Una yupana (del quechua : yupay 'contar') [1] es una tabla de contar utilizada para realizar operaciones aritméticas , que se remonta a la época de los incas . Existe muy poca documentación sobre su forma física precisa o cómo se utilizó.
El término yupana se refiere a dos clases distintas de objetos:
Aunque muy diferentes entre sí, la mayoría de los estudiosos que han tratado las yupanas de mesa han extendido sus razonamientos y teorías a la yupana Poma de Ayala y viceversa, tal vez en un intento de encontrar un hilo unificador o un método común de creación. Por ejemplo, la Nueva corónica descubierta en 1916 en la biblioteca de Copenhague contenía evidencia de que una parte de los estudios sobre la Poma de Ayala yupana se basaban en estudios y teorías anteriores sobre las yupanas de mesa. [2]
Varios cronistas de Indias describieron, brevemente, este ábaco inca y su funcionamiento.
El primero fue Guaman Poma de Ayala hacia el año 1615 quien escribió:
... Cuentan usando tablas, numeradas en incrementos de cien mil a diez mil, de cien a diez, y así sucesivamente hasta llegar a uno. Llevan registros de todo lo que sucede en este ámbito: festivos y domingos, meses y años. Los contadores y tesoreros del reino se encuentran en cada ciudad, pueblo o aldea indígena...
— [3]
Además de proporcionar esta breve descripción, Poma de Ayala hizo un dibujo de la yupana: un tablero de cinco filas y cuatro columnas en el que cada celda contenía una serie de círculos blancos y negros.
Precediendo a los escritos de Pomo de Ayala, en 1596 el padre jesuita José de Acosta escribió:
... Bueno, ver otro grupo que usa granos de maíz es una cosa encantadora, como un relato muy bochornoso, que hará hacer a pluma y tinta a un muy buen contador, para ver cómo le queda cada aporte a tanta gente, tomando tanto de allá y añadiendo tanto de aquí, con otros cien pedacitos, estos indios van a coger sus granos y van a poner uno aquí, tres allá, ocho no sé dónde; moverán un grano de aquí, trocarán tres de allá, y, en efecto, salen con su cuenta hecha puntualmente sin faltar un punto, y mucho más saben llevar en cuenta y contabilizar lo que cada uno puede pagar o dar, que sabremos dar a cada uno de ellos según lo constata la pluma y la tinta. Si esto no es ingenio y estos hombres son bestias, que así lo juzgue quien quiera juzgarlo, que lo que yo juzgo cierto es que en lo que aplican nos dan grandes ventajas.
— [4]
En 1841, el padre Juan de Velasco escribió:
... estos profesores utilizaban algo así como una serie de bandejas hechas de madera, piedra o barro, con diferentes separaciones, en las que colocaban piedras de diferentes formas, colores y angulosidades...
— [5]
Se han encontrado varias yupanas de mesa en Ecuador y Perú.
El ejemplo más antiguo conocido de yupana de mesa se encontró en 1869 en Chordeleg , provincia de Azuay , Ecuador . Una mesa rectangular (33x27 cm) de madera que consta de 17 compartimentos, 14 de los cuales son cuadrados , 2 son rectangulares y uno de ellos octogonal . Dos bordes de la mesa contienen otros compartimentos cuadrados (12x12 cm) elevados y dispuestos uno al lado del otro, sobre los que se superponen dos plataformas cuadradas (7x7 cm). Estas estructuras se llaman "torres". Los compartimentos de la mesa son simétricos respecto a la diagonal de los compartimentos rectangulares. Los cuatro lados del tablero también están grabados con imágenes de cabezas humanas y un cocodrilo . [2] A raíz de este descubrimiento, Charles Wiener realizó un estudio sistemático de estos objetos en 1877. Wiener concluyó que las mesas yupanas servían para calcular los impuestos que los agricultores pagaban al imperio inca. [6]
Hallada en Caraz entre 1878 y 1879, esta mesa yupana se diferencia de la de Chordeleg en que el material de construcción es la piedra y el compartimiento central octogonal se reemplaza por uno rectangular; Las torres también tienen tres estantes en lugar de dos. [2]
Erland Nordenskiöld describió en 1931 una serie de yupanas de mesa muy diferentes a las primeras. Estas yupanas, hechas de piedra, cuentan con una serie de compartimentos rectangulares y cuadrados. La torre tiene dos compartimentos rectangulares. Los compartimentos están dispuestos simétricamente respecto al eje del lado menor de la mesa. [2]
