Isomorfismo de grupo

Homomorfismo de grupo biyectivo

En álgebra abstracta , un isomorfismo de grupo es una función entre dos grupos que establece una biyección entre los elementos de los grupos de una manera que respeta las operaciones de grupo dadas. Si existe un isomorfismo entre dos grupos, entonces los grupos se llaman isomorfos . Desde el punto de vista de la teoría de grupos , los grupos isomorfos tienen las mismas propiedades y no es necesario distinguirlos. ^[1]

Definición y notación

Dados dos grupos y un isomorfismo de grupo de a es un homomorfismo de grupo biyectivo de a Escrito, esto significa que un isomorfismo de grupo es una función biyectiva tal que para todos y en él se cumple que ${\displaystyle (G,*)}$ ${\displaystyle (H,\odot ),}$ ${\displaystyle (G,*)}$ ${\displaystyle (H,\odot )}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H.}$ ${\displaystyle f:G\to H}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle G}$

$${\displaystyle f(u*v)=f(u)\odot f(v).}$$

Los dos grupos y son isomorfos si existe un isomorfismo de uno al otro. ^{[1] [2]} Esto está escrito ${\displaystyle (G,*)}$ ${\displaystyle (H,\odot )}$

$${\displaystyle (G,*)\cong (H,\odot ).}$$

A menudo se pueden utilizar notaciones más breves y sencillas. Cuando se entienden las operaciones relevantes del grupo, se omiten y se escribe

$${\displaystyle G\cong H.}$$

A veces incluso se puede escribir simplemente. La posibilidad de una notación de este tipo sin confusión o ambigüedad depende del contexto. Por ejemplo, el signo igual no es muy adecuado cuando los grupos son ambos subgrupos del mismo grupo. Vea también los ejemplos. ${\displaystyle G=H.}$

Por el contrario, dado un grupo, un conjunto y una biyección , podemos formar un grupo definiendo ${\displaystyle (G,*),}$ ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle f:G\to H,}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle (H,\odot )}$

$${\displaystyle f(u)\odot f(v)=f(u*v).}$$

Si y entonces la biyección es un automorfismo ( qv ). ${\displaystyle H=G}$ ${\displaystyle \odot =*}$

Intuitivamente, los teóricos de grupos ven dos grupos isomórficos de la siguiente manera: para cada elemento de un grupo existe un elemento que " se comporta de la misma manera" que (opera con otros elementos del grupo de la misma manera que ). Por ejemplo, si genera, entonces también lo hace. Esto implica, en particular, que y están en correspondencia biyectiva. Por tanto, la definición de isomorfismo es bastante natural. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle h.}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$

Un isomorfismo de grupos puede definirse de manera equivalente como un homomorfismo de grupo invertible (la función inversa de un homomorfismo de grupo biyectivo es también un homomorfismo de grupo).

Ejemplos

En esta sección se enumeran algunos ejemplos notables de grupos isomórficos.

• El grupo de todos los números reales bajo la suma, es isomorfo al grupo de números reales positivos bajo la multiplicación : ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{+},\times )}$

  ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)\cong (\mathbb {R} ^{+},\times )}$a través del isomorfismo . ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$

• El grupo de números enteros (con suma) es un subgrupo de y el grupo de factores es isomorfo al grupo de números complejos de valor absoluto 1 (bajo multiplicación): ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle S^{1}}$

  ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} \cong S^{1}}$

• El grupo de cuatro de Klein es isomorfo al producto directo de dos copias de y, por lo tanto, puede escribirse con otra notación porque es un grupo diédrico . ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}.}$ ${\displaystyle \operatorname {Dih} _{2},}$
• Generalizando esto, porque todo impar es isomorfo al producto directo de y ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle \operatorname {Dih} _{2n}}$ ${\displaystyle \operatorname {Dih} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}.}$
• Si es un grupo cíclico infinito , entonces es isomorfo a los números enteros (con la operación de suma). Desde un punto de vista algebraico, esto significa que el conjunto de todos los números enteros (con la operación de suma) es el "único" grupo cíclico infinito. ${\displaystyle (G,*)}$ ${\displaystyle (G,*)}$

