haz de fibras

Sobreyección continua que satisface una condición de trivialidad local.

Un cepillo cilíndrico que muestra la intuición detrás del término haz de fibras . Este cepillo para el cabello es como un haz de fibras en el que el espacio de la base es un cilindro y las fibras ( cerdas ) son segmentos lineales. El mapeo tomaría un punto de cualquier cerda y lo mapearía hasta su raíz en el cilindro. ${\displaystyle \pi :E\to B}$

En matemáticas , y particularmente en topología , un haz de fibras (o, en inglés de la Commonwealth : haz de fibras ) es un espacio que es localmente un espacio producto , pero globalmente puede tener una estructura topológica diferente . Específicamente, la similitud entre un espacio y un espacio producto se define utilizando un mapa sobreyectivo continuo , que en pequeñas regiones de se comporta como una proyección desde las regiones correspondientes de a. El mapa llamado proyección o inmersión del paquete, se considera parte de la estructura del paquete. El espacio se conoce como espacio total del haz de fibras, como espacio de base , y como espacio de fibra . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle B\times F}$ ${\displaystyle \pi :E\to B,}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle B\times F}$ ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle \pi ,}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle F}$

En el caso trivial , es justo y el mapa es solo la proyección desde el espacio del producto al primer factor. Esto se llama paquete trivial . Ejemplos de haces de fibras no triviales incluyen la tira de Möbius y la botella de Klein , así como espacios de cobertura no triviales . Los haces de fibras, como el haz tangente de una variedad y otros haces de vectores más generales , desempeñan un papel importante en la geometría diferencial y la topología diferencial , al igual que los haces principales . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle B\times F,}$ ${\displaystyle \pi }$

Los mapeos entre espacios totales de haces de fibras que "conmutan" con los mapas de proyección se conocen como mapas de haces , y la clase de haces de fibras forma una categoría con respecto a dichos mapeos. Un mapa de haces desde el propio espacio base (con el mapeo de identidad como proyección) se denomina sección de haces de fibras y puede especializarse de varias maneras, la más común de las cuales requiere que los mapas de transición entre los parches triviales locales se encuentren en un determinado grupo topológico , conocido como grupo estructural , que actúa sobre la fibra . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E.}$ ${\displaystyle F}$

Historia

En topología , los términos fibra (alemán: Faser ) y espacio de fibra ( gefaserter Raum ) aparecieron por primera vez en un artículo de Herbert Seifert en 1933, ^{[1] [2] [3]} pero sus definiciones se limitan a un concepto muy especial. caso. La principal diferencia con la concepción actual de un espacio de fibras, sin embargo, fue que para Seifert lo que ahora se llama el espacio base (espacio topológico) de un espacio de fibras (topológico) E no era parte de la estructura, sino que se derivaba de ella como un espacio cociente de E . La primera definición de espacio de fibras fue dada por Hassler Whitney en 1935 ^[4] bajo el nombre de espacio de esferas , pero en 1940 Whitney cambió el nombre a haz de esferas . ^[5]

La teoría de los espacios fibrosos, de los cuales los haces vectoriales , los haces principales , las fibraciones topológicas y las variedades fibrosas son un caso especial, se atribuye a Seifert, Heinz Hopf , Jacques Feldbau , ^[6] Whitney, Norman Steenrod , Charles Ehresmann , ^{[7] [ 8] [9]} Jean-Pierre Serre , ^[10] y otros.

Los haces de fibras se convirtieron en su propio objeto de estudio en el período 1935-1940. La primera definición general apareció en las obras de Whitney. ^[11]

Whitney llegó a la definición general de haz de fibras a partir de su estudio de una noción más particular de haz de esferas , ^[12] es decir, un haz de fibras cuya fibra es una esfera de dimensión arbitraria . ^[13]

Definicion formal

Un haz de fibras es una estructura donde y son espacios topológicos y es una sobreyección continua que satisface una condición de trivialidad local que se describe a continuación. El espacio se llama ${\displaystyle (E,\,B,\,\pi ,\,F),}$ ${\displaystyle E,B,}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \pi :E\to B}$ ${\displaystyle B}$espacio base del paquete,el ${\displaystyle E}$espacio total yel ${\displaystyle F}$fibra . El mapase llama ${\displaystyle \pi }$mapa de proyección (oproyección del paquete ). A continuación supondremos que el espacio baseesconexo. ${\displaystyle B}$

