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Un ábaco ( pl.: abaci o ábacos ) , también llamado marco de conteo , es una herramienta de cálculo manual que se utilizó desde la antigüedad en el antiguo Cercano Oriente , Europa , China y Rusia , hasta la adopción del sistema hindú. Sistema de numeración arábigo . [1] Un ábaco consiste en una matriz bidimensional de cuentas deslizables (u objetos similares). En sus primeros diseños, las cuentas podían estar sueltas sobre una superficie plana o deslizarse en ranuras. Más tarde, las cuentas se hicieron deslizar sobre varillas y se incorporaron a un marco, lo que permitió una manipulación más rápida.
Cada barra normalmente representa un dígito de un número de varios dígitos dispuesto utilizando un sistema de numeración posicional como la base diez (aunque algunas culturas usaban bases numéricas diferentes ). Los ábacos romanos y de Asia oriental utilizan un sistema que se asemeja al decimal codificado biquinario , con una plataforma superior (que contiene una o dos cuentas) que representa cinco y una plataforma inferior (que contiene cuatro o cinco cuentas) que representa unos. Normalmente se utilizan números naturales , pero algunos permiten componentes fraccionarios simples (por ejemplo, 1 ⁄ 2 , 1 ⁄ 4 y 1 ⁄ 12 en el ábaco romano ), y se puede imaginar un punto decimal para la aritmética de punto fijo .
Cualquier diseño de ábaco en particular admite múltiples métodos para realizar cálculos, incluidas suma , resta , multiplicación , división y raíces cuadradas y cúbicas . Las cuentas primero se organizan para representar un número, luego se manipulan para realizar una operación matemática con otro número, y su posición final puede leerse como resultado (o puede usarse como número inicial para operaciones posteriores).
En el mundo antiguo, los ábacos eran una práctica herramienta de cálculo. Aunque hoy en día se utilizan comúnmente calculadoras y computadoras en lugar de ábacos, los ábacos siguen utilizándose a diario en algunos países. El ábaco tiene la ventaja de no requerir un instrumento de escritura ni papel (necesario para el algoritmo ) ni una fuente de energía eléctrica . Los comerciantes, comerciantes y empleados de algunas partes de Europa del Este , Rusia , China y África utilizan ábacos. El ábaco sigue siendo de uso común como sistema de puntuación en juegos de mesa no electrónicos . Otros pueden utilizar un ábaco debido a una discapacidad visual que les impide utilizar una calculadora. [1] El ábaco todavía se utiliza para enseñar los fundamentos de las matemáticas a los niños en la mayoría de los países. [ cita necesaria ]
La palabra ábaco data al menos del año 1387 d. C., cuando una obra en inglés medio tomó prestada la palabra del latín que describía un ábaco de sandboard. La palabra latina se deriva del griego antiguo ἄβαξ ( abax ) que significa algo sin base y, coloquialmente, cualquier pieza de material rectangular. [2] [3] [4] Alternativamente, sin hacer referencia a textos antiguos sobre etimología, se ha sugerido que significa "una tablilla cuadrada cubierta de polvo", [5] o "tablero de dibujo cubierto de polvo (para el uso de las matemáticas)" [6] (la forma exacta del latín quizás refleja la forma genitiva de la palabra griega, ἄβακoς ( abakos )). Si bien la definición de la tabla cubierta de polvo es popular, algunos argumentan que la evidencia es insuficiente para llegar a esa conclusión. [7] [nb 1] El griego ἄβαξ probablemente tomado de una lengua semítica del noroeste como el fenicio , evidenciado por un cognado con la palabra hebrea ʾābāq ( אבק ), o "polvo" (en el sentido posbíblico "arena usada como escritura superficie"). [8]
Tanto los ábacos [9] como los abaci [9] se utilizan como plurales. El usuario de un ábaco se llama abacista . [10]
El ábaco sumerio apareció entre el 2700 y el 2300 a.C. Contenía una tabla de columnas sucesivas que delimitaban los sucesivos órdenes de magnitud de su sistema numérico sexagesimal (base 60). [11]
Algunos estudiosos señalan un carácter cuneiforme babilónico que puede haberse derivado de una representación del ábaco. [12] Los eruditos de la antigua Babilonia [13] , como Ettore Carruccio, creen que los antiguos babilonios "parecen haber utilizado el ábaco para las operaciones de suma y resta; sin embargo, este dispositivo primitivo resultó difícil de utilizar para operaciones más complejas". cálculos". [14]
El historiador griego Heródoto mencionó el ábaco en el Antiguo Egipto . Escribió que los egipcios manipulaban los guijarros de derecha a izquierda, en dirección opuesta al método griego de izquierda a derecha. Los arqueólogos han encontrado discos antiguos de varios tamaños que se cree que se utilizaron como contadores. Sin embargo, aún no se han descubierto representaciones murales de este instrumento. [15]
Alrededor del año 600 a. C., los persas comenzaron a utilizar el ábaco por primera vez, durante el Imperio aqueménida . [16] Bajo los imperios parto , sasánida e iraní , los eruditos se concentraron en intercambiar conocimientos e invenciones con los países que los rodeaban ( India , China y el Imperio Romano ), que es como el ábaco pudo haberse exportado a otros países.
