Covarianza y contravarianza de vectores.

Comportamiento del vector bajo cambios de coordenadas.

A vector, v , representado en términos de

base tangente

  mi ₁ , mi ₂ , mi ₃ al curvas de coordenadas ( izquierda ),

base dual, base covector o base recíproca

  mi ¹ , mi ² , mi ³ a superficies de coordenadas ( derecha ),

en coordenadas curvilíneas generales tridimensionales ( q ¹ , q ² , q ³ ) , una tupla de números para definir un punto en un espacio de posición . Tenga en cuenta que la base y la cobasis coinciden sólo cuando la base es ortogonal . ^[1]

En física , especialmente en álgebra multilineal y análisis de tensores , la covarianza y la contravarianza describen cómo la descripción cuantitativa de ciertas entidades geométricas o físicas cambia con un cambio de base . ^[2] Brevemente, un vector contravariante es una lista de números que se transforma de manera opuesta a un cambio de base, y un vector covariante es una lista de números que se transforma de la misma manera. Los vectores contravariantes a menudo se denominan simplemente vectores y los vectores covariantes se denominan covectores o vectores duales . Los términos covariante y contravariante fueron introducidos por James Joseph Sylvester en 1851. ^{[3] [4]}

Los sistemas de coordenadas curvilíneos , como las coordenadas cilíndricas o esféricas , se suelen utilizar en problemas físicos y geométricos. Asociada con cualquier sistema de coordenadas existe una elección natural de la base de coordenadas para los vectores basados ​​en cada punto del espacio, y la covarianza y la contravarianza son particularmente importantes para comprender cómo cambia la descripción de las coordenadas de un vector al pasar de un sistema de coordenadas a otro. Los tensores son objetos en álgebra multilineal que pueden tener aspectos tanto de covarianza como de contravarianza.

Introducción

En física, un vector surge típicamente como el resultado de una medición o serie de mediciones y se representa como una lista (o tupla ) de números como

${\displaystyle (v_{1},v_{2},v_{3}).}$

Los números de la lista dependen de la elección del sistema de coordenadas . Por ejemplo, si el vector representa la posición con respecto a un observador ( vector de posición ), entonces el sistema de coordenadas se puede obtener a partir de un sistema de varillas rígidas, o ejes de referencia, a lo largo de los cuales se encuentran las componentes v ₁ , v ₂ y v _3. Medido. Para que un vector represente un objeto geométrico, debe ser posible describir cómo se ve en cualquier otro sistema de coordenadas. Es decir, las componentes de los vectores se transformarán de cierta manera al pasar de un sistema de coordenadas a otro.

Un caso ilustrativo sencillo es el de un vector euclidiano . Para un vector, una vez que se ha definido un conjunto de vectores base, los componentes de ese vector siempre variarán en sentido opuesto a los de los vectores base. Por tanto, ese vector se define como un tensor contravariante . Tomemos como ejemplo un vector de posición estándar. Al cambiar la escala de los ejes de referencia de metros a centímetros (es decir, dividir la escala de los ejes de referencia por 100, de modo que los vectores base ahora tengan metros de largo), los componentes del vector de posición medido se multiplican por 100. Los componentes del vector cambian de escala inversamente a los cambios de escala en los ejes de referencia y, en consecuencia, un vector se llama tensor contravariante . ${\displaystyle .01}$

Un vector , que es un ejemplo de tensor contravariante , tiene componentes que se transforman inversamente a la transformación de los ejes de referencia (con transformaciones de ejemplo que incluyen rotación y dilatación ). El vector en sí no cambia bajo estas operaciones ; en cambio, los componentes del vector cambian de una manera que cancela el cambio en los ejes espaciales. En otras palabras, si los ejes de referencia giraran en una dirección, la representación componente del vector rotaría exactamente en la dirección opuesta. De manera similar, si los ejes de referencia se estiraran en una dirección, los componentes del vector se reducirían de una manera exactamente compensada. Matemáticamente, si el sistema de coordenadas sufre una transformación descrita por una matriz invertible M , de modo que los vectores base se transforman según , entonces los componentes de un vector v en la base original ( ) deben transformarse de manera similar mediante . Los componentes de un vector suelen representarse ordenados en una columna. ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}^{\prime }\ \mathbf {e} _{2}^{\prime }\ ...\ \mathbf {e} _{n}^{\prime }\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}\ \mathbf {e} _{2}\ ...\ \mathbf {e} _{n}\end{bmatrix}}M}$ ${\displaystyle v^{i}}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}v^{1}{^{\prime }}\\v^{2}{^{\prime }}\\...\\v^{n}{^{\prime }}\end{bmatrix}}=M^{-1}{\begin{bmatrix}v^{1}\\v^{2}\\...\\v^{n}\end{bmatrix}}}$

