recibió el premio Abel en parte por su trabajo sobre la existencia de las métricas de Hermite-Einstein, así como por sus contribuciones a las técnicas analíticas clave que sustentan la prueba del teorema. ^[14]

A finales de los años 1980, la atención se centró en establecer la correspondencia no sólo en el caso de variedades compactas de Kähler, sino también para variedades complejas compactas arbitrarias. En este contexto, incluso resulta difícil definir la noción de estabilidad. Para variedades no Kähler se debe utilizar una métrica de Gauduchon para definir la estabilidad, pero esto no es una restricción, ya que toda métrica en una variedad compleja compacta es conforme a una métrica de Gauduchon. En 1987, Buchdahl demostró la existencia de superficies complejas compactas arbitrarias y, poco después, Li-Yau también lo hizo para variedades complejas compactas arbitrarias. ^{[6] [7]}

Declaración

La correspondencia Kobayashi-Hitchin se ocupa de la existencia de conexiones hermíticas de Yang-Mills (o métricas de Hermite-Einstein) en fibrados vectoriales holomorfos sobre variedades complejas compactas. En esta sección se presentarán las nociones precisas para la configuración de variedades de Kähler compactas. ^{[15] [16] [17]}

Paquetes vectoriales estables

La noción de estabilidad fue introducida en la geometría algebraica por Mumford en su trabajo sobre la teoría de invariantes geométricos , con vistas a construir espacios de módulos de varios objetos geométricos. ^[18] Mumford aplicó esta nueva teoría de fibrados vectoriales para desarrollar una noción de estabilidad de pendientes . ^[19]

Defina el grado de un fibrado vectorial holomorfo sobre una variedad de Kähler compacta como el número entero ${\displaystyle E\to (X,\omega )}$

${\displaystyle \mathrm {deg} (E):=(c_{1}(E)\cup [\omega ]^{n-1})[X]}$

donde es la primera clase de Chern de . La pendiente de es el número racional definido por ${\displaystyle c_{1}(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mu (E)}$

${\displaystyle \mu (E):={\frac {\mathrm {deg} (E)}{\mathrm {rank} (E)}}.}$

Es posible extender la definición de pendiente a cualquier haz coherente analítico sobre . Es decir, en el contexto algebraico, el rango y el grado de un haz coherente se codifican en los coeficientes de su polinomio de Hilbert , y las expresiones para estas cantidades se pueden extender de manera directa al contexto de las variedades de Kähler que no son proyectivas reemplazando el fibrado lineal amplio por la clase de Kähler y los pares de intersecciones por integrales. ${\displaystyle (X,\omega )}$

Se dice que un fibrado vectorial holomórfico es estable en pendiente (resp. semiestable en pendiente ) si para todos los subhaces coherentes propios y distintos de cero con , se satisface la siguiente desigualdad: ${\displaystyle E\to (X,\omega )}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subset E}$ ${\displaystyle 0<\operatorname {rk} ({\mathcal {F}})<\operatorname {rk} (E)}$

${\displaystyle \mu ({\mathcal {F}})<\mu (E)\quad {\text{(resp. }}\leq {\text{)}}.}$

Un fibrado vectorial es poliestable en pendiente si es isomorfo a una suma directa de fibrados vectoriales holomorfos estables de la misma pendiente. Un fibrado vectorial es inestable en pendiente si no es semiestable en pendiente.

Conexión hermítica Yang-Mills

La noción de una conexión hermítica de Yang-Mills es una especificación de una conexión de Yang-Mills para el caso de un fibrado vectorial hermítico sobre una variedad compleja. Es posible formular la definición en términos de la propia métrica hermítica o de su conexión de Chern asociada , y las dos nociones son esencialmente equivalentes hasta la transformación de calibración. Dado un fibrado vectorial hermítico sobre una variedad de Kähler compacta, una conexión hermítica de Yang-Mills es una conexión unitaria para la métrica hermítica que satisface ${\displaystyle (E,h)\to (X,\omega )}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle {\begin{cases}F_{A}^{0,2}=0\\\Lambda _{\omega }F_{A}=\lambda (E)\operatorname {Id} _{E}.\end{cases}}}$

La condición que implica que el operador diferencial es un operador de Dolbeault para una estructura holomorfa en el fibrado vectorial hermítico , y que en sí mismo es la conexión de Chern para esta estructura holomorfa. La constante depende únicamente de la topología de , y se puede calcular como ${\displaystyle F_{A}^{0,2}=0}$ ${\displaystyle \nabla _{A}^{0,1}}$ ${\displaystyle (E,h)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \lambda (E)\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \lambda (E)=-{\frac {2\pi i}{(n-1)!\mathrm {vol} (X)}}\mu (E).}$

Si, en cambio, se comienza con un fibrado vectorial holomórfico y se varía la elección de la métrica hermítica, entonces una solución de las ecuaciones anteriores, donde es la conexión de Chern de la métrica hermítica, se denomina métrica de Hermite-Einstein . ${\displaystyle E\to (X,\omega )}$ ${\displaystyle A}$

Correspondencia

Aquí presentamos el enunciado de la correspondencia Kobayashi-Hitchin para variedades complejas compactas arbitrarias, un caso en el que las definiciones anteriores de estabilidad y métricas especiales se pueden extender fácilmente.