Requerimos que para cada , haya una vecindad abierta de (que se llamará vecindad trivializadora) tal que haya un homeomorfismo (donde se da la topología del subespacio y es el espacio producto) de tal manera que concuerde con la proyección sobre el primer factor. Es decir, el siguiente diagrama debería conmutar : ${\displaystyle x\in B}$ ${\displaystyle U\subseteq B}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varphi :\pi ^{-1}(U)\to U\times F}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(U)}$ ${\displaystyle U\times F}$ ${\displaystyle \pi }$

Condición de trivialidad local

donde está la proyección natural y es un homeomorfismo. El conjunto de todos se llama ${\displaystyle \operatorname {proj} _{1}:U\times F\to U}$ ${\displaystyle \varphi :\pi ^{-1}(U)\to U\times F}$ ${\displaystyle \left\{\left(U_{i},\,\varphi _{i}\right)\right\}}$trivialización local del paquete.

Por lo tanto, para any , la preimagen es homeomorfa a (ya que esto es cierto para ) y se llama fibra sobre Cada haz de fibras es un mapa abierto , ya que las proyecciones de productos son mapas abiertos. Por lo tanto lleva la topología del cociente determinada por el mapa. ${\displaystyle p\in B}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(\{p\})}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \operatorname {proj} _{1}^{-1}(\{p\})}$ ${\displaystyle p.}$ ${\displaystyle \pi :E\to B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \pi .}$

Un haz de fibras a menudo se denomina ${\displaystyle (E,\,B,\,\pi ,\,F)}$

que, en analogía con una secuencia corta exacta , indica qué espacio es la fibra, el espacio total y el espacio base, así como el mapa del espacio total al espacio base.

AEl haz de fibras lisas es un haz de fibras de lacategoríadecolectores lisos. Es decir,ydeben ser variedades fluidas y todas lasfuncionesanteriores deben sermapas fluidos. ${\displaystyle E,B,}$ ${\displaystyle F}$

Ejemplos

paquete trivial

Sea y sea la proyección sobre el primer factor. Entonces hay un haz de fibras (de ) aquí. No es sólo un producto localmente sino globalmente . Cualquier haz de fibras de este tipo se denomina ${\displaystyle E=B\times F}$ ${\displaystyle \pi :E\to B}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle E}$paquete trivial . Cualquier haz de fibras sobre uncomplejo CWcontráctil es trivial.

Paquetes no triviales

Cinta de Moebius

La franja de Möbius es un paquete no trivial sobre el círculo.

Quizás el ejemplo más simple de un paquete no trivial sea la tira de Möbius . Tiene el círculo que corre longitudinalmente a lo largo del centro de la tira como base y un segmento de recta para la fibra , por lo que la tira de Möbius es un haz del segmento de recta sobre el círculo. Una vecindad de (donde ) es un arco ; En la imagen, esta es la longitud de uno de los cuadrados. La preimagen en la imagen es una porción (algo retorcida) de la tira de cuatro cuadrados de ancho y uno de largo (es decir, todos los puntos que se proyectan hacia ). ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \pi (x)\in B}$ ${\displaystyle x\in E}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(U)}$ ${\displaystyle U}$

Existe un homeomorfismo ( en § Definición formal) que asigna la preimagen de (la vecindad trivializadora) a una porción de un cilindro: curvada, pero no torcida. Este par trivializa localmente la tira. El paquete trivial correspondiente sería un cilindro , pero la tira de Möbius tiene una "giro" general. Este giro es visible sólo globalmente; localmente, la tira de Möbius y el cilindro son idénticos (haciendo un solo corte vertical en cualquiera de ellos se obtiene el mismo espacio). ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle B\times F}$

botella klein

Un conjunto no trivial similar es la botella de Klein , que puede verse como un conjunto de círculos "retorcidos" sobre otro círculo. El correspondiente haz no retorcido (trivial) es el 2- toro , . ${\displaystyle S^{1}\times S^{1}}$

Mapa de cobertura

Un espacio de cobertura es un haz de fibras tal que la proyección del haz es un homeomorfismo local . De ello se deduce que la fibra es un espacio discreto .

