En geometría , dos figuras u objetos son congruentes si tienen la misma forma y tamaño , o si uno tiene la misma forma y tamaño que la imagen especular del otro. [1]
Más formalmente, dos conjuntos de puntos se llaman congruentes si, y sólo si, uno puede transformarse en el otro mediante una isometría , es decir, una combinación de movimientos rígidos , a saber, una traslación , una rotación y una reflexión . Esto significa que cualquiera de los objetos se puede reposicionar y reflejar (pero no cambiar de tamaño) para que coincida precisamente con el otro objeto. Por lo tanto, dos figuras planas distintas en una hoja de papel son congruentes si se pueden recortar y luego unir completamente. Está permitido darle la vuelta al papel.
En geometría elemental la palabra congruente se utiliza a menudo de la siguiente manera. [2] La palabra igual se utiliza a menudo en lugar de congruente para estos objetos.
En este sentido, dos figuras planas son congruentes implica que sus características correspondientes son "congruentes" o "iguales", incluyendo no sólo sus lados y ángulos correspondientes, sino también sus diagonales, perímetros y áreas correspondientes.
El concepto relacionado de similitud se aplica si los objetos tienen la misma forma pero no necesariamente el mismo tamaño. (La mayoría de las definiciones consideran que la congruencia es una forma de similitud, aunque una minoría requiere que los objetos tengan diferentes tamaños para calificar como similares).
Para que dos polígonos sean congruentes, deben tener el mismo número de lados (y, por tanto, un número igual (el mismo número) de vértices). Dos polígonos con n lados son congruentes si y solo si cada uno tiene secuencias numéricamente idénticas (incluso en el sentido de las agujas del reloj para un polígono y en sentido contrario a las agujas del reloj para el otro) ángulo lateral-ángulo lateral-... para n lados y n ángulos.
La congruencia de polígonos se puede establecer gráficamente de la siguiente manera:
Si en algún momento no se puede completar el paso, los polígonos no son congruentes.
Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes tienen la misma longitud y sus ángulos correspondientes tienen la misma medida.
Simbólicamente, escribimos la congruencia e incongruencia de dos triángulos △ ABC y △ A′B′C′ de la siguiente manera:
En muchos casos basta con establecer la igualdad de tres partes correspondientes y utilizar uno de los siguientes resultados para deducir la congruencia de los dos triángulos.
Se puede mostrar evidencia suficiente de la congruencia entre dos triángulos en el espacio euclidiano mediante las siguientes comparaciones:
El postulado ASA fue aportado por Tales de Mileto (griego). En la mayoría de los sistemas de axiomas, los tres criterios (SAS, SSS y ASA) se establecen como teoremas . En el sistema del Grupo de Estudio de Matemáticas Escolares, SAS se considera uno (n.º 15) de 22 postulados.
La condición SSA (lado-lado-ángulo) que especifica dos lados y un ángulo no incluido (también conocido como ASS, o ángulo-lado-lado) no demuestra por sí sola congruencia. Para mostrar congruencia se requiere información adicional como la medida de los ángulos correspondientes y en algunos casos las longitudes de los dos pares de lados correspondientes. Hay algunos casos posibles:
Si dos triángulos satisfacen la condición SSA y la longitud del lado opuesto al ángulo es mayor o igual a la longitud del lado adyacente (SSA, o lado largo-ángulo lateral corto), entonces los dos triángulos son congruentes. El lado opuesto a veces es más largo cuando los ángulos correspondientes son agudos, pero siempre es más largo cuando los ángulos correspondientes son rectos u obtusos. Cuando el ángulo es un ángulo recto, también conocido como postulado del cateto de hipotenusa (HL) o condición del lado de la hipotenusa (RHS), el tercer lado se puede calcular usando el teorema de Pitágoras , permitiendo así que el postulado SSS sea aplicado.
Si dos triángulos satisfacen la condición SSA y los ángulos correspondientes son agudos y la longitud del lado opuesto al ángulo es igual a la longitud del lado adyacente multiplicada por el seno del ángulo, entonces los dos triángulos son congruentes.
Si dos triángulos satisfacen la condición SSA y los ángulos correspondientes son agudos y la longitud del lado opuesto al ángulo es mayor que la longitud del lado adyacente multiplicada por el seno del ángulo (pero menor que la longitud del lado adyacente), entonces no se puede demostrar que los dos triángulos sean congruentes. Este es el caso ambiguo y se pueden formar dos triángulos diferentes a partir de la información dada, pero más información que los distinga puede conducir a una prueba de congruencia.
En la geometría euclidiana, AAA (ángulo-ángulo-ángulo) (o simplemente AA, ya que en la geometría euclidiana los ángulos de un triángulo suman 180°) no proporciona información sobre el tamaño de los dos triángulos y por lo tanto prueba sólo similitud y no congruencia en el espacio euclidiano.