Se puede demostrar que algunos grupos son isomorfos, basándose en el axioma de elección , pero la prueba no indica cómo construir un isomorfismo concreto. Ejemplos:

• El grupo es isomorfo al grupo de todos los números complejos bajo suma. ^[3] ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$ ${\displaystyle (\mathbb {C} ,+)}$
• El grupo de números complejos distintos de cero con la multiplicación como operación es isomorfo al grupo mencionado anteriormente. ${\displaystyle (\mathbb {C} ^{*},\cdot )}$ ${\displaystyle S^{1}}$

Propiedades

El núcleo de un isomorfismo de a es siempre {e _G }, donde e _G es la identidad del grupo ${\displaystyle (G,*)}$ ${\displaystyle (H,\odot )}$ ${\displaystyle (G,*)}$

Si y son isomorfos, entonces es abeliano si y sólo si es abeliano. ${\displaystyle (G,*)}$ ${\displaystyle (H,\odot )}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$

Si es un isomorfismo de hasta entonces para cualquiera el orden de es igual al orden de ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (G,*)}$ ${\displaystyle (H,\odot ),}$ ${\displaystyle a\in G,}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f(a).}$

Si y son isomorfos, entonces es un grupo localmente finito si y sólo si es localmente finito. ${\displaystyle (G,*)}$ ${\displaystyle (H,\odot )}$ ${\displaystyle (G,*)}$ ${\displaystyle (H,\odot )}$

El número de grupos distintos (hasta el isomorfismo) de orden viene dado por la secuencia A000001 en el OEIS . Los primeros números son 0, 1, 1, 1 y 2, lo que significa que 4 es el orden más bajo con más de un grupo. ${\displaystyle n}$

Grupos cíclicos

Todos los grupos cíclicos de un orden dado son isomorfos donde denota módulo de suma ${\displaystyle (\mathbb {Z} _{n},+_{n}),}$ ${\displaystyle +_{n}}$ ${\displaystyle n.}$

Sea un grupo cíclico y sea del orden de Sea un generador de , es entonces igual a Demostraremos que ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \langle x\rangle =\left\{e,x,\ldots ,x^{n-1}\right\}.}$

$${\displaystyle G\cong (\mathbb {Z} _{n},+_{n}).}$$

Definir

$${\displaystyle \varphi :G\to \mathbb {Z} _{n}=\{0,1,\ldots ,n-1\},}$$

${\displaystyle \varphi (x^{a})=a.}$ ${\displaystyle \varphi }$

$${\displaystyle \varphi (x^{a}\cdot x^{b})=\varphi (x^{a+b})=a+b=\varphi (x^{a})+_{n}\varphi (x^{b}),}$$

${\displaystyle G\cong (\mathbb {Z} _{n},+_{n}).}$

Consecuencias

De la definición, se deduce que cualquier isomorfismo asignará el elemento de identidad de al elemento de identidad de ${\displaystyle f:G\to H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H,}$

$${\displaystyle f(e_{G})=e_{H},}$$

inversos

$${\displaystyle f(u^{-1})=f(u)^{-1}\quad {\text{ for all }}u\in G,}$$

${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle f(u^{n})=f(u)^{n}\quad {\text{ for all }}u\in G,}$$

${\displaystyle f^{-1}:H\to G}$

La relación "ser isomorfa" es una relación de equivalencia . Si es un isomorfismo entre dos grupos y entonces todo lo que es cierto acerca de eso solo está relacionado con la estructura del grupo se puede traducir a una declaración verdadera y viceversa. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle H,}$

Automorfismos

Un isomorfismo de un grupo a sí mismo se llama automorfismo del grupo. Por tanto, es una biyección tal que ${\displaystyle (G,*)}$ ${\displaystyle f:G\to G}$

$${\displaystyle f(u)*f(v)=f(u*v).}$$

La imagen bajo un automorfismo de una clase de conjugación es siempre una clase de conjugación (la misma u otra).