Paquetes de vectores y principales

Una clase especial de haces de fibras, llamados haces de vectores , son aquellos cuyas fibras son espacios vectoriales (para calificar como haces de vectores, el grupo estructural del haz, ver más abajo, debe ser un grupo lineal ). Ejemplos importantes de haces de vectores incluyen el haz tangente y el haz cotangente de una variedad suave. A partir de cualquier paquete de vectores, se puede construir el paquete marco de bases , que es un paquete principal (ver más abajo).

Otra clase especial de haces de fibras, llamados haces principales , son haces sobre cuyas fibras se da una acción libre y transitiva por parte de un grupo , de modo que cada fibra es un espacio principal homogéneo . El paquete a menudo se especifica junto con el grupo refiriéndose a él como paquete principal. El grupo es también el grupo estructural del paquete. Dada una representación de en un espacio vectorial , se puede construir un paquete de vectores con un grupo de estructura, conocido como paquete asociado . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \rho (G)\subseteq {\text{Aut}}(V)}$

Paquetes de esferas

Un haz de esferas es un haz de fibras cuya fibra es una n -esfera . Dado un paquete de vectores con una métrica (como el paquete tangente a una variedad de Riemann ), se puede construir el paquete de esferas unitarias asociado , para el cual la fibra sobre un punto es el conjunto de todos los vectores unitarios en . Cuando el paquete de vectores en cuestión es el paquete tangente , el paquete de esferas unitarias se conoce como paquete unitario tangente . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle E_{x}}$ ${\displaystyle TM}$

Un paquete de esferas se caracteriza parcialmente por su clase de Euler , que es una clase de cohomología de grado en el espacio total del paquete. En este caso, el paquete de esferas se llama paquete circular y la clase de Euler es igual a la primera clase de Chern , que caracteriza completamente la topología del paquete. Para cualquiera , dada la clase de Euler de un paquete, se puede calcular su cohomología utilizando una secuencia larga y exacta llamada secuencia de Gysin . ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle n}$

mapeo de tori

Si es un espacio topológico y es un homeomorfismo , entonces el toro de mapeo tiene una estructura natural de un haz de fibras sobre el círculo con fibra. Los toros de mapeo de homeomorfismos de superficies son de particular importancia en la topología de 3 variedades . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\to X}$ ${\displaystyle M_{f}}$ ${\displaystyle X.}$

Espacios cocientes

Si es un grupo topológico y es un subgrupo cerrado , entonces, bajo algunas circunstancias, el espacio cociente junto con el mapa de cocientes es un haz de fibras, cuya fibra es el espacio topológico . Una condición necesaria y suficiente para que ( ) forme un haz de fibras es que el mapeo admita secciones transversales locales (Steenrod 1951, §7). ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G/H}$ ${\displaystyle \pi :G\to G/H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G,\,G/H,\,\pi ,\,H}$ ${\displaystyle \pi }$

Se desconocen las condiciones más generales bajo las cuales el mapa de cocientes admitirá secciones transversales locales, aunque si es un grupo de Lie y un subgrupo cerrado (y por tanto un subgrupo de Lie según el teorema de Cartan ), entonces el mapa de cocientes es un haz de fibras. Un ejemplo de esto es la fibración de Hopf , que es un haz de fibras sobre la esfera cuyo espacio total es . Desde la perspectiva de los grupos de Lie, se puede identificar con el grupo unitario especial . El subgrupo abeliano de matrices diagonales es isomorfo al grupo circular y el cociente es difeomorfo a la esfera. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle S^{3}\to S^{2}}$ ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle SU(2)}$ ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle SU(2)/U(1)}$

De manera más general, si hay un grupo topológico y un subgrupo cerrado que también es un grupo de Lie, entonces es un haz de fibras. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G\to G/H}$

Secciones

ALa sección (osección transversal) de un haz de fibrasesun mapa continuotal quepara todoxenB. Dado que las cestas en general no tienen secciones definidas globalmente, uno de los propósitos de la teoría es explicar su existencia. Laobstruccióna la existencia de una sección a menudo puede medirse mediante una clase de cohomología, lo que conduce a la teoría declases característicasentopología algebraica. ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle f:B\to E}$ ${\displaystyle \pi (f(x))=x}$

El ejemplo más conocido es el teorema de la bola peluda , donde la clase de Euler es la obstrucción al haz tangente de las 2 esferas que tiene una sección que no desaparece en ninguna parte.

