División larga

Algoritmo de división estándar para números de varios dígitos

En aritmética , la división larga es un algoritmo de división estándar adecuado para dividir números arábigos hindúes de varios dígitos ( notación posicional ) que es lo suficientemente simple como para realizarlo a mano. Divide un problema de división en una serie de pasos más sencillos.

Como en todos los problemas de división, un número, llamado dividendo , se divide por otro, llamado divisor , produciendo un resultado llamado cociente . Permite realizar cálculos que involucran números arbitrariamente grandes siguiendo una serie de pasos simples. ^[1] La forma abreviada de división larga se llama división corta , que casi siempre se utiliza en lugar de la división larga cuando el divisor tiene un solo dígito. La fragmentación (también conocida como método de los cocientes parciales o método del ahorcado) es una forma menos mecánica de división larga destacada en el Reino Unido que contribuye a una comprensión más holística del proceso de división. ^{[ cita necesaria ]}

Historia

Los algoritmos relacionados existen desde el siglo XII. ^[2] Al-Samawal_al-Maghribi (1125-1174) realizó cálculos con números decimales que esencialmente requieren una división larga, lo que lleva a resultados decimales infinitos, pero sin formalizar el algoritmo. ^[3] Caldrini (1491) es el primer ejemplo impreso de división larga, conocido como método Danda en la Italia medieval, ^[4] y se volvió más práctico con la introducción de la notación decimal para fracciones por Pitiscus (1608). El algoritmo específico en uso moderno fue introducido por Henry Briggs c. 1600. ^[5]

Educación

Las calculadoras y computadoras económicas se han convertido en la forma más común de resolver problemas de división, eliminando un ejercicio matemático tradicional y disminuyendo la oportunidad educativa de mostrar cómo hacerlo mediante técnicas de papel y lápiz. (Internamente, esos dispositivos utilizan uno de una variedad de algoritmos de división , el más rápido de los cuales se basa en aproximaciones y multiplicaciones para realizar las tareas). En los Estados Unidos, la división larga ha sido especialmente objetivo para quitarle énfasis o incluso eliminarla del plan de estudios escolar por reformar las matemáticas , aunque tradicionalmente se ha introducido en 4º o 5º grado. ^[6]

Método

En los países de habla inglesa, la división larga no utiliza los símbolos de barra diagonal de división ⟨ ∕ ⟩ o signo de división ⟨÷⟩ , sino que construye un cuadro . ^[7] El divisor está separado del dividendo por un paréntesis derecho ⟨ ) ⟩ o una barra vertical ⟨ | ⟩ ; el dividendo está separado del cociente por un vinculum (es decir, una barra superior ). La combinación de estos dos símbolos a veces se conoce como símbolo de división larga o corchete de división . ^[8] Se desarrolló en el siglo XVIII a partir de una notación anterior de una sola línea que separaba el dividendo del cociente mediante un paréntesis izquierdo . ^{[9] [10]}

El proceso comienza dividiendo el dígito más a la izquierda del dividendo por el divisor. El cociente (redondeado hacia abajo a un número entero) se convierte en el primer dígito del resultado y el resto se calcula (este paso se anota como una resta). Este resto se traslada cuando el proceso se repite en el siguiente dígito del dividendo (anotado como "reducir" el siguiente dígito al resto). Cuando se hayan procesado todos los dígitos y no quede ningún resto, el proceso estará completo.

A continuación se muestra un ejemplo que representa la división de 500 entre 4 (con un resultado de 125).

  1 2 5 (Explicaciones) 4)500 4 ( 4 × 1 = 4) 1 0 ( 5 - 4 = 1 ) 8 ( 4 × 2 = 8) 2 0 (10 - 8 = 2 ) 20 ( 4 × 5 = 20) 0 (20 - 20 = 0)

Un ejemplo de división larga realizada sin calculadora.

Un desglose más detallado de los pasos es el siguiente:

