Cuantificación universal

Uso matemático de “para todos”

En lógica matemática , una cuantificación universal es un tipo de cuantificador , una constante lógica que se interpreta como " dado cualquier ", " para todos " o " para cualquier ". Expresa que un predicado puede ser satisfecho por cada miembro de un dominio de discurso . En otras palabras, es la predicación de una propiedad o relación con cada miembro del dominio. Afirma que un predicado dentro del alcance de un cuantificador universal es verdadero para cada valor de una variable de predicado .

Generalmente se denota con el símbolo del operador lógico A (∀) girado , que, cuando se usa junto con una variable predicada, se denomina cuantificador universal (" ∀ x ", " ∀( x ) ", o algunas veces solo " ( x ) "). La cuantificación universal es distinta de la cuantificación existencial ("existe"), que solo afirma que la propiedad o relación se cumple para al menos un miembro del dominio.

La cuantificación en general se trata en el artículo sobre cuantificación (lógica) . El cuantificador universal está codificado como U+2200 ∀ FOR ALL en Unicode y también \forallen LaTeX y editores de fórmulas relacionados.

Lo esencial

Supongamos que se da que

2·0 = 0 + 0, y 2·1 = 1 + 1, y 2·2 = 2 + 2 , etc.

Esta parecería ser una conjunción lógica debido al uso repetido de "y". Sin embargo, el "etc." no puede interpretarse como una conjunción en lógica formal . En cambio, la declaración debe reformularse:

Para todos los números naturales n , se tiene 2· n = n + n .

Esta es una afirmación única que utiliza cuantificación universal.

Se puede decir que esta afirmación es más precisa que la original. Si bien el "etc." incluye informalmente los números naturales y nada más, esto no se dio con rigor. En la cuantificación universal, en cambio, los números naturales se mencionan explícitamente.

Este ejemplo en particular es cierto , porque cualquier número natural podría sustituir a n y la afirmación "2· n = n + n " sería verdadera. Por el contrario,

Para todos los números naturales n , se tiene 2· n > 2 + n

es falso , porque si n se sustituye, por ejemplo, por 1, la afirmación "2·1 > 2 + 1" es falsa. Es irrelevante que "2· n > 2 + n " sea verdadera para la mayoría de los números naturales n : incluso la existencia de un único contraejemplo es suficiente para demostrar que la cuantificación universal es falsa.

Por otra parte, para todos los números compuestos n , se tiene que 2· n > 2 + n es verdadero, porque ninguno de los contraejemplos son números compuestos. Esto indica la importancia del dominio del discurso , que especifica qué valores puede tomar n . ^{[nota 1]} En particular, nótese que si el dominio del discurso está restringido a consistir solo en aquellos objetos que satisfacen un cierto predicado, entonces para la cuantificación universal esto requiere un condicional lógico . Por ejemplo,

Para todos los números compuestos n , se tiene 2· n > 2 + n

es lógicamente equivalente a

Para todos los números naturales n , si n es compuesto, entonces 2· n > 2 + n .

Aquí la construcción "si... entonces" indica el condicional lógico.

Notación

En lógica simbólica , el símbolo cuantificador universal (una " A " girada en una fuente sans-serif , Unicode U+2200) se utiliza para indicar cuantificación universal. Fue utilizado por primera vez de esta manera por Gerhard Gentzen en 1935, por analogía con la notación de Giuseppe Peano (E girada) para cuantificación existencial y el uso posterior de la notación de Peano por Bertrand Russell . ^[1] ${\displaystyle \forall }$ ${\displaystyle \exists }$

Por ejemplo, si P ( n ) es el predicado "2· n > 2 + n " y N es el conjunto de números naturales, entonces

${\displaystyle \forall n\!\in \!\mathbb {N} \;P(n)}$

¿Es la afirmación (falsa)

"para todos los números naturales n , se tiene 2· n > 2 + n ".

De manera similar, si Q ( n ) es el predicado " n es compuesto", entonces

${\displaystyle \forall n\!\in \!\mathbb {N} \;{\bigl (}Q(n)\rightarrow P(n){\bigr )}}$

¿Es la afirmación (verdadera)?

"para todos los números naturales n , si n es compuesto, entonces 2· n > 2 + n ".

Se pueden encontrar varias variaciones en la notación para cuantificación (que se aplican a todas las formas) en el artículo Cuantificador .