Por el contrario, un covector tiene componentes que se transforman como los ejes de referencia. Vive en el espacio vectorial dual y representa un mapa lineal de vectores a escalares. El operador del producto escalar que involucra vectores es un buen ejemplo de covector. Para ilustrar, supongamos que tenemos un covector definido como , donde es un vector. Los componentes de este covector en alguna base arbitraria son , siendo los vectores de base en el espacio vectorial correspondiente. (Esto se puede derivar observando que queremos obtener la respuesta correcta para la operación del producto escalar al multiplicar por un vector arbitrario , con componentes ). La covarianza de estos componentes del covector se ve fácilmente al observar que si se aplicara una transformación descrita por una matriz invertible M a los vectores base en el espacio vectorial correspondiente, entonces los componentes del covector se transformarán con la misma matriz . es decir, . Los componentes de un covector suelen representarse dispuestos en una fila. ${\displaystyle \mathbf {v} \ \cdot }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{1}&\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{2}&...&\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{n}\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}\ \mathbf {e} _{2}\ ...\ \mathbf {e} _{n}\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle \mathbf {w} }$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}w^{1}\\w^{2}\\...\\w^{n}\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}^{\prime }\ \mathbf {e} _{2}^{\prime }\ ...\ \mathbf {e} _{n}^{\prime }\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}\ \mathbf {e} _{2}\ ...\ \mathbf {e} _{n}\end{bmatrix}}M}$ ${\displaystyle \mathbf {v} \ \cdot }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{1}^{\prime }&\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{2}^{\prime }&...&\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{n}^{\prime }\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{1}&\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{2}&...&\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{n}\end{bmatrix}}M}$

Un tercer concepto relacionado con la covarianza y la contravarianza es la invarianza . Un escalar (también llamado tensor de tipo 0 o rango 0) es un objeto que no varía con el cambio de base. Un ejemplo de un observable físico que es escalar es la masa de una partícula. El valor escalar único de la masa es independiente de los cambios en los vectores base y, en consecuencia, se denomina invariante . La magnitud de un vector (como la distancia ) es otro ejemplo de invariante, porque permanece fija incluso si los componentes geométricos del vector varían. (Por ejemplo, para un vector de posición de metros de longitud, si todos los vectores de base cartesiana se cambian de metros de longitud a metros de longitud, la longitud del vector de posición permanece sin cambios en metros, aunque todos los componentes del vector aumentarán en un factor de ). El producto escalar de un vector y un covector es invariante, porque uno tiene componentes que varían con el cambio de base y el otro tiene componentes que varían de manera opuesta, y los dos efectos se cancelan. Se dice así que los covectores son duales con respecto a los vectores. ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle .01}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle 100}$

Así, para resumir:

• Un vector o vector tangente , tiene componentes que contravarían con un cambio de base para compensar. Es decir, la matriz que transforma los componentes del vector debe ser la inversa de la matriz que transforma los vectores base. Se dice que los componentes de los vectores (a diferencia de los de los covectores) son contravariantes . En la notación de Einstein (suma implícita sobre índice repetido), los componentes contravariantes se indican con índices superiores como en

  ${\displaystyle \mathbf {v} =v^{i}\mathbf {e} _{i}}$

• Un covector o vector cotangente tiene componentes que covarían con un cambio de base en el espacio vectorial correspondiente (inicial). Es decir, los componentes deben transformarse mediante la misma matriz que la matriz de cambio de base en el espacio vectorial correspondiente (inicial). Se dice que los componentes de los covectores (a diferencia de los de los vectores) son covariantes . En la notación de Einstein , los componentes covariantes se denotan con índices más bajos como en

  ${\displaystyle \mathbf {w} =w_{i}\mathbf {e} ^{i}.}$

• El producto escalar de un vector y un covector es el escalar , que es invariante. Es el emparejamiento de dualidad de vectores y covectores. ${\displaystyle v^{i}w_{i}}$

Definición

Componentes covariantes y contravariantes de un vector cuando la base no es ortogonal.

