Característica (álgebra)

Entero más pequeño n para el cual n ⋅1 es igual a 0 en un anillo

En matemáticas , la característica de un anillo R , a menudo denotado char( R ) , se define como el número positivo más pequeño de copias de la identidad multiplicativa del anillo ( 1 ) que sumará la identidad aditiva ( 0 ). Si no existe tal número, se dice que el anillo tiene característica cero.

Es decir, char( R ) es el número positivo más pequeño n tal que: ^{[1] (p 198, Thm. 23.14)}

${\displaystyle \underbrace {1+\cdots +1} _{n{\text{ summands}}}=0}$

si tal número n existe, y 0 en caso contrario.

Motivación

La definición especial de la característica cero está motivada por las definiciones equivalentes caracterizadas en la siguiente sección, donde no es necesario considerar la característica cero por separado.

La característica también se puede tomar como el exponente del grupo aditivo del anillo , es decir, el entero positivo más pequeño n tal que: ^{[1] (p. 198, Def. 23.12)}

${\displaystyle \underbrace {a+\cdots +a} _{n{\text{ summands}}}=0}$

para cada elemento a del anillo (nuevamente, si n existe; en caso contrario, cero). Esta definición se aplica en la clase más general de a rngs (ver Anillo (matemáticas) § Identidad multiplicativa y el término "anillo" ); para anillos (unitales) las dos definiciones son equivalentes debido a su ley distributiva .

Caracterizaciones equivalentes

• La característica es el número natural n tal que n ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ es el núcleo del homomorfismo de anillo único de a R . ^[a] ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• La característica es el número natural n tal que R contiene un subanillo isomorfo al factor ring , que es la imagen del homomorfismo anterior. ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$
• Cuando los enteros no negativos {0, 1, 2, 3,...} están parcialmente ordenados por divisibilidad, entonces 1 es el más pequeño y 0 es el más grande. Entonces la característica de un anillo es el valor más pequeño de n para el cual n ⋅ 1 = 0 . Si nada "menor" (en este orden) que 0 es suficiente, entonces la característica es  0 . Este es el ordenamiento parcial apropiado debido a hechos tales como que char( A × B ) es el mínimo común múltiplo de char A y char B , y que no existe ningún homomorfismo de anillo f  : A → B a menos que char B divida a char A .
• La característica de un anillo R es n precisamente si el enunciado ka = 0 para todo a ∈ R implica que k es múltiplo de n .

caso de anillos

Si R y S son anillos y existe un homomorfismo de anillo R → S , entonces la característica de S divide la característica de R. A veces, esto se puede utilizar para excluir la posibilidad de ciertos homomorfismos de anillo. El único anillo con característica 1 es el anillo cero , que tiene un solo elemento 0 = 1 . Si un anillo no trivial R no tiene divisores cero no triviales , entonces su característica es 0 o prima . En particular, esto se aplica a todos los campos , a todos los dominios integrales y a todos los anillos de división . Cualquier anillo de característica 0 es infinito.

El anillo de números enteros módulo n tiene la característica n . Si R es un subanillo de S , entonces R y S tienen la misma característica. Por ejemplo, si p es primo y q ( X ) es un polinomio irreducible con coeficientes en el campo con p elementos, entonces el anillo cociente es un campo de característica p . Otro ejemplo: el campo de números complejos contiene , por lo que la característica de es 0 . ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}[X]/(q(X))}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

A -álgebra es equivalentemente un anillo cuya característica divide n . Esto se debe a que para cada anillo R hay un homomorfismo de anillo , y este mapa factoriza si y sólo si la característica de R divide a n . En este caso, para cualquier r en el anillo, sumar r a sí mismo n veces da nr = 0 . ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \to R}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$

Si un anillo conmutativo R tiene una característica prima p , entonces tenemos ( x + y ) ^p = x ^p + y ^p para todos los elementos x e y en R ; el normalmente incorrecto " sueño del primer año " se aplica a la potencia p . El mapa x ↦ x ^p define entonces un homomorfismo de anillo R → R , que se llama homomorfismo de Frobenius . Si R es un dominio integral es inyectivo .

Caso de campos

Como se mencionó anteriormente, la característica de cualquier campo es 0 o un número primo. Un campo de característica distinta de cero se llama campo de característica finita o característica positiva o característica prima . El exponente característico se define de manera similar, excepto que es igual a 1 cuando la característica es 0 ; en caso contrario tiene el mismo valor que la característica. ^[2]

Cualquier campo F tiene un subcampo mínimo único , también llamado sucampo primo . Este subcampo es isomorfo alcampode números racionaleso a un campo finitode orden primo. Dos campos primos de la misma característica son isomorfos y este isomorfismo es único. En otras palabras, existe esencialmente un campo primo único en cada característica. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$

Campos de característica cero.

Los campos más comunes de la característica cero son los subcampos de los números complejos . Los campos p-ádicos son campos cero característicos que se utilizan ampliamente en teoría de números. Tienen valores absolutos muy diferentes a los de los números complejos.

Para cualquier campo ordenado , como el campo de números racionales o el campo de números reales , la característica es 0 . Por tanto, todo cuerpo de números algebraicos y el cuerpo de números complejos tienen característica cero. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Campos de característica principal

El campo finito GF( p ⁿ ) tiene la característica p .

Existen infinitos campos de características principales. Por ejemplo, el campo de todas las funciones racionales sobre , la clausura algebraica de o el campo de la serie formal de Laurent . ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} ((T))}$

El tamaño de cualquier anillo finito de característica prima p es una potencia de p . Dado que en ese caso contiene también un espacio vectorial sobre ese campo, y por el álgebra lineal sabemos que los tamaños de los espacios vectoriales finitos sobre campos finitos son una potencia del tamaño del campo. Esto también muestra que el tamaño de cualquier espacio vectorial finito es una potencia prima. ^[b] ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$

Notas

1. Los requisitos de los homomorfismos de anillo son tales que sólo puede haber un (de hecho, exactamente uno) homomorfismo desde el anillo de números enteros hasta cualquier anillo; en el lenguaje de la teoría de categorías , es un objeto inicial de la categoría de anillos . Nuevamente, esto se aplica cuando un anillo tiene un elemento de identidad multiplicativo (que se conserva mediante homomorfismos de anillo). ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
2. Es un espacio vectorial sobre un campo finito, que hemos demostrado que es de tamaño p ⁿ , por lo que su tamaño es ( p ⁿ ) ^m = p ^nm .

Referencias

1. Fraleigh, John B.; Marca, Neal E. (2020). Un primer curso de álgebra abstracta (8ª ed.). Educación Pearson .
2. Bourbaki, Nicolás (2003). "5. Exponente característico de un campo. Campos perfectos". Álgebra II, capítulos 4 a 7 . Saltador. pag. AV7. doi :10.1007/978-3-642-61698-3.

Fuentes

• McCoy, Neal H. (1973) [1964]. La teoría de los anillos . Publicaciones de Chelsea . pag. 4.ISBN _ 978-0-8284-0266-8.