La evidencia arqueológica más antigua del uso del ábaco griego data del siglo V a.C. [17] Demóstenes (384 a. C.-322 a. C.) se quejó de que la necesidad de utilizar guijarros para los cálculos era demasiado difícil. [18] [19] Una obra de Alexis del siglo IV a. C. menciona un ábaco y guijarros para la contabilidad, y tanto Diógenes como Polibio usan el ábaco como metáfora del comportamiento humano, afirmando "que los hombres que a veces representaban más y otras menos" como las piedras de un ábaco. [19] El ábaco griego era una mesa de madera o mármol, preestablecida con pequeños contadores de madera o metal para cálculos matemáticos. [ cita necesaria ] Este ábaco griego se utilizó en la Persia aqueménida, la civilización etrusca , la antigua Roma y el mundo cristiano occidental hasta la Revolución Francesa .
Una tablilla encontrada en la isla griega de Salamina en 1846 d. C. (la tablilla de Salamina ) data del año 300 a. C., lo que la convierte en el tablero de conteo más antiguo descubierto hasta ahora. Es una losa de mármol blanco de 149 cm (59 pulgadas) de largo, 75 cm (30 pulgadas) de ancho y 4,5 cm (2 pulgadas) de espesor, sobre la cual se encuentran 5 grupos de marcas. En el centro de la tableta hay un conjunto de 5 líneas paralelas divididas igualmente por una línea vertical, rematadas con un semicírculo en la intersección de la línea horizontal más inferior y la única línea vertical. Debajo de estas líneas hay un amplio espacio con una grieta horizontal que lo divide. Debajo de esta grieta hay otro grupo de once líneas paralelas, nuevamente divididas en dos secciones por una línea perpendicular a ellas, pero con el semicírculo en la parte superior de la intersección; la tercera, sexta y novena de estas líneas están marcadas con una cruz donde se cruzan con la línea vertical. [20] También de esta época, el jarrón Darius fue desenterrado en 1851. Estaba cubierto de imágenes, incluido un "tesorero" que sostenía una tableta de cera en una mano mientras manipulaba contadores sobre una mesa con la otra. [18]
El método normal de cálculo en la antigua Roma, como en Grecia, era mover fichas sobre una mesa lisa. Originalmente se utilizaban guijarros (del latín: cálculos ). Las líneas marcadas indicaban unidades, cinco, decenas, etc. como en el sistema de números romanos .
Horacio, en sus escritos del siglo I a. C., se refiere al ábaco de cera, un tablero cubierto con una fina capa de cera negra en el que se inscribían columnas y figuras con un lápiz. [21]
Un ejemplo de evidencia arqueológica del ábaco romano , que se muestra cerca en una reconstrucción, data del siglo I d.C. Tiene ocho ranuras largas que contienen hasta cinco cuentas en cada una y ocho ranuras más cortas que tienen una o ninguna cuenta en cada una. El surco marcado con I indica unidades, X decenas, y así hasta millones. Las cuentas en las ranuras más cortas denotan cinco (cinco unidades, cinco decenas, etc.) que se asemejan a un sistema decimal codificado biquinario relacionado con los números romanos . Las ranuras cortas de la derecha pueden haber sido utilizadas para marcar "onzas" romanas (es decir, fracciones).
El sistema romano de "contramolde" se utilizó ampliamente en la Europa medieval y persistió en uso limitado hasta el siglo XIX. [22] Los abacistas adinerados utilizaban mostradores decorativos acuñados, llamados jetons .