La formulación general de covarianza y contravarianza se refiere a cómo los componentes de un vector de coordenadas se transforman ante un cambio de base ( transformación pasiva ). Por lo tanto, sea V un espacio vectorial de dimensión n sobre un campo de escalares S , y sea cada uno de f = ( X ₁ , ..., X _n ) y f ′ = ( Y ₁ , ..., Y _n ) una base de V . ^{[nota 1]} Además, deje que el cambio de base de f a f ′ esté dado por

para alguna matriz A invertible n × n con entradas . Aquí, cada vector Y _j de la base f ′ es una combinación lineal de los vectores X _i de la base f , de modo que ${\displaystyle a_{j}^{i}}$

${\displaystyle Y_{j}=\sum _{i}a_{j}^{i}X_{i}.}$

Transformación contravariante

Un vector en V se expresa únicamente como una combinación lineal de los elementos de la base f como ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle X_{i}}$

donde v ⁱ [ f ] son ​​elementos del campo S conocidos como componentes de v en la base f . Denota el vector columna de componentes de v por v [ f ]:

${\displaystyle \mathbf {v} [\mathbf {f} ]={\begin{bmatrix}v^{1}[\mathbf {f} ]\\v^{2}[\mathbf {f} ]\\\vdots \\v^{n}[\mathbf {f} ]\end{bmatrix}}}$

de modo que ( 2 ) pueda reescribirse como un producto matricial

${\displaystyle v=\mathbf {f} \,\mathbf {v} [\mathbf {f} ].}$

El vector v también se puede expresar en términos de la base f ′, de modo que

${\displaystyle v=\mathbf {f'} \,\mathbf {v} [\mathbf {f'} ].}$

Sin embargo, dado que el vector v en sí es invariante según la elección de la base,

${\displaystyle \mathbf {f} \,\mathbf {v} [\mathbf {f} ]=v=\mathbf {f'} \,\mathbf {v} [\mathbf {f'} ].}$

La invariancia de v combinada con la relación ( 1 ) entre f y f ′ implica que

${\displaystyle \mathbf {f} \,\mathbf {v} [\mathbf {f} ]=\mathbf {f} A\,\mathbf {v} [\mathbf {f} A],}$

dando la regla de transformación

${\displaystyle \mathbf {v} [\mathbf {f'} ]=\mathbf {v} [\mathbf {f} A]=A^{-1}\mathbf {v} [\mathbf {f} ].}$

En términos de componentes,

${\displaystyle v^{i}[\mathbf {f} A]=\sum _{j}{\tilde {a}}_{j}^{i}v^{j}[\mathbf {f} ]}$

donde los coeficientes son las entradas de la matriz inversa de A . ${\displaystyle {\tilde {a}}_{j}^{i}}$

Debido a que los componentes del vector v se transforman con la inversa de la matriz A , se dice que estos componentes se transforman contravariantemente bajo un cambio de base.

La forma en que A relaciona los dos pares se representa en el siguiente diagrama informal mediante una flecha. La inversión de la flecha indica un cambio contravariante:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {f} &\longrightarrow \mathbf {f'} \\v[\mathbf {f} ]&\longleftarrow v[\mathbf {f'} ]\end{aligned}}}$

Transformación covariante

Un funcional lineal α en V se expresa únicamente en términos de sus componentes (elementos en S ) en la base f como

${\displaystyle \alpha (X_{i})=\alpha _{i}[\mathbf {f} ],\quad i=1,2,\dots ,n.}$

Estos componentes son la acción de α sobre los vectores base Xi de la _base f .

