Empuje hacia adelante (diferencial)

Linear approximation of smooth maps on tangent spaces

Si un mapa, φ , lleva cada punto de la variedad M a la variedad N , entonces el avance de φ lleva vectores en el espacio tangente en cada punto de M a un espacio tangente en cada punto de N.

En geometría diferencial , el avance es una aproximación lineal de mapas suaves (formulación múltiple) en espacios tangentes. Supongamos que es un mapa suave entre variedades suaves ; entonces el diferencial de en un punto , denotado , es, en cierto sentido, la mejor aproximación lineal de cerca . Puede verse como una generalización de la derivada total del cálculo ordinario. Explícitamente, el diferencial es una aplicación lineal desde el espacio tangente de at al espacio tangente de at ,. Por lo tanto, se puede utilizar para empujar vectores tangentes hacia adelante hacia vectores tangentes . La diferencial de una aplicación también es llamada, por varios autores, derivada o derivada total de . ${\displaystyle \varphi \colon M\to N}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathrm {d} \varphi _{x}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \varphi (x)}$ ${\displaystyle \mathrm {d} \varphi _{x}\colon T_{x}M\to T_{\varphi (x)}N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$

Motivación

Sea un mapa suave de un subconjunto abierto de a un subconjunto abierto de . Para cualquier punto en , el jacobiano de at (con respecto a las coordenadas estándar) es la representación matricial de la derivada total de at , que es un mapa lineal ${\displaystyle \varphi :U\to V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle d\varphi _{x}:T_{x}\mathbb {R} ^{m}\to T_{\varphi (x)}\mathbb {R} ^{n}}$

entre sus espacios tangentes. Tenga en cuenta que los espacios tangentes son isomorfos a y , respectivamente. El pushforward generaliza esta construcción al caso de que sea una función suave entre cualquier variedad suave y . ${\displaystyle T_{x}\mathbb {R} ^{m},T_{\varphi (x)}\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$

El diferencial de un mapa fluido.

Sea un mapa suave de variedades suaves. Dado el diferencial de at es un mapa lineal ${\displaystyle \varphi \colon M\to N}$ ${\displaystyle x\in M,}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle d\varphi _{x}\colon \ T_{x}M\to T_{\varphi (x)}N\,}$

desde el espacio tangente de at al espacio tangente de at La imagen de un vector tangente bajo a veces se llama empuje hacia adelante de por La definición exacta de este empuje hacia adelante depende de la definición que se use para los vectores tangentes (para las diversas definiciones ver espacio tangente ) . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \varphi (x).}$ ${\displaystyle d\varphi _{x}X}$ ${\displaystyle X\in T_{x}M}$ ${\displaystyle d\varphi _{x}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varphi .}$

Si los vectores tangentes se definen como clases de equivalencia de las curvas para las cuales entonces el diferencial viene dado por ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma (0)=x,}$

${\displaystyle d\varphi _{x}(\gamma '(0))=(\varphi \circ \gamma )'(0).}$

Aquí, hay una curva en con y es un vector tangente a la curva en En otras palabras, el avance del vector tangente a la curva en es el vector tangente a la curva en ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \gamma (0)=x,}$ ${\displaystyle \gamma '(0)}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \varphi \circ \gamma }$ ${\displaystyle 0.}$

Alternativamente, si los vectores tangentes se definen como derivaciones que actúan sobre funciones suaves de valores reales, entonces el diferencial viene dado por

${\displaystyle d\varphi _{x}(X)(f)=X(f\circ \varphi ),}$

para una función arbitraria y una derivación arbitraria en un punto (una derivación se define como un mapa lineal que satisface la regla de Leibniz , ver: definición de espacio tangente mediante derivaciones ). Por definición, el avance de está en y por lo tanto es en sí mismo una derivación . ${\displaystyle f\in C^{\infty }(N)}$ ${\displaystyle X\in T_{x}M}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle X\colon C^{\infty }(M)\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T_{\varphi (x)}N}$ ${\displaystyle d\varphi _{x}(X)\colon C^{\infty }(N)\to \mathbb {R} }$

Después de elegir dos gráficos , alrededor y alrededor se determina localmente mediante un mapa suave entre conjuntos abiertos de y , y ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varphi (x),}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\widehat {\varphi }}\colon U\to V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle d\varphi _{x}\left({\frac {\partial }{\partial u^{a}}}\right)={\frac {\partial {\widehat {\varphi }}^{b}}{\partial u^{a}}}{\frac {\partial }{\partial v^{b}}},}$

en la notación de suma de Einstein , donde las derivadas parciales se evalúan en el punto correspondiente en el gráfico dado. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$

