Geometría del taxi

Tipo de geometría métrica

En la geometría del taxi, las longitudes de los caminos rojo, azul, verde y amarillo son todas iguales 12 , la distancia del taxi entre las esquinas opuestas y los cuatro caminos son los caminos más cortos. En cambio, en la geometría euclidiana, los caminos rojo, azul y amarillo todavía tienen una longitud de 12 , pero el camino verde es el único camino más corto, con una longitud igual a la distancia euclidiana entre las esquinas opuestas, 6√2 ≈ 8,49 .

La geometría del taxi o geometría de Manhattan es una geometría en la que se ignora la familiar distancia euclidiana y, en cambio, la distancia entre dos puntos se define como la suma de las diferencias absolutas de sus respectivas coordenadas cartesianas , una función de distancia (o métrica ) llamada distancia del taxi . Distancia de Manhattan , o distancia de una cuadra de la ciudad . El nombre se refiere a la isla de Manhattan , o genéricamente a cualquier ciudad planificada con una cuadrícula rectangular de calles, en la que un taxi sólo puede viajar siguiendo direcciones de cuadrícula. En la geometría del taxi, la distancia entre dos puntos cualesquiera es igual a la longitud de su ruta de cuadrícula más corta. Esta definición diferente de distancia también conduce a una definición diferente de la longitud de una curva, para la cual un segmento de línea entre dos puntos cualesquiera tiene la misma longitud que una trayectoria de cuadrícula entre esos puntos en lugar de su longitud euclidiana.

La distancia del taxi también se conoce a veces como distancia rectilínea o distancia L ¹ (ver espacio L p ). ^[1] Esta geometría se ha utilizado en el análisis de regresión desde el siglo XVIII y a menudo se la denomina LASSO . Su interpretación geométrica data de la geometría no euclidiana del siglo XIX y se debe a Hermann Minkowski .

En el espacio de coordenadas real bidimensional , la distancia del taxi entre dos puntos y es . Es decir, es la suma de los valores absolutos de las diferencias en ambas coordenadas. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$ ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ ${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$ ${\displaystyle \left|x_{1}-x_{2}\right|+\left|y_{1}-y_{2}\right|}$

Definicion formal

La distancia del taxi, entre dos puntos en un espacio de coordenadas reales de n dimensiones con un sistema de coordenadas cartesiano fijo , es la suma de las longitudes de las proyecciones del segmento de línea entre los puntos sobre los ejes de coordenadas . Más formalmente, ${\displaystyle d_{\text{T}}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} =(p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}){\text{ and }}\mathbf {q} =(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})}$

$${\displaystyle d_{\text{T}}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )=\left\|\mathbf {p} -\mathbf {q} \right\|_{\text{T}}=\sum _{i=1}^{n}\left|p_{i}-q_{i}\right|}$$

${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} =(p_{1},p_{2})}$ ${\displaystyle \mathbf {q} =(q_{1},q_{2})}$ ${\displaystyle \left|p_{1}-q_{1}\right|+\left|p_{2}-q_{2}\right|.}$

Historia

La métrica L ¹ fue utilizada en el análisis de regresión , como medida de bondad de ajuste , en 1757 por Roger Joseph Boscovich . ^[2] La interpretación de la misma como una distancia entre puntos en un espacio geométrico data de finales del siglo XIX y del desarrollo de geometrías no euclidianas . En particular, apareció en 1910 en las obras de Frigyes Riesz y Hermann Minkowski . La formalización de los espacios Lp , que incluyen la geometría del taxi como caso especial, se atribuye a Riesz. ^[3] Al desarrollar la geometría de los números , Hermann Minkowski estableció su desigualdad de Minkowski , afirmando que estos espacios definen espacios vectoriales normados . ^[4]

El nombre geometría del taxi fue introducido por Karl Menger en un folleto de 1952 Te gustará la geometría , que acompaña a una exposición de geometría destinada al público en general en el Museo de Ciencia e Industria de Chicago. ^[5]

Propiedades

Pensada como una estructura adicional en capas en el espacio euclidiano , la distancia del taxi depende de la orientación del sistema de coordenadas y cambia mediante la rotación euclidiana del espacio, pero no se ve afectada por la traslación o las reflexiones alineadas con el eje . La geometría del taxi satisface todos los axiomas de Hilbert (una formalización de la geometría euclidiana ), excepto que la congruencia de los ángulos no se puede definir para que coincida con precisión con el concepto euclidiano, y bajo definiciones plausibles de ángulos congruentes del taxi, el axioma lado-ángulo-lado no se satisface como en general, los triángulos con dos lados congruentes con el taxi y un ángulo congruente con el taxi entre ellos no son triángulos congruentes .