Estas yupanas, hechas de piedra, tienen 18 compartimentos triangulares. A un lado hay una torre rectangular de un nivel y tres compartimentos triangulares. En la parte central hay cuatro compartimentos cuadrados. [2]
Idéntica a la yupana de Chordeleg, tanto por el material como por la disposición de los compartimentos, esta mesa yupana fue encontrada en el complejo arqueológico de Chan Chan en Perú en 1967. [2]
Descubiertas en la provincia peruana de Pisco , se trata de dos yupanas de mesa en barro y hueso . El primero es rectangular (47x32 cm), tiene 22 compartimentos cuadrados (5x5 cm) y tres rectangulares (16x18 cm), y no tiene torres. La segunda yupana es rectangular (32x23 cm) y tiene 22 compartimentos cuadrados, dos compartimentos en forma de L y tres compartimentos rectangulares en el centro. Los compartimentos están dispuestos simétricamente con respecto al eje del lado más largo. [2]
Descubierta en el norte de Ecuador por Max Uhle en 1922, esta yupana está hecha de piedra y sus compartimentos están dibujados en la superficie de la tableta. Tiene forma de pirámide formada por 10 rectángulos superpuestos: cuatro en el primer nivel, tres en el segundo, dos en el tercero y uno en el cuarto. Esta yupana es la que más se acerca al cuadro de Poma de Ayala en Nueva Corónica, aunque tiene una línea menos y está parcialmente dibujada. [2]
C. Florio presenta un estudio [7] que no identifica una yupana en estos hallazgos arqueológicos, sino un objeto cuyo nombre ha sido olvidado y permanece desconocido. En cambio, este objeto se utiliza para conectar el tocapu (un ideograma ya utilizado por las civilizaciones preincas) llamado “llave inca” con la filosofía yanantin-masintin . El estudioso lo justifica a partir de la falta de evidencia objetiva que reconozca a este objeto como una yupana, creencia que se consolidó a lo largo de años sin repetición ni demostración de esta hipótesis, y con el cruce de datos de los Documentos Miccinelli y el tocapu catalogado por Victoria. de la Jara.
Suponiendo colorear los diferentes compartimentos de la mesa yupana (fig. A), C. Florio identifica un dibujo (fig. B) muy similar a un tocapu existente (fig. C) catalogado por Victoria de la Jara. Además, en el tocapu reportado en la figura D, también catalogado por V. de la Jara, Florio identifica una estilización del tocapu C y el punto de partida para la creación del tocapu “llave Inca”. Ella encuentra que la relación entre la tabla yupana y la clave Inca también es similar en su conexión con el concepto de dualidad: la estructura de la tabla yupana es claramente dual y Blas Valera en “Exsul Immeritus Blas Valera populo suo” (uno de los dos Documentos Miccinelli) describe el tocapu "llave inca" como representante del concepto de las “fuerzas opuestas” y del “número 2”, ambos estrictamente vinculados al concepto de dualidad. [8]
Según C. Florio, la verdadera yupana utilizada por los incas es la de Guáman Poma, pero con más columnas y filas. La Poma de Ayala yupana habría representado sólo la parte de la yupana útil para realizar un cálculo específico, que Florio identifica como multiplicación (ver más abajo).
En 1931, Henry Wassén estudió la Poma de Ayala yupana, proponiendo por primera vez una posible representación de los números en el tablero y las operaciones de suma y multiplicación . Interpretó los círculos blancos como huecos tallados en yupana en los que se insertarían las semillas descritas por los cronistas: así, los círculos blancos corresponden a huecos vacíos, mientras que los círculos negros corresponden a los mismos huecos llenos de una semilla negra. [2]
El sistema de numeración en la base de la yupana era la notación posicional en base 10 (en consonancia con los escritos de los cronistas de Indias).
Luego, la representación de los números siguió una progresión vertical de modo que los números del 1 al 9 se colocaron en la primera fila desde abajo, la segunda fila contenía las decenas, la tercera las centenas, y así sucesivamente.