La composición de dos automorfismos es nuevamente un automorfismo, y con esta operación el conjunto de todos los automorfismos de un grupo denotado por sí mismo forma un grupo, el grupo de automorfismos de ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (G),}$ ${\displaystyle G.}$

Para todos los grupos abelianos existe al menos el automorfismo que reemplaza los elementos del grupo por sus inversos. Sin embargo, en grupos donde todos los elementos son iguales a sus inversos, este es el automorfismo trivial , por ejemplo, en el grupo de cuatro de Klein . Para ese grupo, todas las permutaciones de los tres elementos no identitarios son automorfismos, por lo que el grupo de automorfismos es isomorfo a (que a su vez es isomorfo a ). ${\displaystyle S_{3}}$ ${\displaystyle \operatorname {Dih} _{3}}$

En el caso de un número primo, un elemento que no es identidad puede ser reemplazado por cualquier otro, con los cambios correspondientes en los demás elementos. El grupo de automorfismo es isomorfo a Por ejemplo, para multiplicar todos los elementos de por 3, módulo 7, es un automorfismo de orden 6 en el grupo de automorfismo, porque mientras potencias inferiores no dan 1. Así este automorfismo genera Hay un automorfismo más con esta propiedad: multiplicar todos los elementos de por 5, módulo 7. Por lo tanto, estos dos corresponden a los elementos 1 y 5 de en ese orden o viceversa. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p-1}}$ ${\displaystyle n=7,}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{7}}$ ${\displaystyle 3^{6}\equiv 1{\pmod {7}},}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{6}.}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{7}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{6},}$

El grupo de automorfismo de es isomorfo porque solo cada uno de los dos elementos 1 y 5 se genera, por lo que, aparte de la identidad, solo podemos intercambiarlos. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{6}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2},}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{6},}$

El grupo de automorfismo de tiene orden 168, como se puede encontrar a continuación. Los 7 elementos sin identidad desempeñan el mismo papel, por lo que podemos elegir cuál desempeña el papel de. Cualquiera de los 6 restantes puede ser elegido para desempeñar el papel de (0,1,0). Esto determina a qué elemento corresponde. Podemos elegir entre 4, lo que determina el resto. Así tenemos automorfismos. Corresponden a los del plano de Fano , de los cuales los 7 puntos corresponden a los 7 elementos de no identidad . Las líneas que conectan tres puntos corresponden a la operación de grupo: y en una línea significa y Ver también grupo lineal general sobre campos finitos . ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}\oplus \oplus \mathbb {Z} _{2}=\operatorname {Dih} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle (1,0,0).}$ ${\displaystyle (1,1,0).}$ ${\displaystyle (0,0,1)}$ ${\displaystyle 7\times 6\times 4=168}$ ${\displaystyle a,b,}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a+b=c,}$ ${\displaystyle a+c=b,}$ ${\displaystyle b+c=a.}$

Para los grupos abelianos, todos los automorfismos no triviales son automorfismos externos .

Los grupos no abelianos tienen un grupo de automorfismos internos no triviales y posiblemente también automorfismos externos.

Ver también

• Problema de isomorfismo de grupo
• Biyección  – Correspondencia uno a uno

Referencias

• Herstein, IN (1975). Temas de álgebra (2ª ed.). Nueva York: John Wiley & Sons. ISBN 0471010901.

1. Barnard, Tony y Neil, Hugh (2017). Descubriendo la teoría de grupos: una transición a las matemáticas avanzadas . Boca Ratán: Prensa CRC. pag. 94.ISBN​ 9781138030169.
2. Budden, FJ (1972). La fascinación de los grupos (PDF) . Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 142.ISBN​ 0521080169. Recuperado 12 de octubre de 2022 - vía VDOC.PUB.
3. Ceniza (1973). "Una consecuencia del axioma de elección". Revista de la Sociedad Australiana de Matemáticas . 19 (3): 306–308. doi : 10.1017/S1446788700031505 . Consultado el 21 de septiembre de 2013 .