Función acotada

Una función matemática cuyo conjunto de valores está acotado

Ilustración esquemática de una función acotada (roja) y una función ilimitada (azul). Intuitivamente, el gráfico de una función acotada se mantiene dentro de una banda horizontal, mientras que el gráfico de una función ilimitada no lo hace.

En matemáticas , una función definida en un conjunto con valores reales o complejos se denomina acotada si el conjunto de sus valores está acotado . En otras palabras, existe un número real tal que ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle |f(x)|\leq M}$

para todo en . ^[1] Una función que no está acotada se dice que no está acotada . ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$

Si es de valor real y para todos en , entonces se dice que la función está acotada (desde) arriba por . Si para todos en , entonces se dice que la función está acotada (desde) abajo por . Una función de valor real está acotada si y solo si está acotada superior e inferiormente. ^{[1] [ cita(s) adicional(es) necesaria(s) ]} ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)\leq A}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f(x)\geq B}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$

Un caso especial importante es una sucesión acotada , donde se toma como el conjunto de números naturales . Por lo tanto, una sucesión está acotada si existe un número real tal que ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f=(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle |a_{n}|\leq M}$

Para cada número natural , el conjunto de todas las secuencias acotadas forma el espacio de secuencias . ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle l^{\infty }}$

La definición de acotación se puede generalizar a funciones que toman valores en un espacio más general al requerir que la imagen sea un conjunto acotado en . ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle Y}$

Nociones relacionadas

Más débil que la acotación es la acotación local . Una familia de funciones acotadas puede estar uniformemente acotada .

Un operador acotado no es una función acotada en el sentido de la definición de esta página (a menos que ), pero tiene la propiedad más débil de preservar la acotación ; los conjuntos acotados se asignan a conjuntos acotados . Esta definición se puede extender a cualquier función si y permite el concepto de un conjunto acotado. La acotación también se puede determinar observando un gráfico. ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle T:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle T=0}$ ${\displaystyle M\subseteq X}$ ${\displaystyle T(M)\subseteq Y}$ ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Ejemplos

• La función seno está acotada ya que para todo . ^{[1] [2]} ${\displaystyle \sin :\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle |\sin(x)|\leq 1}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$
• La función , definida para todos los números reales excepto −1 y 1, no está acotada. A medida que se acerca a −1 o 1, los valores de esta función aumentan de magnitud. Esta función puede acotarse si se restringe su dominio a, por ejemplo, o . ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle f(x)=(x^{2}-1)^{-1}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [2,\infty )}$ ${\displaystyle (-\infty ,-2]}$
• La función , definida para todos los reales , está acotada, ya que para todos . ^{[ cita requerida ]} ${\textstyle f(x)=(x^{2}+1)^{-1}}$ ${\displaystyle x}$ ${\textstyle |f(x)|\leq 1}$ ${\displaystyle x}$
• La función trigonométrica inversa arcotangente se define como: o es creciente para todos los números reales y está acotada por radianes ^[3] ${\displaystyle y=\arctan(x)}$ ${\displaystyle x=\tan(y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}}$
• Por el teorema de acotación , toda función continua en un intervalo cerrado, como por ejemplo , está acotada. ^[4] De manera más general, cualquier función continua de un espacio compacto a un espacio métrico está acotada. ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle f:[0,1]\rightarrow \mathbb {R} }$
• Todas las funciones complejas que son enteras son ilimitadas o constantes como consecuencia del teorema de Liouville . ^[5] En particular, el complejo debe ser ilimitado ya que es entero. ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle f:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \sin :\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} }$
• La función que toma el valor 0 para un número racional y 1 para un número irracional (cf. función de Dirichlet ) está acotada. Por lo tanto, una función no necesita ser "buena" para estar acotada. El conjunto de todas las funciones acotadas definidas en es mucho mayor que el conjunto de funciones continuas en ese intervalo. ^{[ cita requerida ]} Además, las funciones continuas no necesitan estar acotadas; por ejemplo, las funciones y definidas por y son ambas continuas, pero ninguna está acotada. ^[6] (Sin embargo, una función continua debe estar acotada si su dominio es cerrado y acotado. ^[6] ) ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle h:(0,1)^{2}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle g(x,y):=x+y}$ ${\displaystyle h(x,y):={\frac {1}{x+y}}}$

Véase también

• Conjunto acotado
• Soporte compacto
• Limitación local
• Limitación uniforme

Referencias

1. Jeffrey, Alan (13 de junio de 1996). Matemáticas para ingenieros y científicos, quinta edición. CRC Press. ISBN 978-0-412-62150-5.
2. "Las funciones seno y coseno" (PDF) . math.dartmouth.edu . Archivado (PDF) del original el 2 de febrero de 2013 . Consultado el 1 de septiembre de 2021 .
3. Polyanin, Andrei D.; Chernoutsan, Alexei (18 de octubre de 2010). Un manual conciso de matemáticas, física y ciencias de la ingeniería. CRC Press. ISBN 978-1-4398-0640-1.
4. Weisstein, Eric W. "Teorema del valor extremo". mathworld.wolfram.com . Consultado el 1 de septiembre de 2021 .
5. "Teoremas de Liouville - Enciclopedia de Matemáticas". encyclopediaofmath.org . Consultado el 1 de septiembre de 2021 .
6. Ghorpade, Sudhir R.; Limaye, Balmohan V. (20 de marzo de 2010). Un curso de cálculo y análisis multivariable. Springer Science & Business Media. pág. 56. ISBN 978-1-4419-1621-1.