Teorema (Donaldson–Uhlenbeck–Yau, Buchdahl, Li–Yau): Un fibrado vectorial holomorfo sobre una variedad compleja compacta con forma métrica 2 admite una métrica de Hermite–Einstein si y sólo si es poliestable en pendiente. ${\displaystyle E\to (X,\omega )}$ ${\displaystyle \omega }$

Si en cambio uno se limita a fibrados vectoriales holomorfos irreducibles, entonces la poliestabilidad de pendientes puede ser reemplazada por la estabilidad de pendientes. La correspondencia de Kobayashi-Hitchin no sólo implica una biyección de conjuntos de fibrados vectoriales poliestables de pendientes y métricas de Hermite-Einstein, sino un isomorfismo de espacios de módulos . Es decir, dos fibrados vectoriales holomorfos poliestables son biholomorfos si y sólo si existe una transformación de calibración que tome las métricas de Hermite-Einstein correspondientes de uno a otro, y la función que toma una métrica de Hermite-Einstein a su fibrado vectorial poliestable correspondiente es continua con respecto a tomar secuencias de métricas hermíticas y fibrados vectoriales holomorfos en las topologías apropiadas. Por lo tanto, uno puede enunciar la correspondencia de la siguiente manera: ${\displaystyle h\mapsto E}$

Teorema (versión del espacio de módulos): Existe un homeomorfismo del espacio de módulos de los fibrados vectoriales holomórficos poliestables con estructura suave subyacente fija hasta el biholomorfismo, y el espacio de módulos de las métricas de Hermite-Einstein en el fibrado vectorial complejo hasta la transformación de calibre. ${\displaystyle (X,\omega )}$ ${\displaystyle E\to (X,\omega )}$ ${\displaystyle E}$

Una dirección de la prueba de la correspondencia Kobayashi-Hitchin, la estabilidad de un fibrado vectorial holomorfo que admite una métrica de Hermite-Einstein, es una aplicación relativamente sencilla del principio en geometría hermítica de que la curvatura disminuye en subfibrados holomorfos . Kobayashi y Lübke proporcionaron pruebas de esta dirección. ^{[12] [20]} La principal dificultad en esta dirección es mostrar la estabilidad con respecto a subhaces coherentes que no son localmente libres, y para hacer esto Kobayashi demostró un teorema de desaparición para secciones de fibrados vectoriales de Hermite-Einstein.

La dirección más complicada de mostrar la existencia de una métrica de Hermite-Einstein en un fibrado vectorial poliestable con pendiente requiere técnicas sofisticadas de análisis geométrico . Muchas de estas técnicas se basan en las ideas desarrolladas por Yau en su prueba de la conjetura de Calabi , así como en el importante trabajo de Uhlenbeck sobre mapas armónicos en la década de 1970, y sus importantes resultados analíticos sobre las conexiones de Yang-Mills de principios de la década de 1980. Uhlenbeck y Yau demostraron el caso general de la correspondencia aplicando un método de continuidad y mostrando que la obstrucción a la finalización de este método de continuidad puede caracterizarse precisamente por un subhaz coherente analítico con el que se desestabiliza la pendiente del fibrado vectorial. Estas técnicas fueron desarrolladas por Buchdahl y Li-Yau en el contexto en el que la forma 2 no está cerrada, de modo que la variedad compleja compacta no es Kähler. ^{[6] [7]} ${\displaystyle \omega }$

Generalizaciones e influencia

La correspondencia Kobayashi-Hitchin fue uno de los primeros ejemplos de un principio general que ha llegado a dominar la investigación geométrica desde su demostración: los objetos extremos en geometría diferencial corresponden a objetos estables en geometría algebraica . Muchos resultados se han demostrado ya sea como extensiones o variaciones de la correspondencia Kobayashi-Hitchin, o por analogía directa con la correspondencia a partes aparentemente dispares de la geometría, y todos estos resultados siguen este mismo principio. A continuación se ofrece un resumen de estas generalizaciones o resultados relacionados:

