Estabilidad K

En matemáticas , y especialmente en geometría diferencial y algebraica , la K-estabilidad es una condición de estabilidad algebro-geométrica , para variedades complejas y variedades algebraicas complejas . La noción de K-estabilidad fue introducida por primera vez por Gang Tian ^[1] y reformulada más algebraicamente más tarde por Simon Donaldson ^[2] . La definición se inspiró en una comparación con la estabilidad de la teoría de invariantes geométricos (GIT). En el caso especial de las variedades de Fano , la K-estabilidad caracteriza con precisión la existencia de métricas de Kähler-Einstein . De manera más general, en cualquier variedad compleja compacta, se conjetura que la K-estabilidad es equivalente a la existencia de métricas de Kähler de curvatura escalar constante ( métricas cscK ).

Historia

En 1954, Eugenio Calabi formuló una conjetura sobre la existencia de métricas de Kähler en variedades de Kähler compactas , ahora conocida como la conjetura de Calabi . ^[3] Una formulación de la conjetura es que una variedad de Kähler compacta admite una métrica de Kähler–Einstein única en la clase . En el caso particular donde , dicha métrica de Kähler–Einstein sería Ricci plana , haciendo que la variedad sea una variedad de Calabi–Yau . La conjetura de Calabi fue resuelta en el caso donde por Thierry Aubin y Shing-Tung Yau , y cuando por Yau. ^{[4] [5] [6]} En el caso donde , es decir cuando es una variedad de Fano , no siempre existe una métrica de Kähler–Einstein. Es decir, se sabía por el trabajo de Yozo Matsushima y André Lichnerowicz que una variedad de Kähler con solo puede admitir una métrica de Kähler-Einstein si el álgebra de Lie es reductiva . ^{[7] [8]} Sin embargo, se puede demostrar fácilmente que la explosión del plano proyectivo complejo en un punto, es Fano, pero no tiene álgebra de Lie reductiva. Por lo tanto, no todas las variedades de Fano pueden admitir métricas de Kähler-Einstein. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle c_{1}(X)}$ ${\displaystyle c_{1}(X)=0}$ ${\displaystyle c_{1}(X)<0}$ ${\displaystyle c_{1}(X)=0}$ ${\displaystyle c_{1}(X)>0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle c_{1}(X)>0}$ ${\displaystyle H^{0}(X,TX)}$ ${\displaystyle {\text{Bl}}_{p}\mathbb {CP} ^{2}}$

Después de la resolución de la conjetura de Calabi, la atención se centró en el problema vagamente relacionado de encontrar métricas canónicas en fibrados vectoriales sobre variedades complejas. En 1983, Donaldson produjo una nueva prueba del teorema de Narasimhan-Seshadri . ^[9] Como demostró Donaldson, el teorema establece que un fibrado vectorial holomorfo sobre una superficie compacta de Riemann es estable si y solo si corresponde a una conexión unitaria irreducible de Yang-Mills . Es decir, una conexión unitaria que es un punto crítico de la función de Yang-Mills. ${\displaystyle c_{1}(X)\leq 0}$

${\displaystyle \operatorname {YM} (\nabla )=\int _{X}\|F_{\nabla }\|^{2}\,d\operatorname {vol} .}$

En una superficie de Riemann, dicha conexión es proyectivamente plana, y su holonomía da lugar a una representación unitaria proyectiva del grupo fundamental de la superficie de Riemann, recuperando así el enunciado original del teorema de MS Narasimhan y CS Seshadri . ^[10] Durante la década de 1980, este teorema se generalizó a través del trabajo de Donaldson, Karen Uhlenbeck y Yau, y Jun Li y Yau a la correspondencia de Kobayashi-Hitchin , que relaciona los fibrados vectoriales holomórficos estables con las conexiones hermíticas-Einstein sobre variedades complejas compactas arbitrarias. ^{[11] [12] [13]} Una observación clave en el contexto de los fibrados vectoriales holomórficos es que una vez que se fija una estructura holomórfica, cualquier elección de métrica hermítica da lugar a una conexión unitaria, la conexión de Chern . Por lo tanto, se puede buscar una conexión hermítica-Einstein o su métrica hermítica-Einstein correspondiente.

Inspirado por la resolución del problema de existencia de métricas canónicas en fibrados vectoriales, en 1993 Yau se vio motivado a conjeturar que la existencia de una métrica de Kähler-Einstein en una variedad de Fano debería ser equivalente a alguna forma de condición de estabilidad algebro-geométrica en la variedad misma, de la misma manera que la existencia de una métrica hermítica-Einstein en un fibrado vectorial holomorfo es equivalente a su estabilidad. Yau sugirió que esta condición de estabilidad debería ser análoga a la estabilidad de la pendiente de fibrados vectoriales. ^[14]