Esferas

Puntos de cuadrícula en un círculo en la geometría de un taxi a medida que la cuadrícula se hace más fina

En cualquier espacio métrico , una esfera es un conjunto de puntos a una distancia fija, el radio , desde un punto central específico . Mientras que una esfera euclidiana es redonda y rotacionalmente simétrica, bajo la distancia del taxi, la forma de una esfera es un politopo cruzado , la generalización n -dimensional de un octaedro regular , cuyos puntos satisfacen la ecuación: ${\displaystyle \mathbf {p} }$

${\displaystyle d_{\text{T}}(\mathbf {p} ,\mathbf {c} )=\sum _{i=1}^{n}|p_{i}-c_{i}|=r,}$

donde es el centro y r es el radio. Los puntos de la esfera unitaria , una esfera de radio 1 centrada en el origen , satisfacen la ecuación ${\displaystyle \mathbf {c} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\textstyle d_{\text{T}}(\mathbf {p} ,\mathbf {0} )=\sum _{i=1}^{n}|p_{i}|=1.}$

En la geometría bidimensional del taxi, la esfera (llamada círculo ) es un cuadrado orientado diagonalmente a los ejes de coordenadas. La imagen de la derecha muestra en rojo el conjunto de todos los puntos en una cuadrícula con una distancia fija desde el centro azul. A medida que la cuadrícula se hace más fina, los puntos rojos se vuelven más numerosos y en el límite tienden a formar un cuadrado inclinado continuo. Cada lado tiene una longitud de taxi de 2 r , por lo que la circunferencia es 8 r . Así, en la geometría del taxi, el valor del análogo de la constante circular π , la relación entre la circunferencia y el diámetro , es igual a 4.

Una bola cerrada (o un disco cerrado en el caso bidimensional) es una esfera llena, el conjunto de puntos a una distancia menor o igual al radio de un centro específico. Para autómatas celulares en una cuadrícula, el disco de un taxi es la vecindad de von Neumann del rango r de su centro.

Un círculo de radio r para la distancia de Chebyshev ( L _∞ métrica ) en un plano también es un cuadrado con una longitud de lado 2 r paralelo a los ejes de coordenadas, por lo que la distancia plana de Chebyshev puede verse como equivalente mediante rotación y escala a la distancia plana de taxi. Sin embargo, esta equivalencia entre las métricas L ₁ y L _∞ no se generaliza a dimensiones superiores.

Siempre que cada par de una colección de estos círculos tenga una intersección no vacía, existe un punto de intersección para toda la colección; por tanto, la distancia de Manhattan forma un espacio métrico inyectivo .

Longitud de arco

Sea una función continuamente diferenciable . Sea la longitud del arco del taxi de la gráfica de en algún intervalo . Tome una partición del intervalo en subintervalos infinitesimales iguales y sea la longitud del taxi del subarco. Entonces ^[6] ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle \Delta s_{i}}$ ${\displaystyle i^{\text{th}}}$

$${\displaystyle \Delta s_{i}=\Delta x_{i}+\Delta y_{i}=\Delta x_{i}+|f(x_{i})-f(x_{i-1})|.}$$

Según el teorema del valor medio , existe algún punto entre y tal que . ^[7] Entonces la ecuación anterior se puede escribir ${\displaystyle x_{i}^{*}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x_{i-1}}$ ${\displaystyle f(x_{i})-f(x_{i-1})=f'(x_{i}^{*})dx_{i}}$

$${\displaystyle \Delta s_{i}=\Delta x_{i}+|f'(x_{i}^{*})|\Delta x_{i}=\Delta x_{i}(1+|f'(x_{i}^{*})|).}$$

Luego se da como la suma de cada partición de on a medida que se vuelven arbitrariamente pequeñas . ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle [a,b]}$

Las curvas definidas por funciones monótonas crecientes o decrecientes tienen la misma longitud de arco de taxi siempre que compartan los mismos puntos finales.

