En matemáticas , un haz de retroceso o haz inducido [1] [2] [3] es el haz de fibras que es inducido por un mapa de su espacio base. Dado un haz de fibras π : E → B y un mapa continuo f : B ′ → B se puede definir un "retroceso" de E por f como un paquete f * E sobre B ′ . La fibra de f * E sobre un punto b ′ en B ′ es solo la fibra de E sobre f ( b ′ ) . Así f * E es la unión disjunta de todas estas fibras dotadas de una topología adecuada .
Sea π : E → B un haz de fibras con fibra abstracta F y sea f : B ′ → B un mapa continuo . Defina el paquete de retroceso por
y equiparlo con la topología subespacial y el mapa de proyección π ′ : f * E → B ′ dado por la proyección sobre el primer factor, es decir,
La proyección sobre el segundo factor da un mapa.
tal que el siguiente diagrama conmuta :
Si ( U , φ ) es una trivialización local de E entonces ( f −1 U , ψ ) es una trivialización local de f * E donde
Entonces se deduce que f * E es un haz de fibras sobre B ′ con fibra F . El paquete f * E se llama retroceso de E por f o paquete inducido por f . El mapa h es entonces un morfismo de paquete que cubre f .
Cualquier sección s de E sobre B induce una sección de f * E , llamada sección de retroceso f * s , simplemente definiendo
Si el paquete E → B tiene un grupo de estructura G con funciones de transición t ij (con respecto a una familia de trivializaciones locales {( U i , φ i )} ) , entonces el paquete de retroceso f * E también tiene un grupo de estructura G. Las funciones de transición en f * E están dadas por
Si E → B es un paquete vectorial o un paquete principal , entonces también lo es el retroceso f * E. En el caso de un paquete principal, la acción correcta de G sobre f * E viene dada por
De ello se deduce que el mapa h que cubre f es equivariante y, por lo tanto, define un morfismo de paquetes principales.
En el lenguaje de la teoría de categorías , la construcción del paquete de retroceso es un ejemplo del retroceso categórico más general . Como tal, satisface la propiedad universal correspondiente .
La construcción del paquete pullback se puede realizar en subcategorías de la categoría de espacios topológicos , como la categoría de variedades suaves . Esta última construcción es útil en geometría diferencial y topología .
Los paquetes también pueden describirse por sus haces de secciones . El retroceso de los haces corresponde entonces a la imagen inversa de las gavillas , que es un funtor contravariante . Una gavilla, sin embargo, es más naturalmente un objeto covariante , ya que tiene un empuje hacia adelante , llamado imagen directa de una gavilla . La tensión y el juego entre haces y gavillas, o la imagen inversa y directa, pueden resultar ventajosas en muchas áreas de la geometría. Sin embargo, la imagen directa de un haz de secciones de un paquete no es en general el haz de secciones de algún paquete de imagen directa, de modo que aunque la noción de "empuje hacia adelante de un paquete" se define en algunos contextos (por ejemplo, el pushforward por un difeomorfismo), en general se entiende mejor en la categoría de haces, porque los objetos que crea en general no pueden ser haces.