Bajo el cambio de base de f a f ′ (vía 1 ), los componentes se transforman de modo que

Denota el vector fila de componentes de α por α [ f ]:

${\displaystyle \mathbf {\alpha } [\mathbf {f} ]={\begin{bmatrix}\alpha _{1}[\mathbf {f} ],\alpha _{2}[\mathbf {f} ],\dots ,\alpha _{n}[\mathbf {f} ]\end{bmatrix}}}$

de modo que ( 3 ) pueda reescribirse como el producto matricial

${\displaystyle \alpha [\mathbf {f} A]=\alpha [\mathbf {f} ]A.}$

Debido a que los componentes del funcional lineal α se transforman con la matriz A , se dice que estos componentes se transforman covariantemente bajo un cambio de base.

La forma en que A relaciona los dos pares se representa en el siguiente diagrama informal mediante una flecha. Se indica una relación covariante ya que las flechas viajan en la misma dirección:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {f} &\longrightarrow \mathbf {f'} \\\alpha [\mathbf {f} ]&\longrightarrow \alpha [\mathbf {f'} ]\end{aligned}}}$

Si en su lugar se hubiera utilizado una representación vectorial de columna, la ley de transformación sería la transpuesta

${\displaystyle \alpha ^{\mathrm {T} }[\mathbf {f} A]=A^{\mathrm {T} }\alpha ^{\mathrm {T} }[\mathbf {f} ].}$

Coordenadas

La elección de la base f en el espacio vectorial V define de forma única un conjunto de funciones de coordenadas en V , mediante

${\displaystyle x^{i}[\mathbf {f} ](v)=v^{i}[\mathbf {f} ].}$

Las coordenadas en V son por tanto contravariantes en el sentido de que

${\displaystyle x^{i}[\mathbf {f} A]=\sum _{k=1}^{n}{\tilde {a}}_{k}^{i}x^{k}[\mathbf {f} ].}$

Por el contrario, un sistema de n cantidades v ⁱ que se transforman como las coordenadas x ⁱ en V define un vector contravariante (o simplemente vector). Un sistema de n cantidades que se transforman en sentido opuesto a las coordenadas es entonces un vector covariante (o covector).

Esta formulación de contravarianza y covarianza suele ser más natural en aplicaciones en las que existe un espacio de coordenadas (una variedad ) en el que los vectores viven como vectores tangentes o cotangentes . Dado un sistema de coordenadas local x ⁱ en el colector, los ejes de referencia para el sistema de coordenadas son los campos vectoriales

${\displaystyle X_{1}={\frac {\partial }{\partial x^{1}}},\dots ,X_{n}={\frac {\partial }{\partial x^{n}}}.}$

Esto da lugar al marco f = ( X ₁ , ..., X _n ) en cada punto del parche de coordenadas.

Si y ⁱ es un sistema de coordenadas diferente y

${\displaystyle Y_{1}={\frac {\partial }{\partial y^{1}}},\dots ,Y_{n}={\frac {\partial }{\partial y^{n}}},}$

entonces el marco f' está relacionado con el marco f por la inversa de la matriz jacobiana de la transición de coordenadas:

${\displaystyle \mathbf {f} '=\mathbf {f} J^{-1},\quad J=\left({\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}}\right)_{i,j=1}^{n}.}$

O, en índices,

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y^{i}}}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial x^{j}}{\partial y^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}.}$

Un vector tangente es por definición un vector que es una combinación lineal de las coordenadas parciales . Por tanto, un vector tangente está definido por ${\displaystyle \partial /\partial x^{i}}$

${\displaystyle v=\sum _{i=1}^{n}v^{i}[\mathbf {f} ]X_{i}=\mathbf {f} \ \mathbf {v} [\mathbf {f} ].}$

Tal vector es contravariante con respecto al cambio de marco. Bajo cambios en el sistema de coordenadas, uno tiene

${\displaystyle \mathbf {v} \left[\mathbf {f} '\right]=\mathbf {v} \left[\mathbf {f} J^{-1}\right]=J\,\mathbf {v} [\mathbf {f} ].}$

Por lo tanto, las componentes de un vector tangente se transforman mediante

${\displaystyle v^{i}\left[\mathbf {f} '\right]=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}}v^{j}[\mathbf {f} ].}$

En consecuencia, un sistema de n cantidades vi ^en función de las coordenadas que se transforman de esta forma al pasar de un sistema de coordenadas a otro se denomina vector contravariante.