Debido a la reintroducción del ábaco por parte del Papa Silvestre II con modificaciones, volvió a ser ampliamente utilizado en Europa durante el siglo XI [23] [24] Utilizaba cuentas en alambres, a diferencia de los tradicionales tableros de conteo romanos, lo que significaba que el ábaco podía ser Se usaba mucho más rápido y se movía más fácilmente. [25]
La documentación escrita más antigua conocida sobre el ábaco chino data del siglo II a.C. [26]
El ábaco chino, también conocido como suanpan (算盤/算盘, literalmente "bandeja de cálculo"), viene en varias longitudes y anchos, según el operador. Suele tener más de siete bastones. Hay dos cuentas en cada varilla en la plataforma superior y cinco cuentas cada una en la inferior, para representar números en un sistema decimal codificado biquinario . Las cuentas suelen ser redondeadas y hechas de madera dura . Las cuentas se cuentan moviéndolas hacia arriba o hacia abajo hacia la viga; Las cuentas que se mueven hacia el rayo se cuentan, mientras que las que se alejan de él no se cuentan. [27] Una de las cuentas superiores es 5, mientras que una de las cuentas inferiores es 1. Cada barra tiene un número debajo, que muestra el valor posicional. El suanpan se puede restablecer instantáneamente a la posición inicial mediante un movimiento rápido a lo largo del eje horizontal para hacer girar todas las cuentas lejos del rayo horizontal en el centro.
El prototipo del ábaco chino apareció durante la dinastía Han , y las cuentas son ovaladas. La dinastía Song y antes utilizó el tipo 1:4 o ábaco de cuatro cuentas similar al ábaco moderno, incluida la forma de las cuentas comúnmente conocida como ábaco de estilo japonés. [ cita necesaria ]
A principios de la dinastía Ming , el ábaco comenzó a aparecer en una proporción de 1:5. La cubierta superior tenía una cuenta y la inferior tenía cinco cuentas. [28] A finales de la dinastía Ming, los estilos de ábaco aparecieron en una proporción de 2:5. [28] La cubierta superior tenía dos cuentas y la inferior cinco.
Se idearon varias técnicas de cálculo para Suanpan que permitieron realizar cálculos eficientes. Algunas escuelas enseñan a los estudiantes cómo usarlo.
En el largo pergamino A lo largo del río durante el festival Qingming pintado por Zhang Zeduan durante la dinastía Song (960-1297), se ve claramente un suanpan junto a un libro de cuentas y recetas médicas en el mostrador de una botica (Feibao).
La similitud del ábaco romano con el chino sugiere que uno podría haber inspirado al otro, dada la evidencia de una relación comercial entre el Imperio Romano y China. Sin embargo, no se ha demostrado una conexión directa, y la similitud de los ábacos puede ser una coincidencia, ya que ambos surgen en última instancia de contar con cinco dedos por mano. Mientras que el modelo romano (como la mayoría de los coreanos y japoneses modernos) tiene 4 más 1 cuenta por lugar decimal, el suanpan estándar tiene 5 más 2. Por cierto, esto permite el uso con un sistema de numeración hexadecimal (o cualquier base hasta 18) que puede tener Se ha utilizado para las medidas de peso tradicionales chinas. (En lugar de funcionar con cables como en los modelos chino, coreano y japonés, el modelo romano utilizaba ranuras, lo que presumiblemente hacía los cálculos aritméticos mucho más lentos).
Otra posible fuente del suanpan son las varillas de contar chinas , que funcionaban con un sistema decimal pero carecían del concepto de cero como marcador de posición. El cero probablemente fue introducido a los chinos en la dinastía Tang (618-907), cuando los viajes por el Océano Índico y el Medio Oriente les habrían proporcionado contacto directo con la India , permitiéndoles adquirir el concepto de cero y el punto decimal de los comerciantes indios. y matemáticos.
El Abhidharmakośabhāṣya de Vasubandhu (316-396), una obra sánscrita sobre filosofía budista , dice que el filósofo Vasumitra del siglo II d.C. dijo que "colocar una mecha (sánscrito vartikā ) en el número uno ( ekāṅka ) significa que es un uno mientras se coloca la mecha sobre el número cien significa que se llama cien, y sobre el número mil significa que es mil". No está claro exactamente cuál pudo haber sido este acuerdo. Alrededor del siglo V, los empleados indios ya estaban encontrando nuevas formas de registrar el contenido del ábaco. [29] Los textos hindúes usaban el término śūnya (cero) para indicar la columna vacía en el ábaco. [30]
En Japón, el ábaco se llama soroban (算盤, そろばん, literalmente "bandeja para contar"). Fue importado de China en el siglo XIV. [31] Probablemente fue utilizado por la clase trabajadora un siglo o más antes de que la clase dominante lo adoptara, ya que la estructura de clases obstruía tales cambios. [32] El ábaco 1:4, que elimina la segunda y quinta cuenta, rara vez utilizadas, se hizo popular en la década de 1940.