En 1997, Tian sugirió una condición de estabilidad de este tipo, a la que llamó K-estabilidad en honor al funcional de energía K introducido por Toshiki Mabuchi . ^{[1] [15]} La K originalmente significaba cinética debido a la similitud del funcional de energía K con la energía cinética, y al alemán kanonisch para el fibrado canónico . La definición de Tian era de naturaleza analítica y específica para el caso de las variedades de Fano. Varios años después, Donaldson introdujo una condición algebraica descrita en este artículo llamada K-estabilidad , que tiene sentido en cualquier variedad polarizada y es equivalente a la definición analítica de Tian en el caso de la variedad polarizada donde es Fano. ^[2] ${\displaystyle (X,-K_{X})}$ ${\displaystyle X}$

Definición

En esta sección trabajamos con los números complejos , pero los puntos esenciales de la definición se aplican a cualquier cuerpo. Una variedad polarizada es un par donde es una variedad algebraica compleja y es un fibrado lineal amplio en . Una variedad polarizada de este tipo viene equipada con una incrustación en el espacio proyectivo utilizando la construcción Proj , ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle (X,L)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle X\cong \operatorname {Proj} \bigoplus _{r\geq 0}H^{0}\left(X,L^{kr}\right)\hookrightarrow \mathbb {P} \left(H^{0}\left(X,L^{k}\right)^{*}\right)}$

donde es cualquier entero positivo lo suficientemente grande como para ser muy amplio , y por lo tanto toda variedad polarizada es proyectiva . Cambiar la elección del fibrado lineal amplio en da como resultado una nueva incrustación de en un espacio proyectivo posiblemente diferente. Por lo tanto, una variedad polarizada puede considerarse como una variedad proyectiva junto con una incrustación fija en algún espacio proyectivo . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle L^{k}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{N}}$

Criterio de Hilbert-Mumford

La k-estabilidad se define por analogía con el criterio de Hilbert-Mumford de la teoría de invariantes geométricos de dimensión finita . Esta teoría describe la estabilidad de los puntos en variedades polarizadas, mientras que la k-estabilidad se refiere a la estabilidad de la variedad polarizada en sí.

El criterio de Hilbert-Mumford muestra que para probar la estabilidad de un punto en una variedad algebraica proyectiva bajo la acción de un grupo algebraico reductivo , es suficiente considerar los subgrupos de un parámetro ( 1-PS ) de . Para proceder, se toma un 1-PS de , digamos , y se observa el punto límite ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X\subset \mathbb {CP} ^{N}}$ ${\displaystyle G\subset \operatorname {GL} (N+1,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \lambda :\mathbb {C} ^{*}\hookrightarrow G}$

${\displaystyle x_{0}=\lim _{t\to 0}\lambda (t)\cdot x.}$

Este es un punto fijo de la acción del 1-PS , y por lo tanto la línea sobre en el espacio afín se conserva por la acción de . Una acción del grupo multiplicativo en un espacio vectorial unidimensional viene con un peso , un entero que etiquetamos , con la propiedad de que ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{N+1}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle \mu (x,\lambda )}$

${\displaystyle \lambda (t)\cdot {\tilde {x}}=t^{\mu (x,\lambda )}{\tilde {x}}}$

Para cualquier fibra de más de . El criterio de Hilbert-Mumford dice: ${\displaystyle {\tilde {x}}}$ ${\displaystyle x_{0}}$

• El punto es semiestable si para todos los 1-PS . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mu (x,\lambda )\leq 0}$ ${\displaystyle \lambda <G}$
• El punto es estable si para todos los 1-PS . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mu (x,\lambda )<0}$ ${\displaystyle \lambda <G}$
• El punto es inestable si para cualquier 1-PS . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mu (x,\lambda )>0}$ ${\displaystyle \lambda <G}$

Si se desea definir un concepto de estabilidad para las variedades, el criterio de Hilbert-Mumford sugiere que basta con considerar las deformaciones de un parámetro de la variedad. Esto conduce al concepto de configuración de prueba.

Configuraciones de prueba

Las fibras genéricas de una configuración de prueba son todas isomorfas a la variedad X, mientras que la fibra central puede ser distinta e incluso singular.

Una configuración de prueba para una variedad polarizada es un par donde es un esquema con un morfismo plano y es un fibrado de líneas relativamente amplio para el morfismo , tal que: ${\displaystyle (X,L)}$ ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ ${\displaystyle \pi :{\mathcal {X}}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \pi }$

1. Para cada , el polinomio de Hilbert de la fibra es igual al polinomio de Hilbert de . Esto es una consecuencia de la planitud de . ${\displaystyle t\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle ({\mathcal {X}}_{t},{\mathcal {L}}_{t})}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(k)}$ ${\displaystyle (X,L)}$ ${\displaystyle \pi }$
2. Hay una acción de sobre la familia que cubre la acción estándar de sobre . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$
3. Para cualquier (y por lo tanto para cada) , como variedades polarizadas. En particular, lejos de , la familia es trivial: donde es la proyección sobre el primer factor. ${\displaystyle t\in \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {X}}_{t},{\mathcal {L}}_{t})\cong (X,L)}$ ${\displaystyle 0\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle ({\mathcal {X}}_{t\neq 0},{\mathcal {L}}_{t\neq 0})\cong (X\times \mathbb {C} ^{*},\operatorname {pr} _{1}^{*}L)}$ ${\displaystyle \operatorname {pr} _{1}:X\times \mathbb {C} ^{*}\to X}$