Generalizaciones

• Una forma de la correspondencia Kobayashi-Hitchin se cumple para fibrados vectoriales semiestables de pendiente estricta que no son poliestables. ^[17] En tales fibrados vectoriales se puede demostrar la existencia de una denominada métrica de Hermite-Einstein aproximada , que es una familia de métricas hermíticas para pequeños tales que para cada . ${\displaystyle h_{\varepsilon }}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \|\Lambda _{\omega }F(h_{\varepsilon })-\lambda (E)\operatorname {Id} _{E}\|_{L^{2}}<\varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$
• La correspondencia Kobayashi-Hitchin ha sido generalizada por Bando-Siu a haces vectoriales holomórficos singulares, también conocidos como haces reflexivos . ^[21] Esto implica definir una noción de métricas singulares de Hermite-Einstein en dichos haces y ha sido influyente en los desarrollos de métricas singulares de Kähler-Einstein sobre variedades singulares de Fano.
• La correspondencia fue generalizada al caso de los fibrados de Higgs por Hitchin, Carlos Simpson , Donaldson y Kevin Corlette. Es decir, Hitchin demostró un análogo parcial de la correspondencia de Kobayashi-Hitchin para fibrados de Higgs sobre una superficie compacta de Riemann, y Donaldson proporcionó algún trabajo sobre representaciones armónicas que completó esta correspondencia. Esto fue luego ampliamente generalizado por Simpson al caso de fibrados de Higgs sobre variedades de Kähler compactas arbitrarias, y Corlette demostró los resultados correspondientes sobre representaciones armónicas en este caso. Esto ha llegado a ser conocido como la correspondencia de Hodge no abeliana , y tiene profundas relaciones con la simetría especular y la conjetura P=W de Tamas Hausel , así como con los sistemas integrables . La correspondencia de Hodge no abeliana implica la correspondencia de Kobayashi-Hitchin para variedades de Kähler compactas.
• La correspondencia se generalizó a las métricas de Hermite-Einstein sobre fibrados principales holomorfos con grupo de estructura reductiva , admitiendo una reducción compatible del grupo de estructura a un subgrupo compacto máximo. Annamalai Ramanathan definió por primera vez la noción de fibrado principal estable ^[22] y , en general, la correspondencia fue probada por Anchouche y Biswas ^[23] . También se conoce una versión de la correspondencia para fibrados principales de Higgs.
• David Gieseker introdujo un concepto de estabilidad, la estabilidad de Gieseker , que comparte muchas propiedades formales con la estabilidad de pendientes. La estabilidad de Gieseker requiere desigualdades de polinomios de Hilbert enteros (normalizados) para argumentos grandes, mientras que la estabilidad de pendientes requiere solo una desigualdad de los coeficientes de orden principal. Por lo tanto, la estabilidad de Gieseker puede verse como una generalización de la estabilidad de pendientes y, de hecho, hay una cadena de implicaciones.

pendiente estable ⇒ Gieseker estable ⇒ Gieseker semiestable ⇒ pendiente semiestable .

La estabilidad de Gieseker es una noción de estabilidad para fibrados vectoriales que surge directamente de la teoría de invariantes geométricos, y posteriormente ha tenido un impacto significativo en la geometría algebraica, donde se utiliza para formar espacios de módulos de haces. ^[24] Una generalización de la correspondencia de Kobayashi-Hitchin fue probada para fibrados vectoriales estables de Gieseker por Conan Leung, quien asoció a cada fibrado vectorial estable de Gieseker una denominada métrica casi de Hermite-Einstein . ^[25] Estas son métricas hermíticas especiales que satisfacen una versión polinómica de la ecuación diferencial que define una métrica de Hermite-Einstein, y son de hecho clases especiales de métricas aproximadas de Hermite-Einstein.

• En 2001, Álvarez-Cónsul y García-Prada demostraron una vasta generalización de la correspondencia de Kobayashi-Hitchin a fibrados quiver torcidos sobre variedades de Kähler compactas, que son familias de fibrados vectoriales holomorfos dotados de cuerpos auxiliares y homomorfismos de fibrados entre ellos. Esto incluye como casos especiales la correspondencia regular de Kobayashi-Hitchin, así como la correspondencia de Hodge no abeliana y varias versiones de la correspondencia de Kobayashi-Hitchin para reducciones dimensionales de las ecuaciones de Yang-Mills. ^[26]

Influencia

Además de admitir muchas generalizaciones directas o amplias, la correspondencia Kobayashi-Hitchin también ha servido como resultado guía para otras correspondencias que no encajan directamente en el marco de las métricas hermíticas sobre fibrados vectoriales. ^{[27] [28]}