El ábaco japonés actual es un ábaco de cuatro cuentas de tipo 1:4, introducido desde China en la era Muromachi . Adopta la forma de una cuenta de la cubierta superior y de las cuatro cuentas inferiores. La cuenta superior en el piso superior era igual a cinco y la inferior es similar al ábaco chino o coreano, y el número decimal se puede expresar, por lo que el ábaco está diseñado como un dispositivo de uno:cuatro. Las cuentas siempre tienen forma de diamante. Generalmente se utiliza la división por cociente en lugar del método de división; al mismo tiempo, para hacer que los dígitos de multiplicación y división sean consistentes, use la multiplicación por división. Más tarde, Japón tuvo un ábaco 3:5 llamado 天三算盤, que ahora se encuentra en la colección Ize Rongji de Shansi Village en la ciudad de Yamagata . Japón también utilizó un ábaco de tipo 2:5.
El ábaco de cuatro cuentas se extendió y se volvió común en todo el mundo. Las mejoras al ábaco japonés surgieron en varios lugares. En China se utilizó un ábaco de cuentas de plástico con marco de aluminio. La lima está al lado de las cuatro cuentas, y al presionar el botón "borrar" se coloca la cuenta superior en la posición superior y la cuenta inferior en la posición inferior.
El ábaco todavía se fabrica en Japón incluso con la proliferación, practicidad y asequibilidad de las calculadoras electrónicas de bolsillo . El uso del soroban todavía se enseña en las escuelas primarias japonesas como parte de las matemáticas , principalmente como ayuda para un cálculo mental más rápido. El uso de imágenes visuales puede completar un cálculo tan rápido como un instrumento físico. [33]
El ábaco chino emigró de China a Corea alrededor del año 1400 d.C. [18] [34] [35] Los coreanos lo llaman jupan (주판), supan (수판) o jusan (주산). [36] El ábaco de cuatro cuentas (1:4) se introdujo durante la dinastía Goryeo . El ábaco 5:1 fue introducido en Corea desde China durante la dinastía Ming.
Algunas fuentes mencionan el uso de un ábaco llamado nepohualtzintzin en la antigua cultura azteca . [37] Este ábaco mesoamericano utilizaba un sistema de base 20 de 5 dígitos. [38] La palabra Nepōhualtzintzin Pronunciación náhuatl: [nepoːwaɬˈt͡sint͡sin] proviene del náhuatl , formada por las raíces; Ne – personal -; pōhual o pōhualli Pronunciación náhuatl: [ˈpoːwalːi] – la cuenta -; y tzintzin Pronunciación náhuatl: [ˈt͡sint͡sin] – pequeños elementos similares. Su significado completo se tomó como: contar con pequeños elementos similares. Su uso fue enseñado en el Calmecac a los temalpouhqueh pronunciación náhuatl: [temaɬˈpoʍkeʔ] , quienes eran estudiantes dedicados a tomar las cuentas de los cielos, desde pequeños.
El Nepōhualtzintzin estaba dividido en dos partes principales separadas por una barra o cordón intermedio. En la parte izquierda había cuatro cuentas. Las cuentas de la primera fila tienen valores unitarios (1, 2, 3 y 4), y en el lado derecho, tres cuentas tenían valores de 5, 10 y 15, respectivamente. Para saber el valor de las respectivas cuentas de las filas superiores, basta con multiplicar por 20 (por cada fila), el valor de la cuenta correspondiente en la primera fila.
El dispositivo presentaba 13 filas con 7 cuentas, 91 en total. Este era un número básico para esta cultura. Tenía una estrecha relación con los fenómenos naturales, el inframundo y los ciclos de los cielos. Un Nepōhualtzintzin (91) representaba el número de días que dura una estación del año, dos Nepōhualtzitzin (182) es el número de días del ciclo del maíz, desde su siembra hasta su cosecha, tres Nepōhualtzintzin (273) es el número de días de la gestación de un bebé, y cuatro Nepōhualtzintzin (364) completaron un ciclo y se aproximaron a un año. Cuando se tradujo a la aritmética informática moderna, el Nepōhualtzintzin ascendía al rango de 10 a 18 en coma flotante , que calculaba con precisión cantidades grandes y pequeñas, aunque no se permitía el redondeo.