Decimos que una configuración de prueba es una configuración de producto si , y una configuración trivial si la acción en es trivial en el primer factor. ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {X}}\cong X\times \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle {\mathcal {X}}\cong X\times \mathbb {C} }$

Invariante de Donaldson-Futaki

Para definir una noción de estabilidad análoga al criterio de Hilbert-Mumford, se necesita un concepto de peso sobre la fibra sobre de una configuración de prueba para una variedad polarizada . Por definición, esta familia viene equipada con una acción de cubriendo la acción sobre la base, y por lo tanto la fibra de la configuración de prueba sobre es fija. Es decir, tenemos una acción de sobre la fibra central . En general, esta fibra central no es lisa, ni siquiera una variedad. Hay varias formas de definir el peso sobre la fibra central. La primera definición se dio utilizando la versión de Ding-Tian del invariante Futaki generalizado. ^[1] Esta definición es geométrica diferencial y está directamente relacionada con los problemas de existencia en la geometría de Kähler. Las definiciones algebraicas se dieron utilizando invariantes Donaldson-Futaki y pesos CM definidos por la fórmula de intersección. ${\displaystyle \mu ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle (X,L)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle 0\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {X}}_{0},{\mathcal {L}}_{0})}$

Por definición, una acción de sobre un esquema polarizado conlleva una acción de sobre el fibrado lineal amplio y, por lo tanto, induce una acción sobre los espacios vectoriales para todos los números enteros . Una acción de sobre un espacio vectorial complejo induce una descomposición de suma directa en espacios de peso , donde cada uno es un subespacio unidimensional de y la acción de cuando se restringe a tiene un peso . Defina el peso total de la acción como el número entero . Esto es lo mismo que el peso de la acción inducida de sobre el espacio vectorial unidimensional donde . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{0}}$ ${\displaystyle H^{0}({\mathcal {X}}_{0},{\mathcal {L}}_{0}^{k})}$ ${\displaystyle k\geq 0}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V=V_{1}\oplus \cdots \oplus V_{n}}$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle w_{i}}$ ${\displaystyle w=w_{1}+\cdots +w_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\textstyle \bigwedge ^{n}V}$ ${\displaystyle n=\dim V}$

Defina la función de peso de la configuración de prueba como la función donde es el peso total de la acción en el espacio vectorial para cada entero no negativo . Si bien la función no es un polinomio en general, se convierte en un polinomio de grado para todos para algún entero fijo , donde . Esto se puede ver utilizando un teorema de Riemann-Roch equivariante. Recuerde que el polinomio de Hilbert satisface la igualdad para todos para algún entero fijo , y es un polinomio de grado . Para tal , escribamos ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle w(k)}$ ${\displaystyle w(k)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle H^{0}({\mathcal {X}}_{0},{\mathcal {L}}_{0}^{k})}$ ${\displaystyle k\geq 0}$ ${\displaystyle w(k)}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle k>k_{0}\gg 0}$ ${\displaystyle k_{0}}$ ${\displaystyle n=\dim X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(k)}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(k)=\dim H^{0}(X,L^{k})=\dim H^{0}({\mathcal {X}}_{0},{\mathcal {L}}_{0}^{k})}$ ${\displaystyle k>k_{1}\gg 0}$ ${\displaystyle k_{1}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k\gg 0}$

${\displaystyle {\mathcal {P}}(k)=a_{0}k^{n}+a_{1}k^{n-1}+O(k^{n-2}),\quad w(k)=b_{0}k^{n+1}+b_{1}k^{n}+O(k^{n-1}).}$

El invariante de Donaldson-Futaki de la configuración de prueba es el número racional ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$

${\displaystyle \operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})={\frac {b_{0}a_{1}-b_{1}a_{0}}{a_{0}^{2}}}.}$

En particular, ¿dónde está el término de primer orden en la expansión? ${\displaystyle \operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})=-f_{1}}$ ${\displaystyle f_{1}}$

${\displaystyle {\frac {w(k)}{k{\mathcal {P}}(k)}}=f_{0}+f_{1}k^{-1}+O(k^{-2}).}$

El invariante de Donaldson-Futaki no cambia si se reemplaza por una potencia positiva y, por eso, en la literatura la K-estabilidad a menudo se analiza utilizando fibrados de líneas . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L^{r}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Es posible describir el invariante Donaldson-Futaki en términos de la teoría de intersección , y este fue el enfoque adoptado por Tian al definir el peso CM. ^[1] Cualquier configuración de prueba admite una compactificación natural sobre (por ejemplo, consulte ^{[16] [17]} ), entonces el peso CM se define por ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle ({\bar {\mathcal {X}}},{\bar {\mathcal {L}}})}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$

