En matemáticas , un topos ( EE . UU .: / ˈtɒpɒs / , Reino Unido : / ˈtoʊpoʊs , ˈtoʊpɒs / ; plural topoi / ˈtɒpɔɪ / o / ˈtoʊpɔɪ / , o toposes ) es una categoría que se comporta como la categoría de haces de conjuntos en un espacio topológico (o más generalmente: en un sitio ) . Los topos se comportan de manera muy similar a la categoría de conjuntos y poseen una noción de localización ; son una generalización directa de la topología de conjuntos puntuales . [1] Los topos de Grothendieck encuentran aplicaciones en geometría algebraica ; los topos elementales más generales se utilizan en lógica .
El campo matemático que estudia los topos se llama teoría de topos .
Desde la introducción de los haces en las matemáticas en la década de 1940, un tema importante ha sido el estudio de un espacio mediante el estudio de haces en un espacio. Esta idea fue expuesta por Alexander Grothendieck al introducir la noción de "topos". La principal utilidad de esta noción está en la abundancia de situaciones en matemáticas donde las heurísticas topológicas son muy efectivas, pero falta un espacio topológico honesto; a veces es posible encontrar un topos que formalice la heurística. Un ejemplo importante de esta idea programática es el étale topos de un esquema . Otra ilustración de la capacidad de los topos de Grothendieck para encarnar la "esencia" de diferentes situaciones matemáticas está dada por su uso como "puentes" para conectar teorías que, aunque escritas en lenguajes posiblemente muy diferentes, comparten un contenido matemático común. [2] [3] Estos “puentes”, según la matemática Olivia Caramello , fundadora y presidenta del organismo de investigación Instituto Grothendieck, también podrían ser “capaces de facilitar la transferencia de información entre diferentes dominios”. [4] Por ello, la empresa tecnológica Huawei ha encargado al matemático Laurent Lafforgue que profundice en este aspecto para poder utilizar los estudios pioneros de Grothendieck para el desarrollo en el campo de la investigación de una IA cada vez más eficaz. [4]
Un topos de Grothendieck es una categoría C que satisface cualquiera de las tres propiedades siguientes. (Un teorema de Jean Giraud establece que las propiedades que se indican a continuación son todas equivalentes.)
Aquí Presh( D ) denota la categoría de funtores contravariantes desde D hasta la categoría de conjuntos; un funtor contravariante de este tipo se denomina frecuentemente prehaz .
Los axiomas de Giraud para una categoría C son:
El último axioma es el que necesita más explicación. Si X es un objeto de C , una "relación de equivalencia" R en X es una función R → X × X en C tal que para cualquier objeto Y en C , la función inducida Hom( Y , R ) → Hom( Y , X ) × Hom( Y , X ) da una relación de equivalencia ordinaria en el conjunto Hom( Y , X ). Como C tiene colimites podemos formar el coecualizador de las dos funciones R → X ; llamemos a esto X / R . La relación de equivalencia es "efectiva" si la función canónica
es un isomorfismo.
El teorema de Giraud ya ofrece "haces en sitios" como una lista completa de ejemplos. Sin embargo, hay que tener en cuenta que los sitios no equivalentes suelen dar lugar a topos equivalentes. Como se indica en la introducción, los haces en espacios topológicos ordinarios motivan muchas de las definiciones y resultados básicos de la teoría de topos.
La categoría de conjuntos es un caso especial importante: cumple el papel de un punto en la teoría de topos. De hecho, un conjunto puede considerarse como un haz sobre un punto, ya que los funtores de la categoría singleton con un único objeto y solo el morfismo identidad son simplemente conjuntos específicos en la categoría de conjuntos.
De manera similar, existe un topos para cualquier grupo que sea equivalente a la categoría de -conjuntos. Lo construimos como la categoría de prehaces en la categoría con un objeto, pero ahora el conjunto de morfismos está dado por el grupo . Dado que cualquier funtor debe dar una -acción en el objetivo, esto da la categoría de -conjuntos. De manera similar, para un grupoide , la categoría de prehaces en da una colección de conjuntos indexados por el conjunto de objetos en , y los automorfismos de un objeto en tiene una acción en el objetivo del funtor.