A menudo a uno le gustaría definir secciones sólo localmente (especialmente cuando las secciones globales no existen). Una sección local de un haz de fibras es un mapa continuo donde U es un conjunto abierto en B y para todo x en U. Si es un gráfico de trivialización local , entonces siempre existen secciones locales sobre U. Estas secciones están en correspondencia 1-1 con mapas continuos . Las secciones forman una gavilla . ${\displaystyle f:U\to E}$ ${\displaystyle \pi (f(x))=x}$ ${\displaystyle (U,\,\varphi )}$ ${\displaystyle U\to F}$

Grupos de estructuras y funciones de transición.

Los haces de fibras a menudo vienen con un grupo de simetrías que describen las condiciones de coincidencia entre gráficos de trivialización locales superpuestos. Específicamente, sea G un grupo topológico que actúa continuamente sobre el espacio de fibra F de la izquierda. No perdemos nada si exigimos que G actúe fielmente sobre F para que pueda considerarse como un grupo de homeomorfismos de F. Un atlas G para el paquete es un conjunto de gráficos de trivialización locales tales que para cualquiera de los gráficos superpuestos y la función ${\displaystyle (E,B,\pi ,F)}$ ${\displaystyle \{(U_{k},\,\varphi _{k})\}}$ ${\displaystyle \varphi _{i},\varphi _{j}}$ ${\displaystyle (U_{i},\,\varphi _{i})}$ ${\displaystyle (U_{j},\,\varphi _{j})}$

$${\displaystyle \varphi _{i}\varphi _{j}^{-1}:\left(U_{i}\cap U_{j}\right)\times F\to \left(U_{i}\cap U_{j}\right)\times F}$$

$${\displaystyle \varphi _{i}\varphi _{j}^{-1}(x,\,\xi )=\left(x,\,t_{ij}(x)\xi \right)}$$

${\displaystyle t_{ij}:U_{i}\cap U_{j}\to G}$función de transiciónGGhaz GG. Ggrupo estructuralfísicagrupo de calibre

En la categoría suave, un paquete G es un paquete de fibras suaves donde G es un grupo de Lie y la acción correspondiente sobre F es suave y todas las funciones de transición son mapas suaves.

Las funciones de transición satisfacen las siguientes condiciones. ${\displaystyle t_{ij}}$

1. ${\displaystyle t_{ii}(x)=1\,}$
2. ${\displaystyle t_{ij}(x)=t_{ji}(x)^{-1}\,}$
3. ${\displaystyle t_{ik}(x)=t_{ij}(x)t_{jk}(x).\,}$

La tercera condición se aplica en superposiciones triples U _i ∩ U _j ∩ U _k y se llama condición de cociclo (ver cohomología de Čech ). La importancia de esto es que las funciones de transición determinan el haz de fibras (si se supone la condición del cociclo de Čech).

Un haz G principal es un haz G donde la fibra F es un espacio homogéneo principal para la acción izquierda de G (de manera equivalente, se puede especificar que la acción de G sobre la fibra F es libre y transitiva, es decir, regular ). En este caso, suele ser una cuestión de conveniencia identificar F con G y así obtener una acción (correcta) de G sobre el fibrado principal.

Paquete de mapas

Es útil tener nociones de mapeo entre dos haces de fibras. Supongamos que M y N son espacios de bases y y son haces de fibras sobre M y N , respectivamente. A ${\displaystyle \pi _{E}:E\to M}$ ${\displaystyle \pi _{F}:F\to N}$mapa de paquete oEl morfismo de paquete consta de un par defunciones^[14].

$${\displaystyle \varphi :E\to F,\quad f:M\to N}$$

conmutativo ${\displaystyle \pi _{F}\circ \varphi =f\circ \pi _{E}.}$

Para haces de fibras con grupo estructural G y cuyos espacios totales son (derecha) G -espacios (como un haz principal), también se requiere que los morfismos del haz sean G - equivariantes en las fibras. Esto significa que también hay G -morfismo de un G -espacio a otro, es decir, para todos y ${\displaystyle \varphi :E\to F}$ ${\displaystyle \varphi (xs)=\varphi (x)s}$ ${\displaystyle x\in E}$ ${\displaystyle s\in G.}$