${\displaystyle CM({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})={\frac {1}{2(n+1)\cdot L^{n}}}\left(\mu \cdot n{({\bar {\mathcal {L}}})}^{n+1}+(n+1){K}_{{\bar {\mathcal {X}}}/{\mathbb {P} }^{1}}\cdot {({\bar {\mathcal {L}}})}^{n}\right)}$

donde . Esta definición por fórmula de intersección se utiliza ahora a menudo en geometría algebraica. ${\displaystyle \mu =-{\frac {L^{n-1}\cdot K_{X}}{L^{n}}}}$

Se sabe que coincide con , por lo que podemos tomar el peso como o . El peso también se puede expresar en términos de la forma de Chow y el hiperdiscriminante. ^[18] En el caso de las variedades de Fano, existe una interpretación del peso en términos de nuevas -invariantes en las valoraciones encontradas por Chi Li ^[19] y Kento Fujita. ^[20] ${\displaystyle \operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle \operatorname {CM} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle \mu ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle \operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle \operatorname {CM} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle \mu ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle \beta }$

Estabilidad K

Para definir la K-estabilidad, primero debemos excluir ciertas configuraciones de prueba. Inicialmente se supuso que uno debería simplemente ignorar las configuraciones de prueba triviales como las definidas anteriormente, cuyo invariante Donaldson-Futaki siempre se anula, pero Li y Xu observaron que se necesita más cuidado en la definición. ^{[21] [22]} Székelyhidi ofrece una forma elegante de definir la K-estabilidad utilizando la norma de una configuración de prueba, que describimos primero. ^[23]

Para una configuración de prueba , defina la norma de la siguiente manera. Sea el generador infinitesimal de la acción en el espacio vectorial . Entonces . De manera similar a los polinomios y , la función es un polinomio para números enteros suficientemente grandes , en este caso de grado . Escribamos su expansión como ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle A_{k}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle H^{0}(X,L^{k})}$ ${\displaystyle \operatorname {Tr} (A_{k})=w(k)}$ ${\displaystyle w(k)}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(k)}$ ${\displaystyle \operatorname {Tr} (A_{k}^{2})}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n+2}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} (A_{k}^{2})=c_{0}k^{n+2}+O(k^{n+1}).}$

La norma de una configuración de prueba se define mediante la expresión

${\displaystyle \|({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\|^{2}=c_{0}-{\frac {b_{0}^{2}}{a_{0}}}.}$

De acuerdo con la analogía con el criterio de Hilbert-Mumford, una vez que se tiene una noción de deformación (configuración de prueba) y peso en la fibra central (invariante de Donaldson-Futaki), se puede definir una condición de estabilidad, llamada K-estabilidad .

Sea una variedad algebraica polarizada. Decimos que es: ${\displaystyle (X,L)}$ ${\displaystyle (X,L)}$

• K-semistable si para todas las configuraciones de prueba para . ${\displaystyle \operatorname {\mu } ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\geq 0}$ ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle (X,L)}$
• K-estable si para todas las configuraciones de prueba para , y adicionalmente siempre que . ${\displaystyle \operatorname {\mu } ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\geq 0}$ ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle (X,L)}$ ${\displaystyle \operatorname {\mu } ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})>0}$ ${\displaystyle \|({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\|>0}$
• K-poliestable si es K-semistable y, además, siempre que , la configuración de prueba es una configuración de producto. ${\displaystyle (X,L)}$ ${\displaystyle \operatorname {\mu } ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})=0}$ ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$
• K-inestable si no es K-semistable.

Conjetura de Yau-Tian-Donaldson

La k-estabilidad se introdujo originalmente como una condición algebro-geométrica que debería caracterizar la existencia de una métrica de Kähler-Einstein en una variedad de Fano. Esto llegó a conocerse como la conjetura de Yau-Tian-Donaldson (para variedades de Fano). La conjetura se resolvió en la década de 2010 en los trabajos de Xiuxiong Chen , Simon Donaldson y Song Sun , ^{[24] [25 ] [26] [27] [28] [29]} La estrategia se basa en un método de continuidad con respecto al ángulo del cono de una métrica de Kähler-Einstein con singularidades de cono a lo largo de un divisor anticanónico fijo, así como en un uso en profundidad de la teoría de Cheeger-Colding-Tian de los límites de Gromov-Hausdorff de las variedades de Kähler con aristas de Ricci.