Componentes covariantes y contravariantes de un vector con una métrica

Los componentes contravariantes de un vector se obtienen proyectando sobre los ejes de coordenadas. Los componentes covariantes se obtienen proyectando sobre las líneas normales a los hiperplanos de coordenadas.

En un espacio vectorial de dimensión finita V sobre un campo K con una forma bilineal simétrica g  : V × V → K (que puede denominarse tensor métrico ), hay poca distinción entre vectores covariantes y contravariantes, porque la forma bilineal permite identificar covectores con vectores. Es decir, un vector v determina de forma única un covector α mediante

${\displaystyle \alpha (w)=g(v,w)}$

para todos los vectores w . Por el contrario, cada covector α determina un vector único v mediante esta ecuación. Debido a esta identificación de vectores con covectores, se puede hablar de componentes covariantes o componentes contravariantes de un vector, es decir, son solo representaciones del mismo vector usando la base recíproca .

Dada una base f = ( X ₁ , ..., X _n ) de V , existe una base recíproca única f ^# = ( Y ¹ , ..., Y ⁿ ) de V determinada al requerir que

${\displaystyle g(Y^{i},X_{j})=\delta _{j}^{i},}$

el delta del Kronecker . En términos de estas bases, cualquier vector v se puede escribir de dos maneras:

${\displaystyle {\begin{aligned}v&=\sum _{i}v^{i}[\mathbf {f} ]X_{i}=\mathbf {f} \,\mathbf {v} [\mathbf {f} ]\\&=\sum _{i}v_{i}[\mathbf {f} ]Y^{i}=\mathbf {f} ^{\sharp }\mathbf {v} ^{\sharp }[\mathbf {f} ].\end{aligned}}}$

Los componentes vi [ f ] son ​​los componentes contravariantes del vector v en la base f , y los componentes ^vi [ _f ] son ​​los componentes covariantes de v en la base f . La terminología se justifica porque bajo un cambio de base,

${\displaystyle \mathbf {v} [\mathbf {f} A]=A^{-1}\mathbf {v} [\mathbf {f} ],\quad \mathbf {v} ^{\sharp }[\mathbf {f} A]=A^{T}\mathbf {v} ^{\sharp }[\mathbf {f} ].}$

Plano euclidiano

En el plano euclidiano, el producto escalar permite identificar vectores con covectores. Si es una base, entonces la base dual satisface ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} ^{1},\mathbf {e} ^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} ^{1}\cdot \mathbf {e} _{1}=1,&\quad \mathbf {e} ^{1}\cdot \mathbf {e} _{2}=0\\\mathbf {e} ^{2}\cdot \mathbf {e} _{1}=0,&\quad \mathbf {e} ^{2}\cdot \mathbf {e} _{2}=1.\end{aligned}}}$

Por lo tanto, e ¹ y e ₂ son perpendiculares entre sí, al igual que e ² y e ₁ , y las longitudes de e ¹ y e ² están normalizadas frente a e ₁ y e ₂ , respectivamente.

Ejemplo

Por ejemplo, ^[5] supongamos que se nos da una base e ₁ , e ₂ que consta de un par de vectores que forman un ángulo de 45° entre sí, de modo que e ₁ tiene longitud 2 y e ₂ tiene longitud 1. Entonces el dual Los vectores base se dan de la siguiente manera:

• e ² es el resultado de rotar e ₁ en un ángulo de 90° (donde el sentido se mide asumiendo que el par e ₁ , e ₂ está orientado positivamente), y luego cambiar la escala para que e ² ⋅ e ₂ = 1 se mantenga.
• e ¹ es el resultado de rotar e ₂ en un ángulo de 90° y luego cambiar la escala para que e ¹ ⋅ e ₁ = 1 se mantenga.