Wassen propuso una progresión de valores de las semillas que depende de su posición en la tabla: 1, 5, 15, 30, respectivamente, dependiendo de qué semillas ocupan un hueco en la primera, segunda, tercera y cuarta columnas (ver la tabla a continuación). ). Sólo se podían incluir un máximo de cinco semillas en una casilla perteneciente a la primera columna, de modo que el valor máximo de esa casilla era 5, multiplicado por la potencia de la fila correspondiente. Estas semillas podrían reemplazarse con una semilla de la siguiente columna, lo que resulta útil durante operaciones aritméticas. Según la teoría de Wassen, por tanto, las operaciones de suma y producto se realizaban de forma horizontal.
Esta teoría recibió muchas críticas debido a la alta complejidad de los cálculos, por lo que se consideró inadecuada y pronto se abandonó.
La siguiente tabla muestra el número 13457 tal como aparecería en la yupana de Wassen:
Esta primera interpretación de la Poma de Ayala yupana fue el punto de partida de las teorías desarrolladas por autores posteriores, hasta la escritura moderna. Ningún investigador se alejó del sistema de numeración posicional hasta 2008.
Emilio Mendizábal fue el primero en proponer en 1976 que los incas tuvieran una representación basada en la progresión 1, 2, 3, 5 además de la representación decimal. [9] En la misma publicación, Mendizábal señaló que las series de los números 1, 2, 3 y 5, aparecen en el dibujo de Poma de Ayala, y son parte de la secuencia de Fibonacci , y destacó la importancia de la "magia" que el número 5 figura para las civilizaciones del norte del Perú , similar en significado al número 8 para las civilizaciones del sur del Perú . [2]
En 1979, Carlos Radicati di Primeglio enfatizó la diferencia entre la mesa yupana y la de Poma de Ayala, describiendo las investigaciones más recientes y las teorías avanzadas hasta el momento. También propuso los algoritmos para calcular las cuatro operaciones aritméticas básicas para la Poma de Ayala yupana, según una nueva interpretación para la cual era posible tener hasta nueve semillas en cada caja con una progresión vertical de potencias de diez. [2] Radicati asoció cada brecha con un valor de 1.
La siguiente tabla muestra el número 13457 tal como aparecería en la yupana de Radicati:
En 1981, el ingeniero textil inglés William Burns Glynn propuso una solución posicional de base 10 para la yupana de Poma de Ayala. [10]
Glynn, como Radicati, adoptó la idea de Wassen de espacios llenos y vacíos, así como una progresión vertical de las potencias de diez, pero propuso una arquitectura que permitía a los usuarios de yupana simplificar enormemente las operaciones aritméticas.
La progresión horizontal de los valores de las semillas en su representación es 1, 1, 1 para las tres primeras columnas, de manera que en cada fila es posible depositar un máximo de diez semillas (5 + 3 + 2 semillas). Diez semillas en cualquier fila corresponden a una sola semilla en la línea superior.
La última columna de la yupana de Glynn está dedicada a la "memoria " , un lugar que puede contener hasta diez semillas antes de pasar a la línea superior. Según el autor, esto es muy útil durante las operaciones aritméticas para reducir la posibilidad de error.
La solución de Glynn ha sido adoptada en diversos proyectos de enseñanza en todo el mundo, y aún hoy algunas de sus variantes se utilizan en algunas escuelas de Sudamérica . [11] [12]
La siguiente tabla muestra el número 13457 tal como aparecería en la yupana de Glynn:
En 2001, el ingeniero italiano Nicolino de Pasquale propuso una solución posicional en base 40 de la Poma de Ayala yupana, tomando la teoría de representación de Fibonacci ya propuesta por Emilio Mendizábal y desarrollándola para las cuatro operaciones.