Teorema (conjetura de Yau–Tian–Donaldson para métricas de Kähler–Einstein) : Una variedad de Fano admite una métrica de Kähler–Einstein en la clase de si y sólo si el par es K-poliestable. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle c_{1}(X)}$ ${\displaystyle (X,-K_{X})}$

Chen, Donaldson y Sun han alegado que la afirmación de Tian de tener la misma prioridad para la prueba es incorrecta, y lo han acusado de mala conducta académica. ^[a] Tian ha cuestionado sus afirmaciones. ^[b] Chen, Donaldson y Sun fueron reconocidos por el prestigioso Premio Veblen 2019 de la American Mathematical Society por haber resuelto la conjetura. ^[30] El Breakthrough Prize ha reconocido a Donaldson con el Breakthrough Prize in Mathematics y a Sun con el New Horizons Breakthrough Prize , en parte basado en su trabajo con Chen en la conjetura. ^{[31] [32]}

Más recientemente, Ved Datar y Gabor Székelyhidi proporcionaron una prueba basada en el método de continuidad "clásico", ^{[33] [34]} seguida por una prueba de Chen, Sun y Bing Wang utilizando el flujo de Kähler-Ricci. ^[35] Robert Berman, Sébastien Boucksom y Mattias Jonsson también proporcionaron una prueba a partir del enfoque variacional. ^[36]

Extensión a métricas de Kähler de curvatura escalar constante

Se espera que la conjetura de Yau-Tian-Donaldson se aplique de manera más general a las métricas cscK sobre variedades polarizadas suaves arbitrarias. De hecho, la conjetura de Yau-Tian-Donaldson se refiere a este contexto más general, siendo el caso de las variedades Fano un caso especial, que fue conjeturado anteriormente por Yau y Tian. Donaldson se basó en la conjetura de Yau y Tian a partir del caso Fano después de que se introdujera su definición de K-estabilidad para variedades polarizadas arbitrarias. ^[2]

Conjetura de Yau-Tian-Donaldson para métricas de curvatura escalar constante : una variedad polarizada suave admite una métrica de Kähler de curvatura escalar constante en la clase de si y sólo si el par es K-poliestable. ${\displaystyle (X,L)}$ ${\displaystyle c_{1}(L)}$ ${\displaystyle (X,L)}$

Como se ha comentado, la conjetura de Yau-Tian-Donaldson se ha resuelto en el contexto de Fano. Donaldson demostró en 2009 que la conjetura de Yau-Tian-Donaldson es válida para variedades tóricas de dimensión compleja 2. ^{[37] [38] [39]} Para variedades polarizadas arbitrarias, Stoppa demostró, también utilizando el trabajo de Arezzo y Pacard, que la existencia de una métrica cscK implica K-poliestabilidad. ^{[40] [41]} En cierto sentido, esta es la dirección fácil de la conjetura, ya que supone la existencia de una solución a una ecuación diferencial parcial difícil y llega al resultado algebraico comparativamente fácil. El desafío significativo es demostrar la dirección inversa, es decir, que una condición puramente algebraica implica la existencia de una solución a una EDP.

Ejemplos

Curvas suaves

Se sabe desde el trabajo original de Pierre Deligne y David Mumford que las curvas algebraicas suaves son asintóticamente estables en el sentido de la teoría de invariantes geométricos, y en particular que son K-estables. ^[42] En este contexto, la conjetura de Yau–Tian–Donaldson es equivalente al teorema de uniformización . Es decir, toda curva suave admite una métrica de Kähler–Einstein de curvatura escalar constante ya sea en el caso de la línea proyectiva , en el caso de curvas elípticas o en el caso de superficies de Riemann compactas de género . ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle g>1}$

Variedades de Fano

El contexto en el que es amplio, de modo que es una variedad de Fano, es de particular importancia, y en ese contexto se conocen muchas herramientas para verificar la estabilidad K de las variedades de Fano. Por ejemplo, utilizando técnicas puramente algebraicas, se puede demostrar que todas las hipersuperficies de Fermat ${\displaystyle L=-K_{X}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle F_{n,d}=\{z\in \mathbb {CP} ^{n+1}\mid z_{0}^{d}+\cdots z_{n+1}^{d}=0\}\subset \mathbb {CP} ^{n+1}}$

son variedades de Fano estables al K para . ^{[43] [44] [45]} ${\displaystyle 3\leq d\leq n+1}$

Variedades tóricas

La K-estabilidad fue introducida originalmente por Donaldson en el contexto de las variedades tóricas . ^[2] En el contexto tórico, muchas de las definiciones complicadas de K-estabilidad se simplifican para ser dadas por datos sobre el politopo de momento de la variedad tórica polarizada . Primero se sabe que para probar la K-estabilidad, es suficiente considerar configuraciones de prueba tóricas , donde el espacio total de la configuración de prueba también es una variedad tórica. Cualquier configuración de prueba tórica de este tipo puede describirse elegantemente mediante una función convexa en el politopo de momento, y Donaldson definió originalmente la K-estabilidad para tales funciones convexas. Si una configuración de prueba tórica para está dada por una función convexa en , entonces el invariante Donaldson-Futaki puede escribirse como ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (X_{P},L_{P})}$ ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle (X_{P},L_{P})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle \operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})={\frac {1}{2}}{\mathcal {L}}(f)={\frac {1}{2}}\left(\int _{\partial P}f\,d\sigma -a\int _{P}f\,d\mu \right),}$

donde es la medida de Lebesgue en , es la medida canónica en el límite de que surge de su descripción como un politopo de momento (si una arista de está dada por una desigualdad lineal para algún funcional lineal afín h en con coeficientes enteros, entonces ), y . Además, la norma de la configuración de prueba puede darse por ${\displaystyle d\mu }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle d\sigma }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle h(x)\leq a}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle d\mu =\pm dh\wedge d\sigma }$ ${\displaystyle a=\operatorname {Vol} (\partial P,d\sigma )/\operatorname {Vol} (P,d\mu )}$