Extendiendo por linealidad se obtiene la siguiente matriz

${\displaystyle \left(d\varphi _{x}\right)_{a}^{\;b}={\frac {\partial {\widehat {\varphi }}^{b}}{\partial u^{a}}}.}$

Así, el diferencial es una transformación lineal, entre espacios tangentes, asociada al mapa suave en cada punto. Por lo tanto, en algunas coordenadas locales elegidas, está representado por la matriz jacobiana del mapa suave correspondiente desde hasta . En general, no es necesario que el diferencial sea invertible. Sin embargo, si es un difeomorfismo local , entonces es invertible y lo inverso da el retroceso de ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle d\varphi _{x}}$ ${\displaystyle T_{\varphi (x)}N.}$

El diferencial se expresa frecuentemente usando una variedad de otras notaciones como

${\displaystyle D\varphi _{x},\left(\varphi _{*}\right)_{x},\varphi '(x),T_{x}\varphi .}$

De la definición se deduce que el diferencial de un compuesto es el compuesto de los diferenciales (es decir, el comportamiento funcional ). Esta es la regla de la cadena para mapas fluidos.

Además, el diferencial de un difeomorfismo local es un isomorfismo lineal de espacios tangentes.

El diferencial en el paquete tangente.

El diferencial de un mapa suave induce, de manera obvia, un mapa de paquete (de hecho, un homomorfismo de paquete vectorial ) del paquete tangente de al paquete tangente de , denotado por , que encaja en el siguiente diagrama conmutativo : ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle d\varphi }$

donde y denotan las proyecciones de los paquetes tangentes de y respectivamente. ${\displaystyle \pi _{M}}$ ${\displaystyle \pi _{N}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \operatorname {d} \!\varphi }$induce un mapa de paquetes desde el paquete de retroceso φ ^∗ TN a través de ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle (m,v_{m})\mapsto (m,\operatorname {d} \!\varphi (m,v_{m})),}$

donde y Este último mapa puede a su vez verse como una sección del paquete vectorial Hom( TM , φ ^∗ TN ) sobre M . El mapa de paquetes también se denota por y se llama mapa tangente . De esta forma, es un funtor . ${\displaystyle m\in M}$ ${\displaystyle v_{m}\in T_{m}M.}$ ${\displaystyle \operatorname {d} \!\varphi }$ ${\displaystyle T\varphi }$ ${\displaystyle T}$

Avance de campos vectoriales

Dado un mapa suave φ  : M → N y un campo vectorial X en M , generalmente no es posible identificar un avance de X por φ con algún campo vectorial Y en N . Por ejemplo, si el mapa φ no es sobreyectivo, no existe una forma natural de definir tal avance fuera de la imagen de φ . Además, si φ no es inyectivo, puede haber más de una opción de avance en un punto determinado. Sin embargo, se puede precisar esta dificultad utilizando la noción de un campo vectorial a lo largo de un mapa.

Una sección de φ ^∗ TN sobre M se llama campo vectorial a lo largo de φ . Por ejemplo, si M es una subvariedad de N y φ es la inclusión, entonces un campo vectorial a lo largo de φ es solo una sección del paquete tangente de N a lo largo de M ; en particular, un campo vectorial en M define dicha sección mediante la inclusión de TM dentro de TN . Esta idea se generaliza a mapas suaves arbitrarios.

Supongamos que X es un campo vectorial en M , es decir, una sección de TM . Entonces, se obtiene, en el sentido anterior, el avance φ _∗ X , que es un campo vectorial a lo largo de φ , es decir, una sección de φ ^∗ TN sobre M . ${\displaystyle \operatorname {d} \!\phi \circ X}$

Cualquier campo vectorial Y sobre N define una sección de retroceso φ ^∗ Y de φ ^∗ TN con ( φ ^∗ Y ) _x = Y _{φ ( x )} . Se dice que un campo vectorial X en M y un campo vectorial Y en N están relacionados con φ si φ _∗ X = φ ^∗ Y como campos vectoriales a lo largo de φ . En otras palabras, para todo x en M , dφ _x ( X ) = Y _{φ ( x )} .