Aplicando estas reglas encontramos

${\displaystyle \mathbf {e} ^{1}={\frac {1}{2}}\mathbf {e} _{1}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\mathbf {e} _{2}}$

y

${\displaystyle \mathbf {e} ^{2}=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\mathbf {e} _{1}+2\mathbf {e} _{2}.}$

Por tanto, el cambio de matriz de base al pasar de la base original a la base recíproca es

${\displaystyle R={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&2\end{bmatrix}},}$

desde

${\displaystyle [\mathbf {e} ^{1}\ \mathbf {e} ^{2}]=[\mathbf {e} _{1}\ \mathbf {e} _{2}]{\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&2\end{bmatrix}}.}$

Por ejemplo, el vector

${\displaystyle v={\frac {3}{2}}\mathbf {e} _{1}+2\mathbf {e} _{2}}$

es un vector con componentes contravariantes

${\displaystyle v^{1}={\frac {3}{2}},\quad v^{2}=2.}$

Las componentes covariantes se obtienen igualando las dos expresiones del vector v :

${\displaystyle v=v_{1}\mathbf {e} ^{1}+v_{2}\mathbf {e} ^{2}=v^{1}\mathbf {e} _{1}+v^{2}\mathbf {e} _{2}}$

entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{bmatrix}}&=R^{-1}{\begin{bmatrix}v^{1}\\v^{2}\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}4&{\sqrt {2}}\\{\sqrt {2}}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v^{1}\\v^{2}\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}6+2{\sqrt {2}}\\2+{\frac {3}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}\end{aligned}}.}$

Espacio euclidiano tridimensional

En el espacio euclidiano tridimensional , también se puede determinar explícitamente la base dual de un conjunto dado de vectores de base e ₁ , e ₂ , e ₃ de E ₃ que no se supone necesariamente que sean ortogonales ni de norma unitaria. Los vectores de base dual son:

${\displaystyle \mathbf {e} ^{1}={\frac {\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3}}{\mathbf {e} _{1}\cdot (\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3})}};\qquad \mathbf {e} ^{2}={\frac {\mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{1}}{\mathbf {e} _{2}\cdot (\mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{1})}};\qquad \mathbf {e} ^{3}={\frac {\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}}{\mathbf {e} _{3}\cdot (\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2})}}.}$

Incluso cuando e _i y e ⁱ no son ortonormales , siguen siendo mutuamente recíprocos:

${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\delta _{j}^{i},}$

Entonces, los componentes contravariantes de cualquier vector v se pueden obtener mediante el producto escalar de v con los vectores de base dual:

${\displaystyle q^{1}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} ^{1};\qquad q^{2}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} ^{2};\qquad q^{3}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} ^{3}.}$

Asimismo, los componentes covariantes de v se pueden obtener a partir del producto escalar de v con vectores base, a saber.

${\displaystyle q_{1}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{1};\qquad q_{2}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{2};\qquad q_{3}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{3}.}$

Entonces v se puede expresar de dos maneras (recíprocas), a saber.

${\displaystyle \mathbf {v} =q^{i}\mathbf {e} _{i}=q^{1}\mathbf {e} _{1}+q^{2}\mathbf {e} _{2}+q^{3}\mathbf {e} _{3}.}$

o

${\displaystyle \mathbf {v} =q_{i}\mathbf {e} ^{i}=q_{1}\mathbf {e} ^{1}+q_{2}\mathbf {e} ^{2}+q_{3}\mathbf {e} ^{3}}$

Combinando las relaciones anteriores, tenemos

${\displaystyle \mathbf {v} =(\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} ^{i})\mathbf {e} _{i}=(\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{i})\mathbf {e} ^{i}}$

y podemos convertir entre la base y la base dual con

${\displaystyle q_{i}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{i}=(q^{j}\mathbf {e} _{j})\cdot \mathbf {e} _{i}=(\mathbf {e} _{j}\cdot \mathbf {e} _{i})q^{j}}$

y

${\displaystyle q^{i}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} ^{i}=(q_{j}\mathbf {e} ^{j})\cdot \mathbf {e} ^{i}=(\mathbf {e} ^{j}\cdot \mathbf {e} ^{i})q_{j}.}$

Si los vectores de base son ortonormales , entonces son iguales que los vectores de base dual.