${\displaystyle \left\|({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\right\|=\left\|f-{\bar {f}}\right\|_{L^{2}},}$

donde es el promedio de en con respecto a . ${\displaystyle {\bar {f}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle d\mu }$

Donaldson demostró que, para superficies tóricas, basta con probar funciones convexas de una forma particularmente simple. Decimos que una función convexa en es lineal por partes si puede escribirse como un máximo para algunos funcionales lineales afines . Nótese que, por la definición de la constante , el invariante de Donaldson-Futaki es invariante bajo la adición de un funcional lineal afín, por lo que siempre podemos tomar uno de los como la función constante . Decimos que una función convexa es lineal por partes simple si es un máximo de dos funciones, y por lo tanto está dada por para alguna función lineal afín , y lineal por partes racional simple si tiene coeficientes racionales. Donaldson demostró que, para superficies tóricas, basta con probar la K-estabilidad solo en funciones lineales por partes racionales simples. Tal resultado es poderoso en la medida en que es posible calcular fácilmente los invariantes de Donaldson-Futaki de tales configuraciones de prueba simples y, por lo tanto, determinar computacionalmente cuándo una superficie tórica dada es K-estable. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle f=\max(h_{1},\dots ,h_{n})}$ ${\displaystyle h_{1},\dots ,h_{n}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}(f)}$ ${\displaystyle h_{i}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle f=\max(0,h)}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h}$

Un ejemplo de una variedad K-inestable lo da la superficie tórica , la primera superficie de Hirzebruch , que es la explosión del plano proyectivo complejo en un punto, con respecto a la polarización dada por , donde es la explosión y el divisor excepcional. ${\displaystyle \mathbb {F} _{1}=\operatorname {Bl} _{0}\mathbb {CP} ^{2}}$ ${\textstyle L={\frac {1}{2}}(\pi ^{*}{\mathcal {O}}(2)-E)}$ ${\displaystyle \pi :\mathbb {F} _{1}\to \mathbb {CP} ^{2}}$ ${\displaystyle E}$

El politopo de momento de la primera superficie de Hirzebruch .

La medida de las caras límite horizontales y verticales del politopo son exactamente y . En la cara diagonal la medida está dada por . Considere la función convexa en este politopo. Entonces ${\displaystyle d\sigma }$ ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle dy}$ ${\displaystyle x+y=2}$ ${\displaystyle (dx-dy)/2}$ ${\displaystyle f(x,y)=x+y}$

${\displaystyle \int _{P}f\,d\mu ={\frac {11}{6}},\qquad \int _{\partial P}f\,d\sigma =6,}$

y

${\displaystyle \operatorname {Vol} (P,d\mu )={\frac {3}{2}},\qquad \operatorname {Vol} (\partial P,d\sigma )=5,}$

De este modo

${\displaystyle {\mathcal {L}}(f)=6-{\frac {55}{9}}=-{\frac {1}{9}}<0,}$

y por tanto la primera superficie de Hirzebruch es K-inestable. ${\displaystyle \mathbb {F} _{1}}$

Nociones alternativas

Estabilidad de Hilbert y Chow

La k-estabilidad surge de una analogía con el criterio de Hilbert-Mumford para la teoría de invariantes geométricos de dimensión finita. Es posible utilizar la teoría de invariantes geométricos directamente para obtener otras nociones de estabilidad para variedades que están estrechamente relacionadas con la k-estabilidad.

Tome una variedad polarizada con polinomio de Hilbert y fije un tal que sea muy amplio con cohomología superior que se desvanece. El par puede entonces identificarse con un punto en el esquema de Hilbert de subesquemas de con polinomio de Hilbert . ${\displaystyle (X,L)}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle L^{r}}$ ${\displaystyle (X,L^{r})}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{{\mathcal {P}}(r)-1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}'(K)={\mathcal {P}}(Kr)}$

Este esquema de Hilbert se puede incrustar en el espacio proyectivo como un subesquema de un Grassmanniano (que es proyectivo a través de la incrustación de Plücker ). El grupo lineal general actúa sobre este esquema de Hilbert, y dos puntos en el esquema de Hilbert son equivalentes si y solo si las variedades polarizadas correspondientes son isomorfas. Por lo tanto, se puede usar la teoría de invariantes geométricos para esta acción de grupo para dar una noción de estabilidad. Esta construcción depende de una elección de , por lo que se dice que una variedad polarizada es asintóticamente estable en el sentido de Hilbert si es estable con respecto a esta incrustación para todos los suficientemente grandes, para algún fijo . ${\displaystyle \operatorname {GL} ({\mathcal {P}}(r),\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle r>r_{0}\gg 0}$ ${\displaystyle r_{0}}$