En algunas situaciones, dado un campo vectorial X en M , hay un campo vectorial único Y en N que está relacionado con φ con X. Esto es cierto en particular cuando φ es un difeomorfismo . En este caso, el avance define un campo vectorial Y en N , dado por

${\displaystyle Y_{y}=\phi _{*}\left(X_{\phi ^{-1}(y)}\right).}$

Surge una situación más general cuando φ es sobreyectiva (por ejemplo, la proyección de un haz de fibras). Entonces se dice que un campo vectorial X en M es proyectable si para todo y en N , dφ _x ( X _x ) es independiente de la elección de x en φ ⁻¹ ({ y }). Esta es precisamente la condición que garantiza que un avance de X , como campo vectorial sobre N , esté bien definido.

Ejemplos

Avance a partir de la multiplicación en grupos de Lie

Dado un grupo de Lie , podemos usar el mapa de multiplicación para obtener mapas de multiplicación por la izquierda y por la derecha . Estos mapas se pueden utilizar para construir campos vectoriales invariantes izquierdo o derecho a partir de su espacio tangente en el origen (que es su álgebra de Lie asociada ). Por ejemplo, dado que obtenemos un campo vectorial asociado definido por ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle m(-,-):G\times G\to G}$ ${\displaystyle L_{g}=m(g,-)}$ ${\displaystyle R_{g}=m(-,g)}$ ${\displaystyle G\to G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=T_{e}G}$ ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$ ${\displaystyle G}$

$${\displaystyle {\mathfrak {X}}_{g}=(L_{g})_{*}(X)\in T_{g}G}$$

${\displaystyle g\in G}$

$${\displaystyle \gamma :(-1,1)\to G}$$

$${\displaystyle \gamma (0)=e\,,\quad \gamma '(0)=X}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}(L_{g})_{*}(X)&=(L_{g}\circ \gamma )'(0)\\&=(g\cdot \gamma (t))'(0)\\&={\frac {dg}{d\gamma }}\gamma (0)+g\cdot {\frac {d\gamma }{dt}}(0)\\&=g\cdot \gamma '(0)\end{aligned}}}$$

${\displaystyle L_{g}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle T_{g}G}$ ${\displaystyle T_{g}G=g\cdot T_{e}G=g\cdot {\mathfrak {g}}}$

Impulso para algunos grupos de mentiras

Por ejemplo, si el grupo de Heisenberg está dado por matrices ${\displaystyle G}$

$${\displaystyle H=\left\{{\begin{bmatrix}1&a&b\\0&1&c\\0&0&1\end{bmatrix}}:a,b,c\in \mathbb {R} \right\}}$$

$${\displaystyle {\mathfrak {h}}=\left\{{\begin{bmatrix}0&a&b\\0&0&c\\0&0&0\end{bmatrix}}:a,b,c\in \mathbb {R} \right\}}$$

${\displaystyle \gamma :(-1,1)\to H}$ ${\displaystyle i<j}$

$${\displaystyle g={\begin{bmatrix}1&2&3\\0&1&4\\0&0&1\end{bmatrix}}}$$

$${\displaystyle T_{g}H=g\cdot {\mathfrak {h}}=\left\{{\begin{bmatrix}0&a&2b+3c\\0&0&c\\0&0&0\end{bmatrix}}:a,b,c\in \mathbb {R} \right\}}$$

$${\displaystyle G=\left\{{\begin{bmatrix}a&b\\0&1/a\end{bmatrix}}:a,b\in \mathbb {R} ,a\neq 0\right\}}$$

$${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\left\{{\begin{bmatrix}a&b\\0&-a\end{bmatrix}}:a,b\in \mathbb {R} \right\}}$$

$${\displaystyle g={\begin{bmatrix}2&3\\0&1/2\end{bmatrix}}}$$

$${\displaystyle T_{g}G=\left\{{\begin{bmatrix}2a&2b-a/2\\0&-a/2\end{bmatrix}}:a,b\in \mathbb {R} \right\}}$$

Ver también

• Retroceso (geometría diferencial)
• Modelo generativo basado en flujo

Referencias

• Lee, John M. (2003). Introducción a los colectores lisos . Textos de posgrado de Springer en Matemáticas. vol. 218.
• Jost, Jürgen (2002). Geometría Riemanniana y Análisis Geométrico . Berlín: Springer-Verlag. ISBN 3-540-42627-2. Ver sección 1.6 .
• Abraham, Ralph ; Marsden, Jerrold E. (1978). Fundamentos de la Mecánica . Londres: Benjamin-Cummings. ISBN 0-8053-0102-X. Ver secciones 1.7 y 2.3 .