En caso de que los espacios base M y N coincidan, entonces un morfismo de haz sobre M desde el haz de fibras es un mapa tal que Esto significa que el mapa de haz cubre la identidad de M. Es decir, y el siguiente diagrama conmuta: ${\displaystyle \pi _{E}:E\to M}$ ${\displaystyle \pi _{F}:F\to M}$ ${\displaystyle \varphi :E\to F}$ ${\displaystyle \pi _{E}=\pi _{F}\circ \varphi .}$ ${\displaystyle \varphi :E\to F}$ ${\displaystyle f\equiv \mathrm {id} _{M}}$

Supongamos que ambos y están definidos sobre el mismo espacio base M. Un isomorfismo de paquete es un mapa de paquete entre y tal que y tal que también es un homeomorfismo. ^[15] ${\displaystyle \pi _{E}:E\to M}$ ${\displaystyle \pi _{F}:F\to M}$ ${\displaystyle (\varphi ,\,f)}$ ${\displaystyle \pi _{E}:E\to M}$ ${\displaystyle \pi _{F}:F\to M}$ ${\displaystyle f\equiv \mathrm {id} _{M}}$ ${\displaystyle \varphi }$

Haces de fibras diferenciables

En la categoría de variedades diferenciables , los haces de fibras surgen naturalmente como sumersiones de una variedad en otra. No toda inmersión (diferenciable) de una variedad diferenciable M a otra variedad diferenciable N da lugar a un haz de fibras diferenciable. Por un lado, el mapa debe ser sobreyectivo y se llama variedad fibrosa . Sin embargo, esta condición necesaria no es del todo suficiente y existe una variedad de condiciones suficientes de uso común. ${\displaystyle f:M\to N}$ ${\displaystyle (M,N,f)}$

Si M y N son compactos y conectados , entonces cualquier inmersión da lugar a un haz de fibras en el sentido de que hay un espacio de fibras F difeomorfo para cada una de las fibras, de modo que es un haz de fibras. (La sobreyectividad de sigue los supuestos ya dados en este caso). De manera más general, el supuesto de compacidad se puede relajar si se supone que la inmersión es un mapa sobreyectivo propio , lo que significa que es compacto para cada subconjunto compacto K de N. Otra condición suficiente, debida a Ehresmann (1951), es que si se trata de una inmersión sobreyectiva con variedades diferenciables M y N tales que la preimagen sea compacta y conectada para todos entonces admita una estructura de haz de fibras compatible (Michor 2008, §17). ${\displaystyle f:M\to N}$ ${\displaystyle (E,B,\pi ,F)=(M,N,f,F)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f:M\to N}$ ${\displaystyle f^{-1}(K)}$ ${\displaystyle f:M\to N}$ ${\displaystyle f^{-1}\{x\}}$ ${\displaystyle x\in N,}$ ${\displaystyle f}$

Generalizaciones

• La noción de paquete se aplica a muchas más categorías en matemáticas, a expensas de modificar apropiadamente la condición de trivialidad local; cf. espacio homogéneo principal y torsor (geometría algebraica) .
• En topología, una fibración es un mapeo que tiene ciertas propiedades teóricas de homotopía en común con los haces de fibras. Específicamente, bajo supuestos técnicos leves, un haz de fibras siempre tiene la propiedad de elevación por homotopía o la propiedad de cobertura por homotopía (ver Steenrod (1951, 11.7) para más detalles). Ésta es la propiedad definitoria de una fibración. ${\displaystyle \pi :E\to B}$
• Una sección de un haz de fibras es una "función cuyo rango de salida depende continuamente de la entrada". Esta propiedad se captura formalmente en la noción de tipo dependiente .

Ver también

• paquete afín
• paquete de álgebra
• Clase característica
• Mapa de cobertura
• paquete equivalente
• colector de fibra
• Fibración
• Teoría del calibre
• paquete hopf
• yo-paquete
• paquete natural
• paquete principal
• paquete proyectivo
• Paquete de retroceso
• Cuasifibración
• paquete universal
• paquete de vectores
• Diccionario Wu-Yang