${\displaystyle {\begin{aligned}s&=\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{i=1}^{n}\Delta x_{i}(1+|f'(x_{i}^{*})|)\\&=\int _{a}^{b}1+|f'(x)|\,dx\end{aligned}}}$

Para probar esto, tome el círculo del taxi de radio centrado en el origen. Su curva en el primer cuadrante está dada por cuya longitud es ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle f(x)=-x+r}$

$${\displaystyle s=\int _{0}^{r}1+|-1|dx=2r}$$

Multiplicar este valor por para tener en cuenta los cuadrantes restantes da , que concuerda con la circunferencia del círculo de un taxi. ^[8] Ahora tomemos el círculo euclidiano de radio centrado en el origen, que viene dado por . Su longitud de arco en el primer cuadrante está dada por ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle 8r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle f(x)={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}s&=\int _{0}^{r}1+|{\frac {-x}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}|dx\\&=x+{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}{\bigg |}_{0}^{r}\\&=r-(-r)\\&=2r\end{aligned}}}$$

La contabilidad de los cuadrantes restantes vuelve a dar. Por lo tanto, la circunferencia del círculo del taxi y la circunferencia euclidiana en la métrica del taxi son iguales. ^[9] De hecho, para cualquier función que sea monótona y diferenciable con una derivada continua en un intervalo , la longitud del arco de over es . ^[10] ${\displaystyle 4\times 2r=8r}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle (b-a)+\mid f(b)-f(a)\mid }$

Congruencia de triángulos

Dos triángulos isóceles rectángulos de taxi. Tres ángulos y dos catetos son congruentes, pero los triángulos no son congruentes. Por tanto, ASASA no es un teorema de congruencia en la geometría de los taxis.

Dos triángulos son congruentes si y sólo si tres lados correspondientes tienen la misma distancia y tres ángulos correspondientes tienen la misma medida. Hay varios teoremas que garantizan la congruencia de triángulos en la geometría euclidiana, a saber, Ángulo-Ángulo-Lado (AAS), Ángulo-Lado-Ángulo (ASA), Lado-Ángulo-Lado (SAS) y Lado-Lado-Lado (SSS). Sin embargo, en la geometría de los taxis, sólo SASAS garantiza la congruencia de triángulos. ^[11]

Tomemos, por ejemplo, dos triángulos rectángulos de taxi isósceles cuyos ángulos miden 45-90-45. Los dos catetos de ambos triángulos tienen una longitud de taxi de 2, pero las hipotenusas no son congruentes. Este contraejemplo elimina AAS, ASA y SAS. También elimina AASS, AAAS e incluso ASASA. Tener tres ángulos congruentes y dos lados no garantiza la congruencia de triángulos en la geometría de un taxi. Por lo tanto, el único teorema de congruencia de triángulos en geometría de taxis es SASAS, donde los tres lados correspondientes deben ser congruentes y al menos dos ángulos correspondientes deben ser congruentes. ^[12] Este resultado se debe principalmente al hecho de que la longitud de un segmento de línea depende de su orientación en la geometría del taxi.

Aplicaciones

Detección comprimida

Al resolver un sistema indeterminado de ecuaciones lineales, el término de regularización para el vector de parámetros se expresa en términos de la norma (geometría del taxi) del vector. ^[13] Este enfoque aparece en el marco de recuperación de señales llamado detección comprimida . ${\displaystyle \ell _{1}}$

Diferencias de distribuciones de frecuencia.

La geometría del taxi se puede utilizar para evaluar las diferencias en distribuciones de frecuencia discretas. Por ejemplo, en el empalme de ARN, las distribuciones posicionales de los hexámeros , que trazan la probabilidad de que cada hexámero aparezca en cada nucleótido dado cerca de un sitio de empalme, se pueden comparar con la distancia L1. Cada distribución de posición se puede representar como un vector donde cada entrada representa la probabilidad de que el hexámero comience en un determinado nucleótido. Una distancia L1 grande entre los dos vectores indica una diferencia significativa en la naturaleza de las distribuciones, mientras que una distancia pequeña denota distribuciones con formas similares. Esto equivale a medir el área entre las dos curvas de distribución porque el área de cada segmento es la diferencia absoluta entre las probabilidades de las dos curvas en ese punto. Cuando se suma para todos los segmentos, proporciona la misma medida que la distancia L1. ^[14]

Ver también

Comparación de las distancias de Chebyshev, Euclidiana y taxi para la hipotenusa de un triángulo 3-4-5 en un tablero de ajedrez

• distancia de Chebyshev
• Distancia de Hamming : el número de bits que difieren entre dos cadenas de dígitos binarios.
• distancia de sotavento
• Casco convexo ortogonal  : superconjunto mínimo que intersecta cada línea paralela al eje en un intervalo
• Paradoja de la escalera : la paradoja de que el límite de las longitudes de "curvas de escalera" cada vez más finas no tiende a la longitud del segmento de línea diagonal hacia el que tienden las curvas.

