Transformación activa y pasiva

Distinción entre significados de las transformaciones del espacio euclidiano

En la transformación activa (izquierda), un punto P se transforma en el punto P ′ al rotarlo en el sentido de las agujas del reloj en un ángulo θ alrededor del origen de un sistema de coordenadas fijo. En la transformación pasiva (derecha), el punto P permanece fijo, mientras que el sistema de coordenadas rota en el sentido contrario a las agujas del reloj en un ángulo θ alrededor de su origen. Las coordenadas de P ′ después de la transformación activa con respecto al sistema de coordenadas original son las mismas que las coordenadas de P con respecto al sistema de coordenadas rotado.

Las transformaciones geométricas se pueden distinguir en dos tipos: transformaciones activas o alibi que cambian la posición física de un conjunto de puntos en relación con un marco de referencia fijo o sistema de coordenadas ( alibi significa "estar en otro lugar al mismo tiempo"); y transformaciones pasivas o alias que dejan los puntos fijos pero cambian el marco de referencia o sistema de coordenadas en relación con el que se describen ( alias significa "ir bajo un nombre diferente"). ^{[1] [2]} Por transformación , los matemáticos generalmente se refieren a transformaciones activas, mientras que los físicos e ingenieros podrían referirse a cualquiera de las dos. ^{[ cita requerida ]}

Por ejemplo, las transformaciones activas son útiles para describir posiciones sucesivas de un cuerpo rígido . Por otro lado, las transformaciones pasivas pueden ser útiles en el análisis del movimiento humano para observar el movimiento de la tibia en relación con el fémur , es decir, su movimiento en relación con un sistema de coordenadas ( local ) que se mueve junto con el fémur, en lugar de un sistema de coordenadas ( global ) que está fijo al suelo. ^[2]

En el espacio euclidiano tridimensional , cualquier transformación rígida propia , ya sea activa o pasiva, puede representarse como un desplazamiento helicoidal , la composición de una traslación a lo largo de un eje y una rotación alrededor de ese eje.

Los términos transformación activa y transformación pasiva fueron introducidos por primera vez en 1957 por Valentine Bargmann para describir las transformaciones de Lorentz en relatividad especial . ^[3]

Ejemplo

La rotación considerada como una transformación activa ( alibi ) o pasiva ( alias )

Traslación y rotación como transformaciones pasivas ( alias ) o activas ( alibi )

Como ejemplo, supongamos que el vector , es un vector en el plano. La rotación del vector a través de un ángulo θ en sentido antihorario se obtiene mediante la matriz de rotación : que puede considerarse como una transformación activa o una transformación pasiva (donde la matriz anterior se invertirá ), como se describe a continuación. ${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},v_{2})\in \mathbb {R} ^{2}}$ $${\displaystyle R={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}},}$$

Transformaciones espaciales en el espacio euclidiano R3

En general, una transformación espacial puede constar de una traslación y una transformación lineal. En lo sucesivo, se omitirá la traslación y la transformación lineal se representará mediante una matriz de 3×3 . ${\displaystyle T\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle T}$

Transformación activa

Como transformación activa, transforma el vector inicial en un nuevo vector . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z})}$ ${\displaystyle \mathbf {v} '=(v'_{x},v'_{y},v'_{z})=T\mathbf {v} =T(v_{x},v_{y},v_{z})}$

Si se considera como una nueva base , entonces las coordenadas del nuevo vector en la nueva base son las mismas que las de la base original. Nótese que las transformaciones activas tienen sentido incluso como una transformación lineal en un espacio vectorial diferente . Tiene sentido escribir el nuevo vector en la base no prima (como se indicó anteriormente) solo cuando la transformación es del espacio hacia sí mismo. ${\displaystyle \{\mathbf {e} '_{x}=T(1,0,0),\ \mathbf {e} '_{y}=T(0,1,0),\ \mathbf {e} '_{z}=T(0,0,1)\}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} '=v_{x}\mathbf {e} '_{x}+v_{y}\mathbf {e} '_{y}+v_{z}\mathbf {e} '_{z}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} =v_{x}\mathbf {e} _{x}+v_{y}\mathbf {e} _{y}+v_{z}\mathbf {e} _{z}}$

Transformación pasiva

Por otro lado, cuando se considera como una transformación pasiva, el vector inicial se deja inalterado, mientras que el sistema de coordenadas y sus vectores base se transforman en la dirección opuesta, es decir, con la transformación inversa . ^[4] Esto da un nuevo sistema de coordenadas XYZ con vectores base: ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z})}$ ${\displaystyle T^{-1}}$ $${\displaystyle \mathbf {e} _{X}=T^{-1}(1,0,0),\ \mathbf {e} _{Y}=T^{-1}(0,1,0),\ \mathbf {e} _{Z}=T^{-1}(0,0,1)}$$

Las nuevas coordenadas con respecto al nuevo sistema de coordenadas XYZ vienen dadas por: ${\displaystyle (v_{X},v_{Y},v_{Z})}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ $${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z})=v_{X}\mathbf {e} _{X}+v_{Y}\mathbf {e} _{Y}+v_{Z}\mathbf {e} _{Z}=T^{-1}(v_{X},v_{Y},v_{Z}).}$$

De esta ecuación se ve que las nuevas coordenadas están dadas por $${\displaystyle (v_{X},v_{Y},v_{Z})=T(v_{x},v_{y},v_{z}).}$$

Como una transformación pasiva transforma las antiguas coordenadas en las nuevas. ${\displaystyle T}$

Nótese la equivalencia entre los dos tipos de transformaciones: las coordenadas del nuevo punto en la transformación activa y las nuevas coordenadas del punto en la transformación pasiva son las mismas, es decir $${\displaystyle (v_{X},v_{Y},v_{Z})=(v'_{x},v'_{y},v'_{z}).}$$

En espacios vectoriales abstractos

La distinción entre transformaciones activas y pasivas se puede ver matemáticamente considerando espacios vectoriales abstractos .