Ejemplos más exóticos, y la razón de ser de la teoría de topos, provienen de la geometría algebraica. El ejemplo básico de un topo proviene del topos de Zariski de un esquema . Para cada esquema hay un sitio (de objetos dados por subconjuntos abiertos y morfismos dados por inclusiones) cuya categoría de prehaces forma el topos de Zariski . Pero una vez que se consideran las clases distinguidas de morfismos, hay múltiples generalizaciones de esto que conducen a matemáticas no triviales. Además, los topos dan las bases para estudiar esquemas puramente como funtores en la categoría de álgebras.
A un esquema e incluso a una pila se le puede asociar un topo étale , un topo fppf o un topo Nisnevich . Otro ejemplo importante de un topo es el del sitio cristalino . En el caso de los topos étale, estos forman los objetos de estudio fundamentales en la geometría anabeliana , que estudia objetos en geometría algebraica que están determinados completamente por la estructura de su grupo fundamental étale .
La teoría de topos es, en cierto sentido, una generalización de la topología clásica de conjuntos de puntos. Por lo tanto, cabe esperar que aparezcan casos antiguos y nuevos de comportamiento patológico . Por ejemplo, hay un ejemplo de Pierre Deligne de un topos no trivial que no tiene puntos (véase más abajo la definición de puntos de un topos).
Si y son topos, un morfismo geométrico es un par de funtores adjuntos ( u ∗ , u ∗ ) (donde u ∗ : Y → X es adjunto por izquierda a u ∗ : X → Y ) tales que u ∗ preserva límites finitos. Nótese que u ∗ preserva automáticamente colimites en virtud de tener un adjunto por derecha.
Por el teorema del funtor adjunto de Freyd , dar un morfismo geométrico X → Y es dar un funtor u ∗ : Y → X que preserva los límites finitos y todos los colimites pequeños. Por lo tanto, los morfismos geométricos entre topos pueden verse como análogos de las funciones de lugares .
Si y son espacios topológicos y es una función continua entre ellos, entonces las operaciones de retroceso y avance en los haces producen un morfismo geométrico entre los topos asociados para los sitios .
Un punto de un topos se define como un morfismo geométrico del topos de conjuntos a .
Si X es un espacio ordinario y x es un punto de X , entonces el funtor que lleva un haz F a su tallo F x tiene un adjunto derecho (el funtor del "haz rascacielos"), por lo que un punto ordinario de X también determina un punto toposteórico. Estos pueden construirse como el retroceso-avance a lo largo de la función continua x : 1 → X .
Para el topos étale de un espacio , un punto es un objeto un poco más refinado. Dado un punto del esquema subyacente , un punto del topos se da entonces mediante una extensión de campo separable de tal manera que la función asociada se factoriza a través del punto original . Entonces, la función de factorización es un morfismo étale de esquemas.
Más precisamente, esos son los puntos globales . No son adecuados en sí mismos para mostrar el aspecto espacial de un topos, porque un topos no trivial puede no tener ninguno. Los puntos generalizados son morfismos geométricos de un topos Y (la etapa de definición ) a X. Hay suficientes de estos para mostrar el aspecto espacial. Por ejemplo, si X es el topos clasificatorio S [ T ] para una teoría geométrica T , entonces la propiedad universal dice que sus puntos son los modelos de T (en cualquier etapa de definición Y ).
Un morfismo geométrico ( u ∗ , u ∗ ) es esencial si u ∗ tiene un adjunto izquierdo adicional u ! , o equivalentemente (por el teorema del funtor adjunto) si u ∗ preserva no solo los límites finitos sino todos los límites pequeños.