Espacios euclidianos generales

De manera más general, en un espacio euclidiano de n dimensiones V , si una base es

${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n},}$

la base recíproca está dada por (los índices dobles se suman),

${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}=g^{ij}\mathbf {e} _{j}}$

donde los coeficientes g ^ij son las entradas de la matriz inversa de

${\displaystyle g_{ij}=\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}.}$

En efecto, entonces tenemos

${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}\cdot \mathbf {e} _{k}=g^{ij}\mathbf {e} _{j}\cdot \mathbf {e} _{k}=g^{ij}g_{jk}=\delta _{k}^{i}.}$

Los componentes covariantes y contravariantes de cualquier vector.

${\displaystyle \mathbf {v} =q_{i}\mathbf {e} ^{i}=q^{i}\mathbf {e} _{i}\,}$

están relacionados como arriba por

${\displaystyle q_{i}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{i}=(q^{j}\mathbf {e} _{j})\cdot \mathbf {e} _{i}=q^{j}g_{ji}}$

y

${\displaystyle q^{i}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} ^{i}=(q_{j}\mathbf {e} ^{j})\cdot \mathbf {e} ^{i}=q_{j}g^{ji}.}$

Uso informal

En el campo de la física , el adjetivo covariante suele utilizarse de manera informal como sinónimo de invariante. Por ejemplo, la ecuación de Schrödinger no mantiene su forma escrita bajo las transformaciones de coordenadas de la relatividad especial . Así, un físico podría decir que la ecuación de Schrödinger no es covariante . Por el contrario, la ecuación de Klein-Gordon y la ecuación de Dirac mantienen su forma escrita bajo estas transformaciones de coordenadas. Por tanto, un físico podría decir que estas ecuaciones son covariantes .

A pesar de este uso de "covariante", es más exacto decir que las ecuaciones de Klein-Gordon y Dirac son invariantes y que la ecuación de Schrödinger no es invariante. Además, para eliminar ambigüedades, se debe indicar la transformación mediante la cual se evalúa la invarianza.

Debido a que los componentes de los vectores son contravariantes y los de los covectores son covariantes, a menudo se hace referencia a los propios vectores como contravariantes y a los covectores como covariantes.

Uso en análisis de tensor

La distinción entre covarianza y contravarianza es particularmente importante para los cálculos con tensores , que a menudo tienen varianza mixta . Esto significa que tienen componentes covariantes y contravariantes, o componentes vectoriales y covectores. La valencia de un tensor es el número de términos variantes y covariantes, y en la notación de Einstein , los componentes covariantes tienen índices más bajos, mientras que los componentes contravariantes tienen índices superiores. La dualidad entre covarianza y contravarianza interviene siempre que una cantidad vectorial o tensorial está representada por sus componentes, aunque la geometría diferencial moderna utiliza métodos sin índices más sofisticados para representar tensores .

En el análisis tensorial , un vector covariante varía más o menos recíprocamente a un vector contravariante correspondiente. Las expresiones para longitudes, áreas y volúmenes de objetos en el espacio vectorial se pueden dar en términos de tensores con índices covariantes y contravariantes. Bajo simples expansiones y contracciones de las coordenadas, la reciprocidad es exacta; bajo transformaciones afines, los componentes de un vector se entremezclan entre expresiones covariantes y contravariantes.

En una variedad , un campo tensor normalmente tendrá múltiples índices superior e inferior, donde la notación de Einstein se usa ampliamente. Cuando la variedad está equipada con una métrica , los índices covariantes y contravariantes se relacionan muy estrechamente entre sí. Los índices contravariantes se pueden convertir en índices covariantes contrayéndose con el tensor métrico. Lo contrario es posible contrayendo con la inversa (matriz) del tensor métrico. Tenga en cuenta que, en general, no existe tal relación en espacios que no están dotados de un tensor métrico. Además, desde un punto de vista más abstracto, un tensor simplemente está "ahí" y sus componentes de cualquier tipo son sólo artefactos de cálculo cuyos valores dependen de las coordenadas elegidas.