Sin embargo, en geometría esférica y geometría hiperbólica (donde la suma de los ángulos de un triángulo varía con el tamaño) AAA es suficiente para lograr congruencia en una curvatura de superficie determinada. [4]
Este acrónimo significa Las partes correspondientes de triángulos congruentes son congruentes , que es una versión abreviada de la definición de triángulos congruentes. [5] [6]
Con más detalle, es una forma sucinta de decir que si los triángulos ABC y DEF son congruentes, es decir,
con pares de ángulos correspondientes en los vértices A y D ; B y E ; y C y F , y con sus correspondientes pares de lados AB y DE ; BC y EF ; y CA y FD , entonces las siguientes afirmaciones son verdaderas:
La afirmación se utiliza a menudo como justificación en pruebas de geometría elemental cuando se necesita una conclusión de la congruencia de las partes de dos triángulos después de que se ha establecido la congruencia de los triángulos. Por ejemplo, si se ha demostrado que dos triángulos son congruentes según los criterios SSS y se necesita una afirmación de que los ángulos correspondientes son congruentes en una prueba, entonces se puede utilizar CPCTC como justificación de esta afirmación.
Un teorema relacionado es CPCFC , en el que "triángulos" se reemplazan por "figuras" de modo que el teorema se aplica a cualquier par de polígonos o poliedros que sean congruentes.
En un sistema euclidiano , la congruencia es fundamental; es la contraparte de la igualdad de los números. En geometría analítica , la congruencia puede definirse intuitivamente así: dos mapeos de figuras en un sistema de coordenadas cartesiano son congruentes si y sólo si, para dos puntos cualesquiera en el primer mapeo, la distancia euclidiana entre ellos es igual a la distancia euclidiana entre los correspondientes. puntos en el segundo mapeo.
Una definición más formal establece que dos subconjuntos A y B del espacio euclidiano R n se llaman congruentes si existe una isometría f : R n → R n (un elemento del grupo euclidiano E ( n )) con f ( A ) = B . La congruencia es una relación de equivalencia .
Dos secciones cónicas son congruentes si sus excentricidades y otro parámetro distinto que las caracteriza son iguales. Sus excentricidades establecen sus formas, cuya igualdad es suficiente para establecer la similitud, y el segundo parámetro establece el tamaño. Dado que dos círculos , parábolas o hipérbolas rectangulares siempre tienen la misma excentricidad (específicamente 0 en el caso de los círculos, 1 en el caso de las parábolas y en el caso de las hipérbolas rectangulares), dos círculos, parábolas o hipérbolas rectangulares deben tener sólo otro valor de parámetro común, que establece su tamaño, para que sean congruentes.
Para dos poliedros con el mismo tipo combinatorio (es decir, el mismo número E de aristas, el mismo número de caras y el mismo número de lados en las caras correspondientes), existe un conjunto de medidas E que pueden establecer si la los poliedros son congruentes. [7] [8] El número es ajustado, lo que significa que menos de E medidas no son suficientes si los poliedros son genéricos entre su tipo combinatorio. Pero menos medidas pueden funcionar para casos especiales. Por ejemplo, los cubos tienen 12 aristas, pero 9 medidas son suficientes para decidir si un poliedro de ese tipo combinatorio es congruente con un dado cubo regular.
Al igual que ocurre con los triángulos planos, en una esfera dos triángulos que comparten la misma secuencia de ángulo-ángulo lateral (ASA) son necesariamente congruentes (es decir, tienen tres lados idénticos y tres ángulos idénticos). [9] Esto se puede ver de la siguiente manera: Uno puede situar uno de los vértices con un ángulo dado en el polo sur y recorrer el lado con una longitud dada hasta el meridiano principal. Conocer ambos ángulos en cada extremo del segmento de longitud fija garantiza que los otros dos lados emanan con una trayectoria determinada de manera única y, por lo tanto, se encontrarán en un punto determinado de manera única; por tanto, ASA es válido.
Los teoremas de congruencia lado-ángulo-lado (SAS) y lado-lado-lado (SSS) también se aplican a una esfera; Además, si dos triángulos esféricos tienen una secuencia ángulo-ángulo-ángulo (AAA) idéntica, son congruentes (a diferencia de los triángulos planos). [9]
El teorema de congruencia plano-triángulo ángulo-ángulo-lado (AAS) no se cumple para triángulos esféricos. [10] Como en la geometría plana, el ángulo lateral (SSA) no implica congruencia.
Un símbolo comúnmente utilizado para la congruencia es un símbolo igual con una tilde encima, ≅ , correspondiente al carácter Unicode "aproximadamente igual a" (U+2245). En el Reino Unido, a veces se utiliza el signo igual de tres barras ≡ (U+2261).
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