Un topos anillado es un par ( X , R ), donde X es un topos y R es un objeto de anillo conmutativo en X . La mayoría de las construcciones de espacios anillados pasan por topos anillados. La categoría de objetos R -módulo en X es una categoría abeliana con suficientes inyectivos. Una categoría abeliana más útil es la subcategoría de R -módulos cuasi-coherentes : estos son R -módulos que admiten una presentación.
Otra clase importante de topos anillados, además de los espacios anillados, son los topos étale de las pilas de Deligne-Mumford .
Michael Artin y Barry Mazur asociaron al sitio subyacente a un topos un conjunto pro-simplicial (hasta la homotopía ). [5] (Es mejor considerarlo en Ho(pro-SS); ver Edwards) Usando este sistema inverso de conjuntos simpliciales uno puede a veces asociar a un invariante de homotopía en topología clásica un sistema inverso de invariantes en teoría de topos. El estudio del conjunto pro-simplicial asociado al topos étale de un esquema se llama teoría de homotopía étale . [6] En buenos casos (si el esquema es noetheriano y geométricamente unibranquial ), este conjunto pro-simplicial es pro-finito .
Desde principios del siglo XX, la base axiomática predominante de las matemáticas ha sido la teoría de conjuntos , en la que todos los objetos matemáticos están representados en última instancia por conjuntos (incluidas las funciones , que se asignan entre conjuntos). Trabajos más recientes en teoría de categorías permiten generalizar esta base utilizando topos; cada topo define completamente su propio marco matemático. La categoría de conjuntos forma un topos familiar, y trabajar dentro de este topos es equivalente a utilizar las matemáticas tradicionales de teoría de conjuntos. Pero en cambio se podría optar por trabajar con muchos topos alternativos. Una formulación estándar del axioma de elección tiene sentido en cualquier topo, y hay topos en los que no es válido. Los constructivistas estarán interesados en trabajar en un topo sin la ley del medio excluido . Si la simetría bajo un grupo particular G es importante, se puede utilizar el topo que consiste en todos los G -conjuntos .
También es posible codificar una teoría algebraica , como la teoría de grupos, como un topo, en forma de un topo clasificatorio . Los modelos individuales de la teoría, es decir, los grupos en nuestro ejemplo, corresponden entonces a funtores del topo codificador de la categoría de conjuntos que respetan la estructura del topo.
Cuando se utiliza para el trabajo fundacional, un topos se define axiomáticamente; la teoría de conjuntos se trata entonces como un caso especial de la teoría de topos. Partiendo de la teoría de categorías, existen múltiples definiciones equivalentes de un topos. La siguiente tiene la virtud de ser concisa:
Un topos es una categoría que tiene las dos propiedades siguientes:
Formalmente, un objeto de potencia de un objeto es un par con , que clasifica las relaciones, en el siguiente sentido. Nótese primero que para cada objeto , un morfismo ("una familia de subconjuntos") induce un subobjeto . Formalmente, esto se define tirando hacia atrás a lo largo de . La propiedad universal de un objeto de potencia es que cada relación surge de esta manera, dando una correspondencia biyectiva entre relaciones y morfismos .
A partir de límites finitos y objetos de potencia se puede deducir que
En algunas aplicaciones, el papel del clasificador de subobjetos es fundamental, mientras que el de los objetos de potencia no lo es. Por ello, algunas definiciones invierten los papeles de lo que se define y lo que se deriva.
Un funtor lógico es un funtor entre topos que preserva límites finitos y objetos de potencia. Los funtores lógicos preservan las estructuras que tienen los topos. En particular, preservan colimites finitos, clasificadores de subobjetos y objetos exponenciales . [7]
Un topos como se definió anteriormente puede entenderse como una categoría cartesiana cerrada para la cual la noción de subobjeto de un objeto tiene una definición elemental o de primer orden. Esta noción, como una abstracción categórica natural de las nociones de subconjunto de un conjunto, subgrupo de un grupo y, más generalmente, subálgebra de cualquier estructura algebraica , es anterior a la noción de topos. Es definible en cualquier categoría, no solo topoi, en lenguaje de segundo orden , es decir, en términos de clases de morfismos en lugar de morfismos individuales, de la siguiente manera. Dados dos mónicos m , n de respectivamente Y y Z a X , decimos que m ≤ n cuando existe un morfismo p : Y → Z para el cual np = m , induciendo un preorden en los mónicos a X . Cuando m ≤ n y n ≤ m decimos que m y n son equivalentes. Los subobjetos de X son las clases de equivalencia resultantes de las mónicas a él.