Notas

1. Seifert, Herbert (1933). "Topología dreidimensionaler gefaserter Räume". Acta Matemática . 60 : 147–238. doi : 10.1007/bf02398271 .
2. "Topologie Dreidimensionaler Gefaserter Räume" en el Proyecto Euclid .
3. Seifert, H. (1980). Seifert y Threlfall, un libro de texto de topología. W. Threlfall, Joan S. Birman, Julian Eisner. Nueva York: Academic Press. ISBN 0-12-634850-2. OCLC  5831391.
4. Whitney, Hassler (1935). "Espacios esféricos". Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América . 21 (7): 464–468. Código bibliográfico : 1935PNAS...21..464W. doi : 10.1073/pnas.21.7.464 . PMC 1076627 . PMID  16588001. 
5. Whitney, Hassler (1940). "Sobre la teoría de los haces de esferas". Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América . 26 (2): 148-153. Código Bib : 1940PNAS...26..148W. doi : 10.1073/pnas.26.2.148 . PMC 1078023 . PMID  16588328. 
6. Feldbau, Jacques (1939). "Sobre la clasificación de espacios de fibras". Cuentas de resultados de la Academia de Ciencias . 208 : 1621-1623.
7. Ehresmann, Charles (1947). "Sur la théorie des espaces fibrés". Col. Arriba. Álg. París . CNRS: 3-15.
8. Ehresmann, Charles (1947). "Sur les espaces fibrés différentiables". Cuentas de resultados de la Academia de Ciencias . 224 : 1611-1612.
9. Ehresmann, Charles (1955). "Les prolongements d'un espace fibré différentiable". Cuentas de resultados de la Academia de Ciencias . 240 : 1755-1757.
10. Serre, Jean-Pierre (1951). "Homologie singulière des espaces fibrés. Aplicaciones". Anales de Matemáticas . 54 (3): 425–505. doi :10.2307/1969485. JSTOR  1969485.
11. Véase Steenrod (1951, prefacio)
12. En sus primeros trabajos, Whitney se refirió a los haces de esferas como "espacios-esferas". Véase, por ejemplo:
    • Whitney, Hassler (1935). "Espacios esféricos". Proc. Nacional. Acad. Ciencia . 21 (7): 462–468. Código bibliográfico : 1935PNAS...21..464W. doi : 10.1073/pnas.21.7.464 . PMC  1076627 . PMID  16588001.
    • Whitney, Hassler (1937). "Propiedades topológicas de variedades diferenciables" (PDF) . Toro. América. Matemáticas. Soc . 43 (12): 785–805. doi : 10.1090/s0002-9904-1937-06642-0 .
13. Whitney, Hassler (1940). "Sobre la teoría de los haces de esferas" (PDF) . Proc. Nacional. Acad. Ciencia . 26 (2): 148-153. Código Bib : 1940PNAS...26..148W. doi : 10.1073/pnas.26.2.148 . PMC 1078023 . PMID  16588328. 
14. Dependiendo de la categoría de espacios involucrados, se puede suponer que las funciones tienen propiedades distintas a la continuidad. Por ejemplo, en la categoría de variedades diferenciables, se supone que las funciones son suaves. En la categoría de variedades algebraicas, son morfismos regulares.
15. O es, al menos, invertible en la categoría apropiada; por ejemplo, un difeomorfismo.

Referencias

• Steenrod, Norman (1951), La topología de los haces de fibras , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08055-0
• Steenrod, Norman (5 de abril de 1999). La topología de los haces de fibras . Serie Matemática de Princeton. vol. 14. Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-00548-5. OCLC  40734875.
• Bleecker, David (1981), Teoría de calibres y principios variacionales , Reading, Mass: Addison-Wesley Publishing, ISBN 978-0-201-10096-9
• Ehresmann, Charles (1951). "Les connexions infinitésimales dans un espace fibré différentiable". Colloque de Topologie (Espaces fibrés), Bruselas, 1950 . París: Georges Thone, Lieja; Masson et Cie. págs. 29–55.
• Husemoller, Dale (1994), Paquetes de fibras , Springer Verlag, ISBN 978-0-387-94087-8
• Michor, Peter W. (2008), Temas de Geometría Diferencial , Estudios de Posgrado en Matemáticas , vol. 93, Providencia: Sociedad Matemática Estadounidense, ISBN 978-0-8218-2003-2
• Voitsekhovskii, MI (2001) [1994], "Fibre space", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press

enlaces externos

• Paquete de fibras, PlanetMath
• Rowland, Todd. "Paquete de fibras". MundoMatemático .
• Haciendo la escultura simbólica de John Robinson "Eternidad"
• Sardanashvily, Gennadi , Haces de fibras, colectores de chorro y teoría lagrangiana. Conferencias para teóricos, arXiv :0908.1886