La yupana de De Pasquale también adopta una progresión vertical para representar números por potencias de 40. La representación de los números se basa en que la suma de los valores de los círculos en cada fila es 39, si cada círculo toma el valor 5 en la primera columna, 3 en la segunda columna, 2 en la tercera y 1 en la cuarta; es así posible representar 39 números, unidos a un elemento neutro ( cero o "sin semillas" en la tabla); esto forma la base de 40 símbolos necesarios para el sistema de numeración. [13]
La siguiente tabla muestra una de las posibles representaciones del número 13457 en la yupana de De Pasquale:
Después de su publicación, la teoría de De Pasquale provocó una gran controversia entre los investigadores que se dividieron en dos grupos principales: un grupo que apoyaba la teoría de base 10 y otro que apoyaba la teoría de base 40. Las crónicas españolas escritas sobre la conquista de América indicaron que los incas utilizaban un sistema decimal y desde 2003 se propone la teoría de base 10 como base para el cálculo tanto con el ábaco como con el quipu [14]
De Pasquale ha propuesto recientemente el uso de yupana como calendario astronómico que se ejecuta en base mixta 36/40 [15] y proporcionó su propia interpretación de la palabra quechua huno , traduciéndola como "0,1". [16] Esta interpretación diverge de todos los cronistas de Indias, especialmente Domingo de Santo Tomás [1] quien en 1560 tradujo huno a chunga guaranga (diez mil).
En 2008 Cinzia Florio propuso un enfoque alternativo y revolucionario respecto a todas las teorías propuestas hasta el momento. La teoría más nueva de Florio se desvió del sistema de numeración posicional y adoptó la notación aditiva o de valor de signo . [17]
Apoyándose exclusivamente en el diseño de Poma de Ayala, Florio explicó la disposición de los círculos blancos y negros e interpretó el uso de la yupana como tablero para calcular las multiplicaciones , en la que el multiplicando está representado en la columna de la derecha, el multiplicador en las dos columnas centrales, y el producto en la columna de la izquierda, ilustrado en la siguiente tabla:
La teoría difiere de todas las anteriores en varios aspectos: en primer lugar, los círculos blanco y negro no serían huecos que se pudieran rellenar con una semilla, sino semillas de distintos colores, representando respectivamente decenas y unidades (esto según el cronista Juan de Velasco). [5]
En segundo lugar, el multiplicando se ingresa en la primera columna respetando la notación signo-valor: así, las semillas se pueden ingresar en cualquier orden y el número viene dado por la suma de los valores de estas semillas.
El multiplicador se representa como la suma de dos factores, ya que el procedimiento para obtener el producto se basa en la propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma .
Según Florio, la tabla de multiplicar dibujada por Poma de Ayala con la provisión de las semillas representaba el cálculo: 32 x 5, donde el multiplicador 5 se descompone en 3 + 2. La secuencia de números 1,2,3,5 sería causal , supeditado al cálculo realizado y sin relación con la serie de Fibonacci.
Clave: ◦ = 10; • = 1; La operación representada es: 32 x 5 = 32 x (2 + 3) = (32 x 2) + (32 x 3) = 64 + 96 = 160
Los números representados en las columnas son, de izquierda a derecha:
El número final de este cálculo (que es incorrecto) es la base de todas las posibles críticas a esta interpretación, ya que 160, no 151, es la suma de 96 y 64. Florio señala, sin embargo, que el error podría haber sido por parte de Poma de Ayala en el dibujo original, al diseñar un espacio ocupado por un círculo negro en lugar de uno blanco. En este caso, cambiar solo un círculo negro por uno blanco en la última columna nos da el número 160, el producto correcto.
La yupana de Poma de Ayala tampoco puede representar todos los multiplicandos, es necesario extender la yupana verticalmente (sumando filas) para representar números cuya suma de dígitos excede 5. El caso es el mismo para los multiplicadores: para representar todos los números es necesario extender el número de columnas. Aparte del supuesto cálculo erróneo (o representación errónea por parte del diseñador), esta es la única teoría que identifica en la yupana de Poma de Ayala un mensaje matemático y consistente (multiplicación) y no una serie de números aleatorios como en otras interpretaciones.
En octubre de 2010, el investigador peruano Andrés Chirinos, con el apoyo de la Agencia Española de Cooperación Internacional para el Desarrollo (ACEID) , revisó dibujos y descripciones más antiguos relatados por Poma de Ayala, y finalmente descifró el uso de la yupana: una mesa con once agujeros que Chirinos llama una "Calculadora precolombina", capaz de sumar, restar, dividir y multiplicar, lo que le da esperanzas de aplicar esta información a la investigación de cómo se usaban y funcionaban los quipus. [18]
{{cite book}}: Mantenimiento CS1: varios nombres: lista de autores ( enlace )