Mapa de paquete

En matemáticas , un mapa de haces (o morfismo de haces ) es un morfismo en la categoría de haces de fibras . Hay dos nociones distintas, pero estrechamente relacionadas, de mapa de haces, dependiendo de si los haces de fibras en cuestión tienen un espacio base común . También existen varias variaciones del tema básico, dependiendo exactamente de qué categoría de haces de fibras se esté considerando. En las primeras tres secciones, consideraremos haces de fibras generales en la categoría de espacios topológicos . Luego, en la cuarta sección, se darán algunos otros ejemplos.

Agrupar mapas sobre una base común

Sean y sean haces de fibras en un espacio M . Entonces un mapa de paquetes de E a F sobre M es un mapa continuo tal que . Es decir, el diagrama ${\displaystyle \pi _{E}\colon E\to M}$ ${\displaystyle \pi _{F}\colon F\to M}$ ${\displaystyle \varphi \colon E\to F}$ ${\displaystyle \pi _{F}\circ \varphi =\pi _{E}}$

debería desplazarse . De manera equivalente, para cualquier punto x en M , asigna la fibra de E sobre x a la fibra de F sobre x . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle E_{x}=\pi _{E}^{-1}(\{x\})}$ ${\displaystyle F_{x}=\pi _{F}^{-1}(\{x\})}$

Morfismos generales de haces de fibras.

Sean π _E : E → M y π _F : F → N haces de fibras sobre espacios M y N respectivamente. Entonces un mapa continuo se llama mapa de paquetes de E a F si hay un mapa continuo f : M → N tal que el diagrama ${\displaystyle \varphi :E\to F}$

viaja diariamente, es decir, . En otras palabras, preserva la fibra y f es el mapa inducido en el espacio de fibras de E : dado que π _E es sobreyectivo, f está determinado únicamente por . Para una f dada , se dice que dicho mapa de paquete es un mapa de paquete que cubre f . ${\displaystyle \pi _{F}\circ \varphi =f\circ \pi _{E}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$

Relación entre las dos nociones

De las definiciones se deduce inmediatamente que un mapa de paquetes sobre M (en el primer sentido) es lo mismo que un mapa de paquetes que cubre el mapa de identidad de M.

Por el contrario, los mapas de paquetes generales se pueden reducir a mapas de paquetes sobre un espacio de base fijo utilizando la noción de paquete de retroceso . Si π _F : F → N es un haz de fibras sobre N y f : M → N es un mapa continuo, entonces el retroceso de F por f es un haz de fibras f ^* F sobre M cuya fibra sobre x está dada por ( f ^* F ) _x = F _{f ( x )} . De ello se deduce que un mapa de paquetes de E a F que cubre f es lo mismo que un mapa de paquetes de E a f ^* F sobre M.

Variantes y generalizaciones

Hay dos tipos de variación de la noción general de mapa de paquetes.

En primer lugar, se pueden considerar los haces de fibras en una categoría diferente de espacios. Esto lleva, por ejemplo, a la noción de un mapa de haces suaves entre haces de fibras suaves sobre una variedad suave .

En segundo lugar, se pueden considerar haces de fibras con estructura adicional en sus fibras y restringir la atención a los mapas de haces que preservan esta estructura. Esto lleva, por ejemplo, a la noción de un homomorfismo de haces (vectoriales) entre haces de vectores , en el que las fibras son espacios vectoriales, y se requiere que un mapa de haces φ sea un mapa lineal en cada fibra. En este caso, dicho mapa de paquete φ (que cubre f ) también puede verse como una sección del paquete vectorial Hom( E , f ^* F ) sobre M , cuya fibra sobre x es el espacio vectorial Hom( E _x , F _{f ( x )} ) (también denominado L ( Ex , F f _{( x ) )} ) de aplicaciones lineales de Ex _a F _{f ( x ) .}