Propiedades

Negación

La negación de una función cuantificada universalmente se obtiene transformando el cuantificador universal en un cuantificador existencial y negando la fórmula cuantificada. Es decir,

${\displaystyle \lnot \forall x\;P(x)\quad {\text{is equivalent to}}\quad \exists x\;\lnot P(x)}$

donde denota negación . ${\displaystyle \lnot }$

Por ejemplo, si P ( x ) es la función proposicional " x está casado", entonces, para el conjunto X de todos los seres humanos vivos, la cuantificación universal

Dada cualquier persona viva x , esa persona está casada

esta escrito

${\displaystyle \forall x\in X\,P(x)}$

Esta afirmación es falsa. Lo cierto es que se afirma que

No es el caso que, dada una persona viva x , esa persona esté casada

o, simbólicamente:

${\displaystyle \lnot \ \forall x\in X\,P(x)}$.

Si la función P ( x ) no es verdadera para cada elemento de X , entonces debe haber al menos un elemento para el cual la afirmación sea falsa. Es decir, la negación de es lógicamente equivalente a "Existe una persona viva x que no está casada", o: ${\displaystyle \forall x\in X\,P(x)}$

${\displaystyle \exists x\in X\,\lnot P(x)}$

Es erróneo confundir "no todas las personas están casadas" (es decir, "no existe ninguna persona que esté casada") con "no todas las personas están casadas" (es decir, "existe una persona que no está casada"):

${\displaystyle \lnot \ \exists x\in X\,P(x)\equiv \ \forall x\in X\,\lnot P(x)\not \equiv \ \lnot \ \forall x\in X\,P(x)\equiv \ \exists x\in X\,\lnot P(x)}$

Otros conectivos

El cuantificador universal (y existencial) se mueve sin cambios a través de los conectivos lógicos ∧ , ∨ , → y ↚ , siempre que el otro operando no se vea afectado; ^[2] es decir:

${\displaystyle {\begin{aligned}P(x)\land (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\land Q(y))\\P(x)\lor (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\lor Q(y)),&{\text{provided that }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\P(x)\to (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\to Q(y)),&{\text{provided that }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\P(x)\nleftarrow (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\nleftarrow Q(y))\\P(x)\land (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\land Q(y)),&{\text{provided that }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\P(x)\lor (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\lor Q(y))\\P(x)\to (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\to Q(y))\\P(x)\nleftarrow (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\nleftarrow Q(y)),&{\text{provided that }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \end{aligned}}}$

Por el contrario, para los conectivos lógicos ↑ , ↓ , ↛ y ← , los cuantificadores se invierten:

${\displaystyle {\begin{aligned}P(x)\uparrow (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\uparrow Q(y))\\P(x)\downarrow (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\downarrow Q(y)),&{\text{provided that }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\P(x)\nrightarrow (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\nrightarrow Q(y)),&{\text{provided that }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\P(x)\gets (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\gets Q(y))\\P(x)\uparrow (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\uparrow Q(y)),&{\text{provided that }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\P(x)\downarrow (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\downarrow Q(y))\\P(x)\nrightarrow (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\nrightarrow Q(y))\\P(x)\gets (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\gets Q(y)),&{\text{provided that }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\\end{aligned}}}$

Reglas de inferencia

Una regla de inferencia es una regla que justifica un paso lógico desde la hipótesis hasta la conclusión. Existen varias reglas de inferencia que utilizan el cuantificador universal.

La instanciación universal concluye que, si se sabe que la función proposicional es universalmente verdadera, entonces debe ser verdadera para cualquier elemento arbitrario del universo del discurso. Simbólicamente, esto se representa como

${\displaystyle \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\to P(c)}$

donde c es un elemento completamente arbitrario del universo del discurso.

La generalización universal concluye que la función proposicional debe ser universalmente verdadera si es verdadera para cualquier elemento arbitrario del universo del discurso. Simbólicamente, para una c arbitraria ,

${\displaystyle P(c)\to \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x).}$

El elemento  c debe ser completamente arbitrario; de lo contrario, la lógica no se sigue: si c no es arbitrario, y es en cambio un elemento específico del universo del discurso, entonces P( c ) sólo implica una cuantificación existencial de la función proposicional.