En un topos, "subobjeto" se convierte, al menos implícitamente, en una noción de primer orden, como sigue.
Como se señaló anteriormente, un topos es una categoría C que tiene todos los límites finitos y, por lo tanto, en particular el límite vacío u objeto final 1. Es natural entonces tratar los morfismos de la forma x : 1 → X como elementos x ∈ X . Los morfismos f : X → Y corresponden así a funciones que asignan cada elemento x ∈ X al elemento fx ∈ Y , con aplicación realizada por composición.
Se podría entonces pensar en definir un subobjeto de X como una clase de equivalencia de mónicas m : X′ → X que tienen la misma imagen { mx | x ∈ X′ }. El problema es que dos o más morfismos pueden corresponder a la misma función, es decir, no podemos suponer que C es concreto en el sentido de que el funtor C (1,-): C → Set es fiel. Por ejemplo, la categoría Grph de grafos y sus homomorfismos asociados es un topos cuyo objeto final 1 es el grafo con un vértice y una arista (un bucle propio), pero no es concreto porque los elementos 1 → G de un grafo G corresponden solo a los bucles propios y no a las otras aristas, ni a los vértices sin bucles propios. Mientras que la definición de segundo orden hace que G y el subgrafo de todos los bucles propios de G (con sus vértices) sean subobjetos distintos de G (a menos que cada arista sea, y cada vértice tenga, un bucle propio), esta definición basada en imágenes no lo hace. Esto se puede abordar para el ejemplo del grafo y ejemplos relacionados a través del Lema de Yoneda como se describe en la sección Ejemplos adicionales a continuación, pero esto deja de ser de primer orden. Topoi proporciona una solución más abstracta, general y de primer orden.
Como se señaló anteriormente, un topos C tiene un clasificador de subobjetos Ω, es decir, un objeto de C con un elemento t ∈ Ω, el subobjeto genérico de C , que tiene la propiedad de que cada mónico m : X′ → X surge como un pullback del subobjeto genérico a lo largo de un morfismo único f : X → Ω, como en la Figura 1. Ahora bien, el pullback de un mónico es un mónico, y todos los elementos incluyendo t son mónicos ya que solo hay un morfismo a 1 desde cualquier objeto dado, de donde el pullback de t a lo largo de f : X → Ω es un mónico. Por lo tanto, los mónicos a X están en biyección con los pullbacks de t a lo largo de morfismos de X a Ω. Los últimos morfismos dividen los mónicos en clases de equivalencia, cada una determinada por un morfismo f : X → Ω, el morfismo característico de esa clase, que tomamos como el subobjeto de X caracterizado o nombrado por f .
Todo esto se aplica a cualquier topos, concreto o no. En el caso concreto, es decir, C (1,-) fiel, por ejemplo la categoría de conjuntos, la situación se reduce al comportamiento familiar de las funciones. Aquí las mónicas m : X′ → X son exactamente las inyecciones (funciones biunívocas) de X′ a X , y aquellas con una imagen dada { mx | x ∈ X′ } constituyen el subobjeto de X correspondiente al morfismo f : X → Ω para el cual f −1 ( t ) es esa imagen. Las mónicas de un subobjeto tendrán en general muchos dominios, todos los cuales, sin embargo, estarán en biyección entre sí.