Referencias

1. Negro, Paul E. "Distancia de Manhattan". Diccionario de Algoritmos y Estructuras de Datos . Consultado el 6 de octubre de 2019 .
2. Stigler, Stephen M. (1986). La historia de la estadística: la medición de la incertidumbre antes de 1900 . Prensa de la Universidad de Harvard. ISBN 9780674403406. Consultado el 6 de octubre de 2019 .
3. Riesz, Frigyes (1910). "Untersuchungen über Systeme integrierbarer Funktionen". Mathematische Annalen (en alemán). 69 (4): 449–497. doi :10.1007/BF01457637. hdl : 10338.dmlcz/128558 . S2CID  120242933.
4. Minkowski, Hermann (1910). Geometrie der Zahlen (en alemán). Leipzig y Berlín: RG Teubner. JFM  41.0239.03. SEÑOR  0249269 . Consultado el 6 de octubre de 2019 .
5. Menger, Karl (1952). Te gustará la geometría. Una guía para la exposición de geometría del Instituto de Tecnología de Illinois . Chicago: Museo de Ciencia e Industria.
   Golland, Louise (1990). "Karl Menger y la geometría del taxi". Revista Matemáticas . 63 (5): 326–327. doi :10.1080/0025570x.1990.11977548.
6. Heinbockel, JH (2012). Introducción al Cálculo Volumen II . Universidad Old Dominion. págs. 54–55.
7. Penot, JP (1 de enero de 1988). "Sobre el teorema del valor medio". Optimización . 19 (2): 147-156. doi :10.1080/02331938808843330. ISSN  0233-1934.
8. Petrovic, Maja; Malešević, Branko; Banjac, Bojan; Obradovic, Ratko (2014). Geometría de algunas curvas de taxi . IV Congreso Científico Internacional de Geometría y Gráfica. Sociedad Serbia de Geometría y Gráficos, Universidad de Niš, Srbija. arXiv : 1405.7579 .
9. Kemp, Aubrey (2018). Generalización y transferencia de definiciones matemáticas de la geometría euclidiana a la del taxi (tesis doctoral). Universidad Estatal de Georgia. doi : 10.57709/12521263 .
10. Thompson, Kevin P. (2011). "La naturaleza de la longitud, el área y el volumen en la geometría del taxi". Revista Electrónica Internacional de Geometría . 4 (2): 193–207. arXiv : 1101.2922 .
11. Mironychev, Alejandro (2018). "Condiciones SAS y SSA para triángulos congruentes". Revista de Matemáticas y Ciencias de Sistemas . 8 (2): 59–66.
12. THOMPSON, KEVIN; DRAY, TEVIAN (2000). "Ángulos del taxi y trigonometría". Diario Pi Mu Epsilon . 11 (2): 87–96. ISSN  0031-952X. JSTOR  24340535.
13. Donoho, David L. (23 de marzo de 2006). "Para la mayoría de los grandes sistemas indeterminados de ecuaciones lineales, la solución de norma mínima es también la solución más escasa". Comunicaciones sobre Matemática Pura y Aplicada . 59 (6): 797–829. doi :10.1002/cpa.20132. S2CID  8510060. ${\displaystyle \ell _{1}}$
14. Lim, Kian Huat; Ferraris, Luciana; Filloux, Madeleine E.; Rafael, Benjamín J.; Fairbrother, William G. (5 de julio de 2011). "Uso de la distribución posicional para identificar elementos de empalme y predecir defectos de procesamiento previo al ARNm en genes humanos". Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América . 108 (27): 11093–11098. Código Bib : 2011PNAS..10811093H. doi : 10.1073/pnas.1101135108 . PMC 3131313 . PMID  21685335. 

Otras lecturas

• Gardner, Martín (1997). "10. Geometría del taxi". Las Últimas Recreaciones . Copérnico. págs. 159-176. ISBN 0-387-94929-1.
• Krause, Eugene F. (1975). Geometría del taxi . Addison-Wesley. ISBN 0201039346.Reimpreso por Dover (1986), ISBN 0-486-25202-7 . 

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Métrica de taxis". MundoMatemático .
• Malkevitch, Joe (1 de octubre de 2007). "¡Taxi!". Sociedad Matemática Estadounidense . Consultado el 6 de octubre de 2019 .