El conjunto vacío

Por convención, la fórmula siempre es verdadera, independientemente de la fórmula P ( x ); ver verdad vacía . ${\displaystyle \forall {x}{\in }\emptyset \,P(x)}$

Cierre universal

La clausura universal de una fórmula φ es la fórmula sin variables libres que se obtiene añadiendo un cuantificador universal para cada variable libre en φ. Por ejemplo, la clausura universal de

${\displaystyle P(y)\land \exists xQ(x,z)}$

es

${\displaystyle \forall y\forall z(P(y)\land \exists xQ(x,z))}$.

Como adjunto

En la teoría de categorías y la teoría de topos elementales , el cuantificador universal puede entenderse como el adjunto derecho de un funtor entre conjuntos potencia , el funtor imagen inversa de una función entre conjuntos; asimismo, el cuantificador existencial es el adjunto izquierdo . ^[3]

Para un conjunto , denotemos su conjunto potencia . Para cualquier función entre los conjuntos y , existe un funtor imagen inversa entre conjuntos potencia, que lleva subconjuntos del codominio de f de vuelta a subconjuntos de su dominio. El adjunto izquierdo de este funtor es el cuantificador existencial y el adjunto derecho es el cuantificador universal . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}X}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f^{*}:{\mathcal {P}}Y\to {\mathcal {P}}X}$ ${\displaystyle \exists _{f}}$ ${\displaystyle \forall _{f}}$

Es decir, es un funtor que, para cada subconjunto , da el subconjunto dado por ${\displaystyle \exists _{f}\colon {\mathcal {P}}X\to {\mathcal {P}}Y}$ ${\displaystyle S\subset X}$ ${\displaystyle \exists _{f}S\subset Y}$

${\displaystyle \exists _{f}S=\{y\in Y\;|\;\exists x\in X.\ f(x)=y\quad \land \quad x\in S\},}$

aquellos en la imagen de bajo . De manera similar, el cuantificador universal es un funtor que, para cada subconjunto , da el subconjunto dado por ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \forall _{f}\colon {\mathcal {P}}X\to {\mathcal {P}}Y}$ ${\displaystyle S\subset X}$ ${\displaystyle \forall _{f}S\subset Y}$

${\displaystyle \forall _{f}S=\{y\in Y\;|\;\forall x\in X.\ f(x)=y\quad \implies \quad x\in S\},}$

aquellos cuya preimagen bajo está contenida en . ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$

La forma más familiar de los cuantificadores que se usan en la lógica de primer orden se obtiene tomando la función f como la única función , de modo que es el conjunto de dos elementos que contiene los valores verdadero y falso, un subconjunto S es el subconjunto para el cual se cumple el predicado , y ${\displaystyle !:X\to 1}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(1)=\{T,F\}}$ ${\displaystyle S(x)}$

${\displaystyle {\begin{array}{rl}{\mathcal {P}}(!)\colon {\mathcal {P}}(1)&\to {\mathcal {P}}(X)\\T&\mapsto X\\F&\mapsto \{\}\end{array}}}$

${\displaystyle \exists _{!}S=\exists x.S(x),}$

lo cual es verdadero si no está vacío, y ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \forall _{!}S=\forall x.S(x),}$

lo cual es falso si S no es X.

Los cuantificadores universales y existenciales dados arriba se generalizan a la categoría de prehaz .

Véase también

• Cuantificación existencial
• Lógica de primer orden
• Lista de símbolos lógicos —para el símbolo Unicode ∀

Notas

1. Puede encontrarse más información sobre el uso de dominios del discurso con enunciados cuantificados en el artículo Cuantificación (lógica) .

Referencias

1. Miller, Jeff. "Usos más antiguos de símbolos de la teoría de conjuntos y la lógica". Usos más antiguos de diversos símbolos matemáticos .
2. es decir, si la variable no aparece libre en la fórmula en las equivalencias siguientes ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle P(x)}$
3. Saunders Mac Lane , Ieke Moerdijk, (1992) Haces en geometría y lógica Springer-Verlag. ISBN 0-387-97710-4 Véase la página 58 

• Hinman, P. (2005). Fundamentos de lógica matemática . AK Peters . ISBN 1-56881-262-0.
• Franklin, J. y Daoud, A. (2011). Demostración en matemáticas: una introducción. Kew Books. ISBN 978-0-646-54509-7.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)(cap. 2)

Enlaces externos

• La definición del diccionario de cada en Wikcionario