En resumen, esta noción de primer orden de clasificador de subobjetos define implícitamente para un topos la misma relación de equivalencia en mónicas con X que había sido definida previamente de forma explícita por la noción de segundo orden de subobjeto para cualquier categoría. La noción de relación de equivalencia en una clase de morfismos es en sí misma intrínsecamente de segundo orden, que la definición de topos elude hábilmente al definir explícitamente solo la noción de clasificador de subobjetos Ω, dejando la noción de subobjeto de X como una consecuencia implícita caracterizada (y por lo tanto nombrable) por su morfismo asociado f : X → Ω.
Todo topos de Grothendieck es un topos elemental, pero lo inverso no es cierto (ya que todo topos de Grothendieck es co-completo, lo cual no se requiere de un topos elemental).
Las categorías de conjuntos finitos, de G -conjuntos finitos ( acciones de un grupo G sobre un conjunto finito) y de grafos finitos son topos elementales que no son topos de Grothendieck.
Si C es una categoría pequeña, entonces la categoría de funtores Set C (que consiste en todos los funtores covariantes desde C hasta conjuntos, con transformaciones naturales como morfismos) es un topos. Por ejemplo, la categoría Grph de grafos del tipo que permite múltiples aristas dirigidas entre dos vértices es un topos. Un grafo de este tipo consiste en dos conjuntos, un conjunto de aristas y un conjunto de vértices, y dos funciones s,t entre esos conjuntos, asignando a cada arista e su fuente s ( e ) y destino t ( e ). Grph es, por tanto, equivalente a la categoría de funtores Set C , donde C es la categoría con dos objetos E y V y dos morfismos s,t : E → V que dan respectivamente la fuente y el destino de cada arista.
El lema de Yoneda afirma que C op se incrusta en el conjunto C como una subcategoría completa. En el ejemplo del grafo, la incrustación representa a C op como la subcategoría del conjunto C cuyos dos objetos son V' como el grafo de un vértice sin aristas y E' como el grafo de dos vértices con una arista (ambos como funtores), y cuyos dos morfismos no identidad son los dos homomorfismos de grafo de V' a E' (ambos como transformaciones naturales). Las transformaciones naturales de V' a un grafo arbitrario (funtor) G constituyen los vértices de G mientras que las de E' a G constituyen sus aristas. Aunque el conjunto C , que podemos identificar con Grph , no se concreta ni mediante V' ni mediante E' por separado, el funtor U : Grph → Conjunto 2 que envía el objeto G al par de conjuntos ( Grph ( V' , G ), Grph ( E' , G )) y el morfismo h : G → H al par de funciones ( Grph ( V' , h ), Grph ( E' , h )) son fieles. Es decir, un morfismo de grafos puede entenderse como un par de funciones, una que mapea los vértices y la otra las aristas, con aplicación aún realizada como composición pero ahora con múltiples tipos de elementos generalizados . Esto muestra que el concepto tradicional de una categoría concreta como aquella cuyos objetos tienen un conjunto subyacente puede generalizarse para atender a una gama más amplia de topoi al permitir que un objeto tenga múltiples conjuntos subyacentes, es decir, que sea multiclasificado.
La categoría de conjuntos puntiagudos con funciones que preservan el punto no es un topos, ya que no tiene objetos potencia: si fuera el objeto potencia del conjunto puntiagudo , y denota el singleton puntiagudo, entonces solo hay una función que preserva el punto , pero las relaciones en son tan numerosas como los subconjuntos puntiagudos de . La categoría de grupos abelianos tampoco es un topos, por una razón similar: todo homomorfismo de grupo debe mapear 0 a 0.
Los siguientes textos son introducciones fáciles de leer a los topos y a los conceptos básicos de la teoría de categorías. Pueden resultar adecuados para quienes no tienen conocimientos de lógica matemática y teoría de conjuntos, incluso para quienes no son matemáticos.
Trabajo fundacional de Grothendieck sobre los topos:
Las siguientes monografías incluyen una introducción a parte o a la totalidad de la teoría de topos, pero no están dirigidas principalmente a estudiantes principiantes. Están enumeradas en orden (percibido) de dificultad creciente.
