En topología algebraica , una cuasifibración es una generalización de haces de fibras y fibraciones introducida por Albrecht Dold y René Thom . En términos generales, es un mapa continuo p : E → B que tiene el mismo comportamiento que una fibración con respecto a los grupos de homotopía (relativa) de E , B y p −1 ( x ). De manera equivalente, se puede definir una cuasifibración como un mapa continuo tal que la inclusión de cada fibra en su fibra de homotopía es una equivalencia débil . Una de las principales aplicaciones de las cuasifibraciones reside en la demostración del teorema de Dold-Thom .
Un mapa sobreyectivo continuo de espacios topológicos p : E → B se llama cuasifibración si induce isomorfismos
para todo x ∈ B , y ∈ p −1 ( x ) e i ≥ 0. Para i = 0,1 sólo se puede hablar de biyecciones entre los dos conjuntos.
Por definición, las cuasifibraciones comparten una propiedad clave de las fibraciones, a saber, que una cuasifibración p : E → B induce una secuencia larga y exacta de grupos de homotopía.
como sigue directamente de la secuencia larga exacta para el par ( E , p −1 ( x )).
Esta larga secuencia exacta también es funtorial en el siguiente sentido: cualquier mapa de fibra f : E → E′ induce un morfismo entre las secuencias exactas de los pares ( E , p −1 ( x )) y ( E′ , p′ −1 ( x )) y por tanto un morfismo entre las secuencias exactas de una cuasifibración. Por tanto, el diagrama
conmuta siendo f 0 la restricción de f a p −1 ( x ) y x′ siendo un elemento de la forma p′ ( f ( e )) para un e ∈ p −1 ( x ).
Una definición equivalente es decir que un mapa sobreyectivo p : E → B es una cuasifibración si la inclusión de la fibra p −1 ( b ) en la fibra de homotopía F b de p sobre b es una equivalencia débil para todo b ∈ B . Para ver esto, recuerde que F b es la fibra de q bajo b donde q : E p → B es la construcción de fibración de camino habitual . Así, uno tiene
y q viene dado por q ( e , γ) = γ(1). Ahora considere la equivalencia de homotopía natural φ : E → E p , dada por φ( e ) = ( e , p ( e ) ), donde p ( e ) denota la ruta constante correspondiente. Por definición, p factoriza a través de E p de modo que se obtiene un diagrama conmutativo
La aplicación de π n produce la definición alternativa.
La siguiente es una consecuencia directa de la definición alternativa de fibración utilizando la fibra homotópica:
Un corolario de este teorema es que todas las fibras de una cuasifibración son débilmente equivalentes en homotopía si el espacio base está conectado por caminos , como es el caso de las fibraciones.
Comprobar si un mapa determinado es una cuasifibración tiende a ser bastante tedioso. Los dos teoremas siguientes están diseñados para facilitar este problema. Harán uso de la siguiente noción: Sea p : E → B una función continua. Un subconjunto U ⊂ p ( E ) se llama distinguido (con respecto a p ) si p : p −1 ( U ) → U es una cuasifibración.
Para ver que esta última afirmación es válida, sólo es necesario tener en cuenta que las imágenes continuas de conjuntos compactos en B ya se encuentran en algún B n . De esa manera, se puede reducir al caso en que se conoce la afirmación. Estos dos teoremas significan que basta con demostrar que un mapa dado es una cuasifibración en ciertos subconjuntos. Luego se pueden unir para ver que se cumple en subconjuntos más grandes y finalmente, usando un argumento limitante, se ve que el mapa es una cuasifibración en todo el espacio. Este procedimiento se ha utilizado, por ejemplo, en la demostración del teorema de Dold-Thom.