El redescubrimiento del Nepōhualtzintzin se debió al ingeniero mexicano David Esparza Hidalgo, [39] quien en sus viajes por México encontró diversos grabados y pinturas de este instrumento y reconstruyó varios de ellos en oro, jade, incrustaciones de concha, etc. [40 A la cultura olmeca se atribuyen Nepōhualtzintzin muy antiguos , y algunas pulseras de origen maya , así como diversidad de formas y materiales en otras culturas.
Sánchez escribió en Aritmética en Maya que se había encontrado otro ábaco de base 5 y base 4 en la Península de Yucatán que también calculaba datos del calendario. Este era un ábaco de dedos, por un lado se usaban 0, 1, 2, 3 y 4; y por otro lado se utilizaron 0, 1, 2 y 3. Tenga en cuenta el uso de cero al principio y al final de los dos ciclos.
El quipu de los incas era un sistema de cuerdas anudadas de colores que se utilizaban para registrar datos numéricos, [41] como barras de conteo avanzadas , pero no se utilizaban para realizar cálculos. Los cálculos se realizaron utilizando una yupana ( quechua para "herramienta de contar"; ver figura) que todavía estaba en uso después de la conquista del Perú. Se desconoce el principio de funcionamiento de una yupana, pero en 2001 el matemático italiano De Pasquale propuso una explicación. Al comparar la forma de varios yupanas, los investigadores encontraron que los cálculos se basaban en la secuencia de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5 y potencias de 10, 20 y 40 como valores posicionales para los diferentes campos del instrumento. El uso de la secuencia de Fibonacci mantendría al mínimo el número de granos dentro de cualquier campo. [42]
El ábaco ruso, el schoty ( ruso : счёты , plural del ruso : счёт , contando), suele tener una sola plataforma inclinada, con diez cuentas en cada alambre (excepto un alambre con cuatro cuentas para fracciones de un cuarto de rublo ). Se introdujo el alambre de cuatro cuentas para los cuartos de kopek , que se acuñaron hasta 1916. [43] El ábaco ruso se usa verticalmente, y cada alambre corre horizontalmente. Los alambres generalmente están doblados hacia arriba en el centro, para mantener las cuentas sujetas con alfileres a ambos lados. Se borra cuando todas las cuentas se mueven hacia la derecha. Durante la manipulación, las cuentas se mueven hacia la izquierda. Para una fácil visualización, las dos cuentas del medio de cada cable (la quinta y la sexta) suelen ser de un color diferente al de las otras ocho. Asimismo, la cuenta izquierda del cable de miles (y del cable de millones, si está presente) puede tener un color diferente.
El ábaco ruso se utilizaba en tiendas y mercados de toda la antigua Unión Soviética , y su uso se enseñó en la mayoría de las escuelas hasta la década de 1990. [44] [45] Incluso la invención en 1874 de la calculadora mecánica , el aritmómetro de Odhner , no los había reemplazado en Rusia . Según Yakov Perelman , se sabía que algunos empresarios que intentaban importar calculadoras al Imperio Ruso se marchaban desesperados después de observar a un hábil operador de ábaco. [46] Asimismo, la producción en masa de aritmómetros Felix desde 1924 no redujo significativamente el uso del ábaco en la Unión Soviética . [47] El ábaco ruso comenzó a perder popularidad sólo después de la producción en masa de microcalculadoras nacionales en 1974. [ cita necesaria ]
El ábaco ruso fue traído a Francia hacia 1820 por el matemático Jean-Victor Poncelet , que había servido en el ejército de Napoleón y había sido prisionero de guerra en Rusia. [48] El ábaco había dejado de utilizarse en Europa occidental en el siglo XVI con el auge de la notación decimal y los métodos algorísmicos . [ cita necesaria ] Para los contemporáneos franceses de Poncelet, era algo nuevo. Poncelet lo utilizó, no para ningún propósito aplicado, sino como ayuda para la enseñanza y la demostración. [49] Los turcos y los armenios utilizaban ábacos similares al schoty ruso. Los turcos lo llamaron coulba y los armenios choreb . [50]
En todo el mundo, los ábacos se han utilizado en las escuelas preescolares y primarias como ayuda para enseñar el sistema numérico y la aritmética .