Existe otra incrustación proyectiva del esquema de Hilbert llamada incrustación de Chow, que proporciona una linealización diferente del esquema de Hilbert y, por lo tanto, una condición de estabilidad diferente. Por lo tanto, se puede definir de manera similar la estabilidad asintótica de Chow . Explícitamente, el peso de Chow para un fijo se puede calcular como ${\displaystyle r>0}$

${\displaystyle \operatorname {Chow} _{r}({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})={\frac {rb_{0}}{a_{0}}}-{\frac {w(r)}{{\mathcal {P}}(r)}}}$

para suficientemente grande. ^[46] A diferencia del invariante Donaldson-Futaki, el peso de Chow cambia si el fibrado lineal se reemplaza por alguna potencia . Sin embargo, a partir de la expresión ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L^{k}}$

${\displaystyle \operatorname {Chow} _{rk}({\mathcal {X}},{\mathcal {L^{k}}})={\frac {krb_{0}}{a_{0}}}-{\frac {w(kr)}{{\mathcal {P}}(kr)}}}$

Se observa que

${\displaystyle \operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})=\lim _{k\to \infty }\operatorname {Chow} _{rk}({\mathcal {X}},{\mathcal {L^{k}}}),}$

y por lo tanto la K-estabilidad es en cierto sentido el límite de la estabilidad de Chow a medida que la dimensión del espacio proyectivo está incrustada y se acerca al infinito. ${\displaystyle X}$

De manera similar, se puede definir la semiestabilidad asintótica de Chow y la semiestabilidad asintótica de Hilbert, y las diversas nociones de estabilidad se relacionan de la siguiente manera:

Asintóticamente estable de Chow Asintóticamente estable de Hilbert Asintóticamente semiestable de Hilbert Asintóticamente semiestable de Chow K-semistable ${\displaystyle \implies }$ ${\displaystyle \implies }$ ${\displaystyle \implies }$ ${\displaystyle \implies }$

Sin embargo, no se sabe si la estabilidad K implica estabilidad de Chow asintótica. ^[47]

Estabilidad K de pendiente

Yau predijo originalmente que la noción correcta de estabilidad para variedades debería ser análoga a la estabilidad de pendiente para fibrados vectoriales. Julius Ross y Richard Thomas desarrollaron una teoría de estabilidad de pendiente para variedades, conocida como K-estabilidad de pendiente . Ross y Thomas demostraron que cualquier configuración de prueba se obtiene esencialmente ampliando la variedad a lo largo de una secuencia de ideales invariantes, apoyados en la fibra central. ^[47] Este resultado se debe esencialmente a David Mumford. ^[48] Explícitamente, cada configuración de prueba está dominada por una ampliación de a lo largo de un ideal de la forma ${\displaystyle X\times \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle X\times \mathbb {C} }$

${\displaystyle I=I_{0}+tI_{1}+t^{2}I_{2}+\cdots +t^{r-1}I_{r-1}+(t^{r})\subset {\mathcal {O}}_{X}\otimes \mathbb {C} [t],}$

¿Dónde está la coordenada en ? Al tomar el apoyo de los ideales esto corresponde a hacer estallar a lo largo de una bandera de subesquemas ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle Z_{r-1}\subset \cdots \subset Z_{2}\subset Z_{1}\subset Z_{0}\subset X}$

Dentro de la copia de . Esta descomposición se obtiene esencialmente tomando la descomposición espacial de pesos del ideal invariante bajo la acción. ${\displaystyle X\times \{0\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$

En el caso especial en el que esta bandera de subesquemas es de longitud uno, el invariante Donaldson-Futaki se puede calcular fácilmente y se llega a la pendiente K-estabilidad. Dado un subesquema definido por un haz ideal , la configuración de prueba está dada por ${\displaystyle Z\subset X}$ ${\displaystyle I_{Z}}$

${\displaystyle {\mathcal {X}}=\operatorname {Bl} _{Z\times \{0\}}(X\times \mathbb {C} ),}$

que es la deformación al cono normal de la incrustación . ${\displaystyle Z\hookrightarrow X}$

Si la variedad tiene polinomio de Hilbert , defina la pendiente de como ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(k)=a_{0}k^{n}+a_{1}k^{n-1}+O(k^{n-2})}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \mu (X)={\frac {a_{1}}{a_{0}}}.}$

Para definir la pendiente del subesquema , considere el polinomio de Hilbert-Samuel del subesquema , ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z}$

${\displaystyle \chi (L^{r}\otimes I_{Z}^{xr})=a_{0}(x)r^{n}+a_{1}(x)r^{n-1}+O(r^{n-2}),}$

para y un número racional tal que . Los coeficientes son polinomios en de grado , y la pendiente K de con respecto a se define por ${\displaystyle r\gg 0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle xr\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle a_{i}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n-i}$ ${\displaystyle I_{Z}}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle \mu _{c}(I_{Z})={\frac {\int _{0}^{c}{\big (}a_{1}(x)+{\frac {a_{0}'(x)}{2}}{\big )}\,dx}{\int _{0}^{c}a_{0}(x)\,dx}}.}$