La explicación en términos geométricos es que un tensor general tendrá índices contravariantes así como índices covariantes, porque tiene partes que viven tanto en el paquete tangente como en el paquete cotangente .

Un vector contravariante es aquel que se transforma como dónde están las coordenadas de una partícula en su momento adecuado . Un vector covariante es aquel que se transforma como , donde es un campo escalar. ${\displaystyle {\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}}$ ${\displaystyle x^{\mu }\!}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial x^{\mu }}}}$ ${\displaystyle \varphi }$

Álgebra y geometría

En la teoría de categorías , existen functores covariantes y functores contravariantes . La asignación del espacio dual a un espacio vectorial es un ejemplo estándar de funtor contravariante. Los vectores contravariantes (resp. covariantes) son funtores contravariantes (resp. covariantes) desde a - torsor hasta la representación fundamental de . De manera similar, los tensores de grado superior son functores con valores en otras representaciones de . Sin embargo, algunas construcciones de álgebra multilineal son de varianza "mixta", lo que les impide ser funtores. ${\displaystyle {\text{GL}}(n)}$ ${\displaystyle {\text{GL}}(n)}$ ${\displaystyle {\text{GL}}(n)}$

En geometría diferencial , las componentes de un vector con respecto a una base del paquete tangente son covariantes si cambian con la misma transformación lineal que un cambio de base. Son contravariantes si cambian por transformación inversa. A veces esto es fuente de confusión por dos razones distintas pero relacionadas. La primera es que los vectores cuyos componentes son covariantes (llamados covectores o 1-formas ) en realidad retroceden bajo funciones suaves, lo que significa que la operación que asigna el espacio de covectores a una variedad suave es en realidad un funtor contravariante . Del mismo modo, los vectores cuyos componentes son contravariantes avanzan bajo mapeos suaves, por lo que la operación que asigna el espacio de vectores (contravariantes) a una variedad suave es un funtor covariante . En segundo lugar, en el enfoque clásico de la geometría diferencial, el objeto más primitivo no son las bases del paquete tangente, sino más bien los cambios en el sistema de coordenadas. Los vectores con componentes contravariantes se transforman de la misma manera que los cambios en las coordenadas (porque estos en realidad cambian de manera opuesta al cambio de base inducido). Asimismo, los vectores con componentes covariantes se transforman de manera opuesta a los cambios en las coordenadas.

Ver también

• Transformación activa y pasiva
• tensor mixto
• Tensor de dos puntos , una generalización que permite que los índices hagan referencia a múltiples bases vectoriales

Notas

1. Una base f puede verse aquí de manera rentable como un isomorfismo lineal de R ⁿ a V . Considerando f como un vector fila cuyas entradas son los elementos de la base, el isomorfismo lineal asociado es entonces ${\displaystyle \mathbf {x} \mapsto \mathbf {f} \mathbf {x} .}$

Citas

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2. Frankel, Theodore (2012). La geometría de la física: una introducción. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 42.ISBN​ 978-1-107-60260-1. OCLC  739094283.
3. Sylvester, JJ (1851). "Sobre la teoría general de las formas algebraicas asociadas". Revista matemática de Cambridge y Dublín . vol. 6. págs. 289–293.
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5. Bowen, Ray; Wang, C.-C. (2008) [1976]. "§3.14 Base recíproca y cambio de base". Introducción a Vectores y Tensores . Dover. págs.78, 79, 81. ISBN 9780486469140.

Referencias

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• Weinreich, Gabriel (1998), Vectores geométricos , Conferencias de Física de Chicago, The University of Chicago Press, p. 126, ISBN 9780226890487

enlaces externos

• "Tensor covariante", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• "Tensor contravariante", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Tensor covariante". MundoMatemático .
• Weisstein, Eric W. "Tensor contravariante". MundoMatemático .
• Invarianza, contravarianza y covarianza
• Dullemond, Kees; Peeters, Kasper (2010). «Introducción al cálculo tensorial» (PDF) .