• Existe una correspondencia en la teoría de Seiberg-Witten inspirada en la correspondencia de Kobayashi-Hitchin, que identifica soluciones de las ecuaciones de Seiberg-Witten sobre una superficie de Kähler, monopolos , con ciertos divisores . ^{[29] [30]} Esto se ha utilizado para calcular ejemplos de invariantes de Seiberg-Witten de cuatro variedades y recuperar resultados conocidos de la teoría de Donaldson .
• Yau conjeturó en 1993 que debería existir una noción de estabilidad para variedades algebraicas que caracterizaría de manera única la existencia de métricas de Kähler-Einstein en variedades Fano suaves , y que esta noción de estabilidad debería ser análoga a la estabilidad de pendiente de los fibrados vectoriales. ^[31] Tian Gang dio una definición precisa de dicha noción de estabilidad, llamada K-estabilidad , que fue reformulada de una manera puramente algebro-geométrica por Donaldson. ^{[32] [33]} La conjetura de que dichas variedades Fano K-poliestables están en correspondencia con las métricas de Kähler-Einstein fue probada por Chen–Donaldson–Sun. ^{[34] [35] [36]}
• Basándose en la conjetura de Yau, Donaldson conjeturó que, de manera más general, cualquier variedad proyectiva K-poliestable suave debería admitir una métrica de Kähler de curvatura escalar constante . Esta generalización de la conjetura para variedades de Fano se conoce como la conjetura de Yau–Tian–Donaldson , y aún está abierta en general. Se ha resuelto en el caso de variedades tóricas de dimensión compleja dos. Muchas de las técnicas desarrolladas para comprender la correspondencia de Kobayashi–Hitchin se han aplicado al entorno de variedades con el fin de intentar comprender la conjetura YTD. A saber, el uso del flujo de Kähler–Ricci como analogía del flujo de Yang–Mills, y del funcional de Calabi y el funcional de energía K en comparación con el funcional de Yang–Mills y el funcional de Donaldson. El estudio de las degeneraciones óptimas de las variedades proyectivas con respecto a la K-estabilidad también se ha inspirado en gran medida en el estudio de la filtración de Harder-Narasimhan de un fibrado vectorial holomórfico, y el comportamiento singular de las métricas en las variedades se estudia a través de la analogía con cómo las métricas hermíticas degeneran a lo largo del flujo de Yang-Mills en fibrados vectoriales holomórficos estrictamente semiestables.
• La conjetura de Thomas-Yau en geometría simpléctica propone una condición de estabilidad que debería caracterizar con precisión cuándo una clase isotópica de subvariedades lagrangianas de una variedad de Calabi-Yau admite una subvariedad lagrangiana especial como representante. ^{[8] Esta conjetura puede verse como una analogía directa con la correspondencia de Kobayashi-Hitchin, donde la clase isotópica se reemplaza por una órbita de calibración dentro del espacio de fibrados vectoriales hermíticos, y la condición lagrangiana especial se reemplaza por la condición de Hermite-Einstein.} Dominic Joyce propuso una caracterización de la condición de estabilidad requerida a partir de las condiciones de estabilidad de Bridgeland , y Gao Chen demostró una versión especular del resultado para la denominada ecuación hermítica deformada de Yang-Mills . ^[37]

Aplicaciones

La correspondencia Kobayashi-Hitchin ha encontrado una variedad de aplicaciones importantes en toda la geometría algebraica, la geometría diferencial y la topología diferencial . Al proporcionar dos descripciones alternativas del espacio de módulos de fibrados vectoriales holomorfos estables sobre una variedad compleja, una de naturaleza algebraica y la otra analítica, se han podido demostrar muchos resultados importantes sobre tales espacios de módulos. El más espectacular de ellos ha sido el estudio de invariantes de cuatro variedades y, de manera más general, de variedades algebraicas, a través de la teoría de Donaldson-Thomas . ^[38] En particular, el espacio de módulos de fibrados vectoriales de Hermite-Einstein viene naturalmente equipado con una estructura riemanniana, dada por una métrica de tipo Weil-Peterson en el espacio de módulos. La combinación de esta estructura geométrica con las compactificaciones algebraicas naturales del espacio de módulos que surgen de la correspondencia Kobayashi-Hitchin, dadas por los espacios de módulos de haces semiestables de pendiente o semiestables de Gieseker, permite integrar clases características sobre el espacio de módulos para obtener invariantes de la variedad compleja original. Esto se utiliza más famosamente en la teoría de Donaldson , donde se obtienen invariantes de cuatro variedades suaves. Se han utilizado técnicas similares en la teoría de Seiberg-Witten . En dimensiones superiores, la teoría de Donaldson-Thomas y la integración sobre clases fundamentales virtuales se desarrollaron en analogía con las descripciones duales de los espacios de módulos de haces que ofrece la correspondencia Kobayashi-Hitchin. Este es un sentido en el que la correspondencia ha tenido impactos duraderos en la geometría enumerativa . ^[39]

Referencias

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