Esta definición tiene sentido para cualquier elección de número real donde es la constante de Seshadri de . Nótese que tomando recuperamos la pendiente de . El par es pendiente K-semistable si para todos los subesquemas propios , para todos (también se puede definir pendiente K-estabilidad y pendiente K-poliestabilidad al requerir que esta desigualdad sea estricta, con algunas condiciones técnicas adicionales). ${\displaystyle c\in (0,\epsilon (Z)]}$ ${\displaystyle \epsilon (Z)}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z=\emptyset }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,L)}$ ${\displaystyle Z\subset X}$ ${\displaystyle \mu _{c}(I_{Z})\leq \mu (X)}$ ${\displaystyle c\in (0,\epsilon (Z)]}$

Ross y Thomas demostraron que la K-semistibilidad implica la K-semistibilidad de la pendiente. ^[49] Sin embargo, a diferencia del caso de los fibrados vectoriales, no es el caso de que la K-estabilidad de la pendiente implique la K-estabilidad. En el caso de los fibrados vectoriales es suficiente considerar sólo subhaces individuales, pero para las variedades es necesario considerar también banderas de longitud mayor que uno. A pesar de esto, la K-estabilidad de la pendiente todavía se puede utilizar para identificar variedades K-inestables y, por lo tanto, por los resultados de Stoppa, dar obstrucciones a la existencia de métricas cscK. Por ejemplo, Ross y Thomas utilizan la K-estabilidad de la pendiente para mostrar que la proyectivización de un fibrado vectorial inestable sobre una base K-estable es K-inestable y, por lo tanto, no admite una métrica cscK. Esto es lo contrario de los resultados de Hong, que muestran que la proyectivización de un fibrado estable sobre una base que admite una métrica cscK, también admite una métrica cscK y, por lo tanto, es K-estable. ^[50]

Estabilidad K de filtración

El trabajo de Apostolov–Calderbank–Gauduchon–Tønnesen-Friedman muestra la existencia de una variedad que no admite ninguna métrica extremal, pero que no parece desestabilizarse con ninguna configuración de prueba. ^[51] Esto sugiere que la definición de K-estabilidad que se da aquí puede no ser lo suficientemente precisa como para implicar la conjetura de Yau–Tian–Donaldson en general. Sin embargo, este ejemplo está desestabilizado por un límite de configuraciones de prueba. Esto fue precisado por Székelyhidi , quien introdujo la filtración de K-estabilidad . ^{[46] [23]} Una filtración aquí es una filtración del anillo de coordenadas.

${\displaystyle R=\bigoplus _{k\geq 0}H^{0}(X,L^{k})}$

de la variedad polarizada . Las filtraciones consideradas deben ser compatibles con la gradación en el anillo de coordenadas en el siguiente sentido: Una filtración de es una cadena de subespacios de dimensión finita ${\displaystyle (X,L)}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle \mathbb {C} =F_{0}R\subset F_{1}R\subset F_{2}R\subset \dots \subset R}$

de tal manera que se cumplan las siguientes condiciones:

1. La filtración es multiplicativa , es decir, para todos los . ${\displaystyle (F_{i}R)(F_{j}R)\subset F_{i+j}R}$ ${\displaystyle i,j\geq 0}$
2. La filtración es compatible con la gradación al proceder de las piezas calibradas . Es decir, si , entonces cada pieza homogénea de está en . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R_{k}=H^{0}(X,L^{k})}$ ${\displaystyle f\in F_{i}R}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F_{i}R}$
3. La filtración agota . Es decir, tenemos . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \bigcup _{i\geq 0}F_{i}R=R}$

Dada una filtración , su álgebra de Rees se define por ${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle \operatorname {Rees} (\chi )=\bigoplus _{i\geq 0}(F_{i}R)t^{i}\subset R[t].}$

Decimos que una filtración es finitamente generada si su álgebra de Rees es finitamente generada. David Witt Nyström demostró que una filtración es finitamente generada si y solo si surge de una configuración de prueba, y Székelyhidi demostró que cualquier filtración es un límite de filtraciones finitamente generadas. ^[52] Combinando estos resultados, Székelyhidi observó que el ejemplo de Apostolov-Calderbank-Gauduchon-Tønnesen-Friedman no violaría la conjetura de Yau–Tian–Donaldson si la K-estabilidad fuera reemplazada por la K-estabilidad de la filtración. Esto sugiere que la definición de K-estabilidad puede necesitar ser editada para tener en cuenta estos ejemplos limitantes.

Véase también

• Colector Kähler
• Métrica de Kähler-Einstein
• Estabilidad al potasio de las variedades Fano
• Teoría de invariantes geométricos
• Conjetura de Calabi
• Correspondencia Kobayashi-Hitchin
• Curva estable

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Notas

1. Xiuxiong Chen, Simon Donaldson, Song Sun. "Sobre algunos desarrollos recientes en la geometría de Kähler".
2. Gang Tian. “Respuesta al CDS” y “Más comentarios sobre el CDS”.