Fijemos un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo (considerado como o ), y una base de . Esta base proporciona un isomorfismo a través de la función de componentes . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{e_{i}\}_{1\leq i\leq n}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle C:K^{n}\rightarrow V}$ ${\textstyle (v_{i})_{1\leq i\leq n}=(v_{1},\cdots ,v_{n})\mapsto \sum _{i}v_{i}e_{i}}$

Una transformación activa es entonces un endomorfismo en , es decir, una función lineal de a sí misma. Al tomar una transformación de este tipo , un vector se transforma como . Los componentes de con respecto a la base se definen mediante la ecuación . Entonces, los componentes de se transforman como . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \tau \in {\text{End}}(V)}$ ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle v\mapsto \tau v}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\textstyle \tau e_{i}=\sum _{j}\tau _{ji}e_{j}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v_{i}\mapsto \tau _{ij}v_{j}}$

Una transformación pasiva es, en cambio, un endomorfismo en . Esto se aplica a los componentes: . Siempre que sea invertible, la nueva base se determina preguntando que , de la que se puede derivar la expresión. ${\displaystyle K^{n}}$ ${\displaystyle v_{i}\mapsto T_{ij}v_{j}=:v'_{i}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}'=\{e'_{i}\}}$ ${\displaystyle v_{i}e_{i}=v'_{i}e'_{i}}$ ${\displaystyle e'_{i}=(T^{-1})_{ji}e_{j}}$

Aunque los espacios y son isomorfos, no son canónicamente isomorfos. No obstante, la elección de la base permite la construcción de un isomorfismo. ${\displaystyle {\text{End}}(V)}$ ${\displaystyle {\text{End}}({K^{n}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

Como acciones de izquierda y derecha

A menudo se restringe al caso en que los mapas son invertibles, de modo que las transformaciones activas son el grupo lineal general de transformaciones, mientras que las transformaciones pasivas son el grupo . ${\displaystyle {\text{GL}}(V)}$ ${\displaystyle {\text{GL}}(n,K)}$

Las transformaciones pueden entonces entenderse como actuando sobre el espacio de bases para . Una transformación activa envía la base . Mientras tanto, una transformación pasiva envía la base . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \tau \in {\text{GL}}(V)}$ ${\displaystyle \{e_{i}\}\mapsto \{\tau e_{i}\}}$ ${\displaystyle T\in {\text{GL}}(n,K)}$ ${\textstyle \{e_{i}\}\mapsto \left\{\sum _{j}(T^{-1})_{ji}e_{j}\right\}}$

La transformación inversa en la transformación pasiva garantiza que los componentes se transformen de manera idéntica bajo y . Esto da lugar a una clara distinción entre transformaciones activas y pasivas: las transformaciones activas actúan desde la izquierda en las bases, mientras que las transformaciones pasivas actúan desde la derecha, debido a la transformación inversa. ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle T}$

Esta observación se hace más natural al considerar las bases como una elección de isomorfismo . El espacio de bases es equivalentemente el espacio de tales isomorfismos, denotado . Las transformaciones activas, identificadas con , actúan desde la izquierda por composición, mientras que las transformaciones pasivas, identificadas con actúan desde la derecha por precomposición. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \Phi _{\mathcal {B}}:V\rightarrow K^{n}}$ ${\displaystyle {\text{Iso}}(V,K^{n})}$ ${\displaystyle {\text{GL}}(V)}$ ${\displaystyle {\text{Iso}}(V,K^{n})}$ ${\displaystyle {\text{GL}}(n,K)}$ ${\displaystyle {\text{Iso}}(V,K^{n})}$

Esto convierte el espacio de las bases en un torsor izquierdo y un torsor derecho . ${\displaystyle {\text{GL}}(V)}$ ${\displaystyle {\text{GL}}(n,K)}$

Desde una perspectiva física, las transformaciones activas se pueden caracterizar como transformaciones del espacio físico, mientras que las transformaciones pasivas se caracterizan como redundancias en la descripción del espacio físico. Esto juega un papel importante en la teoría de calibración matemática , donde las transformaciones de calibración se describen matemáticamente mediante mapas de transición que actúan desde la derecha sobre las fibras.

Véase también

• Cambio de base
• Covarianza y contravarianza de vectores
• Rotación de ejes
• Traducción de ejes

Referencias

1. Crampin, M.; Pirani, FAE (1986). Geometría diferencial aplicable. Cambridge University Press. pág. 22.
2. Joseph K. Davidson, Kenneth Henderson Hunt (2004). "§4.4.1 La interpretación activa y la transformación activa". Robots y teoría de tornillos: aplicaciones de la cinemática y la estática a la robótica . Oxford University Press. pág. 74 y siguientes . ISBN 0-19-856245-4.
3. Bargmann, Valentine (1957). "Relatividad". Reseñas de Física Moderna . 29 (2): 161–174. doi :10.1103/RevModPhys.29.161.
4. Amidror, Isaac (2007). "Apéndice D: Observación D.12". La teoría del fenómeno de Moiré: capas aperiódicas . Springer. pág. 346. ISBN 978-1-4020-5457-0.

• Dirk Struik (1953) Conferencias sobre geometría analítica y proyectiva , página 84, Addison-Wesley .

Enlaces externos

• Ambigüedad en la interfaz de usuario