Una fibración (también llamada fibración de Hurewicz) es un mapeo que satisface la propiedad de elevación de homotopía para todos los espacios. El espacio se llama espacio base y el espacio se llama espacio total . La fibra encima es el subespacio [1] : 66
Fibración de serre
Una fibración de Serre (también llamada fibración débil) es un mapeo que satisface la propiedad de elevación de homotopía para todos los complejos CW . [2] : 375-376
Cada fibración de Hurewicz es una fibración de Serre.
Cuasifibración
Un mapeo se llama cuasifibración , si para cada y se cumple que el mapeo inducido es un isomorfismo .
Toda fibración de Serre es una cuasifibración. [3] : 241-242
Ejemplos
La proyección sobre el primer factor es una fibración. Es decir, los paquetes triviales son fibraciones.
Toda cobertura es una fibración. Específicamente, para cada homotopía y cada elevación existe una elevación definida de forma única con [4] : 159 [5] : 50
Cada haz de fibras satisface la propiedad de elevación de homotopía para cada complejo CW. [2] : 379
Un haz de fibras con un espacio paracompacto y base de Hausdorff satisface la propiedad de elevación por homotopía para todos los espacios. [2] : 379
Un ejemplo de fibración, que no es un haz de fibras, lo da el mapeo inducido por la inclusión de un espacio topológico y es el espacio de todos los mapeos continuos con la topología compacta-abierta . [4] : 198
La fibración de Hopf es un haz de fibras no trivial y específicamente una fibración de Serre.
Conceptos básicos
Equivalencia de homotopía de fibra
Un mapeo entre espacios totales de dos fibraciones y con el mismo espacio base es un homomorfismo de fibración si el siguiente diagrama conmuta:
El mapeo es una equivalencia de homotopía de fibra si además existe un homomorfismo de fibración, tal que los mapeos y sean homotópicos, por homomorfismos de fibración, a las identidades y [2] : 405-406
Fibración de retroceso
Dadas una fibración y un mapeo , el mapeo es una fibración, donde está el retroceso y las proyecciones de sobre y producen el siguiente diagrama conmutativo:
La fibración se llama fibración de retroceso o fibración inducida. [2] : 405-406
Fibración del espacio de camino
Con la construcción del espacio de caminos, cualquier mapeo continuo se puede extender a una fibración ampliando su dominio a un espacio equivalente de homotopía. Esta fibración se llama fibración en el espacio de caminos .
La fibración del espacio de caminos está dada por el mapeo con La fibra también se llama fibra homotópica de y consta de pares con y caminos donde y se mantiene.
Para el caso especial de la inclusión del punto base , surge un ejemplo importante de fibración del espacio de caminos. El espacio total consta de todos los caminos que comienzan en Este espacio se denota por y se llama espacio de caminos. La fibración del espacio de ruta asigna cada ruta a su punto final, por lo tanto, la fibra consta de todas las rutas cerradas. La fibra se denota por y se llama espacio de bucle . [2] : 407-408
Para una homotopía, las fibraciones de retroceso y son equivalentes en homotopía de fibra. [2] : 406
Si el espacio base es contráctil , entonces la fibración es homotópica de fibra equivalente a la fibración del producto [2] : 406
La fibración en el espacio de caminos de una fibración es muy similar a sí misma. Más precisamente, la inclusión es una equivalencia de homotopía de fibra. [2] : 408
Para una fibración con fibra y punto base, la inclusión de la fibra en la fibra de homotopía es una equivalencia de homotopía . El mapeo con , donde y es un camino desde hacia en el espacio base, es una fibración. Específicamente es la fibración de retroceso de la fibración del espacio de ruta . Este procedimiento ahora se puede aplicar nuevamente a la fibración y así sucesivamente. Esto lleva a una larga secuencia:
La fibra sobre un punto consta de pares con caminos cerrados y un punto de partida , es decir, el espacio del bucle . La inclusión es una equivalencia de homotopía y la iteración produce la secuencia:
Debido a la dualidad de fibración y cofibración , también existe una secuencia de cofibraciones. Estas dos secuencias se conocen como secuencias de Puppe o secuencias de fibraciones y cofibraciones. [2] : 407-409
Fibración principal
Una fibración con fibra se llama principal , si existe un diagrama conmutativo:
La fila inferior es una secuencia de fibraciones y los mapeos verticales son equivalencias de homotopía débiles. Las fibraciones principales juegan un papel importante en las torres Postnikov . [2] : 412
Secuencia larga y exacta de grupos de homotopía.
Para una fibración de Serre existe una secuencia larga y exacta de grupos de homotopía . Para puntos base y esto viene dado por:
Los homomorfismos y son los homomorfismos inducidos de la inclusión y la proyección [2] : 376
Los grupos de homotopía son triviales por lo que existen isomorfismos entre y para
De manera análoga, las fibras dentro y dentro son contráctiles hasta un punto. Además, las secuencias exactas cortas se dividen y hay familias de isomorfismos: [6] : 111
y
Secuencia espectral
Las secuencias espectrales son herramientas importantes en topología algebraica para calcular grupos de (co)homología.
La secuencia espectral de Leray-Serre conecta la (co)homología del espacio total y la fibra con la (co)homología del espacio base de una fibración. Para una fibración con fibra donde el espacio base es un complejo CW conectado y una teoría de homología aditiva existe una secuencia espectral: [7] : 242
Las fibraciones no producen secuencias largas y exactas en homología, como ocurre en homotopía. Pero bajo ciertas condiciones, las fibraciones proporcionan secuencias exactas en homología. Para una fibración con fibra donde el espacio base y la fibra están conectados por caminos , el grupo fundamental actúa trivialmente y además de las condiciones para y para la retención, existe una secuencia exacta (también conocida con el nombre de secuencia exacta de Serre):
[7] : 250
Esta secuencia se puede utilizar, por ejemplo, para demostrar el teorema de Hurewicz o para calcular la homología de espacios de bucles de la forma [8] : 162
Para el caso especial de una fibración donde el espacio de bases es una esfera con fibra, existen secuencias exactas (también llamadas secuencias de Wang ) para homología y cohomología: [1] : 456
Orientabilidad
Para una fibración con fibra y un anillo conmuativo fijo con una unidad, existe un functor contravariante del grupoide fundamental de a la categoría de módulos graduados, que asigna al módulo y a la clase de camino el homomorfismo donde es una clase de homotopía en
Una fibración se llama orientable si para cualquier camino cerrado se cumple lo siguiente: [1] : 476
característica de euler
Para una fibración orientable sobre el campo con fibra y espacio base conectado por trayectoria, la característica de Euler del espacio total viene dada por:
Aquí se definen las características de Euler del espacio base y de la fibra sobre el campo . [1] : 481
^ Dold, Albrecht ; Thom, René (1958). "Quasifaserungen und Unendliche Symmetrische Produkte". Anales de Matemáticas . 67 (2): 239–281. doi :10.2307/1970005. JSTOR 1970005.
^ ab Laures, Gerd; Szymik, Markus (2014). Grundkurs Topologie (en alemán) (2ª ed.). Espectro de Springer. doi :10.1007/978-3-662-45953-9. ISBN978-3-662-45952-2.
^ ab Davis, James F.; Kirk, Paul (1991). Apuntes de conferencias sobre topología algebraica (PDF) . Departamento de Matemáticas, Universidad de Indiana.
^ Cohen, Ralph L. (1998). Notas de la conferencia sobre la topología de los haces de fibras (PDF) . Universidad Stanford.