En los países occidentales es común un marco de cuentas similar al ábaco ruso pero con alambres rectos y un marco vertical (ver imagen).
La estructura alámbrica se puede usar con notación posicional como otros ábacos (por lo tanto, la versión de 10 alambres puede representar números hasta 9,999,999,999), o cada cuenta puede representar una unidad (por ejemplo, 74 se puede representar desplazando todas las cuentas en 7 alambres y 4 cuentas en el octavo cable, por lo que se pueden representar números hasta 100). En el marco de cuentas que se muestra, el espacio entre el quinto y el sexto cable, correspondiente al cambio de color entre la quinta y la sexta cuenta en cada cable, sugiere este último uso. La enseñanza de la multiplicación, por ejemplo 6 por 7, se puede representar desplazando 7 cuentas en 6 alambres.
El ábaco rojo y blanco se utiliza en las escuelas primarias contemporáneas para una amplia gama de lecciones relacionadas con los números. La versión de veinte cuentas, conocida por su nombre holandés rekenrek ("marco de cálculo"), se utiliza a menudo, ya sea en un collar de cuentas o en un marco rígido. [51]
El físico Richard Feynman se destacó por su facilidad en los cálculos matemáticos. Escribió sobre un encuentro en Brasil con un experto en ábaco japonés, quien lo desafió a realizar competencias de velocidad entre el lápiz y el papel de Feynman y el ábaco. El ábaco era mucho más rápido para la suma, algo más rápido para la multiplicación, pero Feynman era más rápido para la división. Cuando se utilizó el ábaco para un desafío realmente difícil, es decir, las raíces cúbicas, Feynman ganó fácilmente. Sin embargo, el número elegido al azar estaba cerca de un número que Feynman sabía que era un cubo exacto, lo que le permitió utilizar métodos aproximados. [52]
Aprender a calcular con el ábaco puede mejorar la capacidad de cálculo mental. El cálculo mental basado en ábaco (AMC), que se derivó del ábaco, es el acto de realizar cálculos, incluidas sumas, restas, multiplicaciones y divisiones, en la mente mediante la manipulación de un ábaco imaginado. Es una habilidad cognitiva de alto nivel que ejecuta cálculos con un algoritmo eficaz. Las personas que realizan un entrenamiento AMC a largo plazo muestran una mayor capacidad de memoria numérica y experimentan vías neuronales conectadas de manera más efectiva. [53] [54] Son capaces de recuperar la memoria para hacer frente a procesos complejos. [55] AMC implica procesamiento visuoespacial y visuomotor que genera el ábaco visual y mueve las cuentas imaginarias. [56] Dado que solo requiere recordar la posición final de las cuentas, requiere menos memoria y menos tiempo de cálculo. [56]
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El ábaco binario se utiliza para explicar cómo las computadoras manipulan los números. [57] El ábaco muestra cómo los números, letras y signos se pueden almacenar en un sistema binario en una computadora o mediante ASCII . El dispositivo consta de una serie de cuentas colocadas sobre alambres paralelos dispuestos en tres filas separadas. Las cuentas representan un interruptor en la computadora en posición "encendido" o "apagado".
Los usuarios con discapacidad visual suelen utilizar un ábaco adaptado, inventado por Tim Cranmer y llamado ábaco de Cranmer. Detrás de las cuentas se coloca un trozo de tela suave o goma, manteniéndolas en su lugar mientras los usuarios las manipulan. Luego, el dispositivo se utiliza para realizar las funciones matemáticas de multiplicación, división, suma, resta, raíz cuadrada y raíz cúbica. [58]
Aunque los estudiantes ciegos se han beneficiado de las calculadoras parlantes, a menudo se les enseña el ábaco en los primeros grados. [59] Los estudiantes ciegos también pueden completar tareas matemáticas usando un escritor braille y un código Nemeth (un tipo de código braille para matemáticas), pero los problemas de multiplicación y división largos son tediosos. El ábaco les brinda a estos estudiantes una herramienta para calcular problemas matemáticos que iguala la velocidad y el conocimiento matemático requeridos por sus compañeros videntes que usan lápiz y papel. Muchas personas ciegas consideran que esta máquina numérica es una herramienta útil durante toda la vida. [58]
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