1. Encuentra la secuencia más corta de dígitos comenzando desde el extremo izquierdo del dividendo, 500, en la que entra el divisor 4 al menos una vez. En este caso, este es simplemente el primer dígito, 5. El número más grande por el que se puede multiplicar el divisor 4 sin exceder 5 es 1, por lo que el dígito 1 se coloca encima del 5 para comenzar a construir el cociente.
2. A continuación, se multiplica el 1 por el divisor 4, para obtener el mayor número entero que sea múltiplo del divisor 4 sin exceder el 5 (4 en este caso). Luego, este 4 se coloca debajo y se resta del 5 para obtener el resto, 1, que se coloca debajo del 4 debajo del 5.
3. Luego, el primer dígito del dividendo aún no utilizado, en este caso el primer dígito 0 después del 5, se copia directamente debajo de sí mismo y al lado del resto 1, para formar el número 10.
4. En este punto, el proceso se repite suficientes veces para llegar a un punto de parada: el número más grande por el cual se puede multiplicar el divisor 4 sin exceder 10 es 2, por lo que 2 se escribe arriba como el segundo dígito del cociente más a la izquierda. Este 2 luego se multiplica por el divisor 4 para obtener 8, que es el mayor múltiplo de 4 que no supera 10; entonces 8 se escribe debajo de 10, y se realiza la resta 10 menos 8 para obtener el resto 2, que se coloca debajo del 8.
5. El siguiente dígito del dividendo (el último 0 de 500) se copia directamente debajo de sí mismo y al lado del resto 2 para formar 20. Luego se coloca el número más grande por el cual se puede multiplicar el divisor 4 sin pasar de 20, que es 5. arriba como el tercer dígito del cociente más a la izquierda. Este 5 se multiplica por el divisor 4 para obtener 20, que se escribe a continuación y se resta de los 20 existentes para obtener el resto 0, que luego se escribe debajo del segundo 20.
6. En este punto, como no quedan más dígitos que bajar del dividendo y el resultado de la última resta fue 0, podemos estar seguros de que el proceso finalizó.

Si el último resto cuando nos quedamos sin dígitos de dividendo hubiera sido distinto de 0, habría habido dos posibles cursos de acción:

1. Podríamos detenernos ahí y decir que el dividendo dividido por el divisor es el cociente escrito en la parte superior y el resto escrito en la parte inferior, y escribir la respuesta como el cociente seguido de una fracción que es el resto dividido por el divisor.
2. Podríamos extender el dividendo escribiéndolo como, digamos, 500.000... y continuar el proceso (usando un punto decimal en el cociente directamente encima del punto decimal en el dividendo), para obtener una respuesta decimal, como en el siguiente ejemplo.

  31,75  4)127.00 12 (12 ÷ 4 = 3) 07 ( resto 0 , bajar la siguiente cifra) 4 (7 ÷ 4 = 1 r 3)  3.0 (baja el 0 y el punto decimal) 2,8 (7 × 4 = 28, 30 ÷ 4 = 7 r 2) 20 (se baja un cero adicional) 20 (5 × 4 = 20) 0

En este ejemplo, la parte decimal del resultado se calcula continuando el proceso más allá del dígito de las unidades, "reduciendo" los ceros como parte decimal del dividendo.

Este ejemplo también ilustra que, al comienzo del proceso, se puede omitir un paso que produce un cero. Dado que el primer dígito 1 es menor que el divisor 4, el primer paso se realiza en los dos primeros dígitos 12. De manera similar, si el divisor fuera 13, se realizaría el primer paso en 127 en lugar de 12 o 1.

Procedimiento básico para la división larga de n ÷ m

1. Encuentra la ubicación de todos los puntos decimales en el dividendo n y el divisor m .
2. Si es necesario, simplifique el problema de división larga moviendo los decimales del divisor y dividendo el mismo número de decimales, hacia la derecha (o hacia la izquierda), de modo que el decimal del divisor quede a la derecha del último dígito. .
3. Al hacer una división larga, mantenga los números alineados de arriba a abajo debajo del cuadro.
4. Después de cada paso, asegúrese de que el resto de ese paso sea menor que el divisor. Si no es así, hay tres posibles problemas: la multiplicación está mal, la resta está mal o se necesita un cociente mayor.
5. Al final, el resto, r , se suma al cociente creciente como una fracción ,  r / m .

Propiedad invariante y corrección.

La presentación básica de los pasos del proceso (arriba) se centra en qué pasos se deben realizar, en lugar de las propiedades de esos pasos que garantizan que el resultado será correcto (específicamente, que q × m + r = n , donde q es el cociente final yr el resto final). Una ligera variación de la presentación requiere más escritura y requiere que cambiemos, en lugar de simplemente actualizar, los dígitos del cociente, pero puede arrojar más luz sobre por qué estos pasos realmente producen la respuesta correcta al permitir la evaluación de q × m + r en el nivel intermedio. puntos en el proceso. Esto ilustra la propiedad clave utilizada en la derivación del algoritmo (a continuación).

Específicamente, modificamos el procedimiento básico anterior para llenar el espacio después de los dígitos del cociente en construcción con ceros, al menos hasta el lugar de las unidades, e incluir esos ceros en los números que escribimos debajo del corchete de división.

Esto nos permite mantener una relación invariante en cada paso: q × m + r = n , donde q es el cociente parcialmente construido (arriba del corchete de división) y r el resto parcialmente construido (número inferior debajo del corchete de división). Tenga en cuenta que, inicialmente q=0 y r=n , esta propiedad se cumple inicialmente; el proceso reduce r y aumenta q con cada paso, y finalmente se detiene cuando r<m si buscamos la respuesta en forma de cociente + resto entero.

Revisando el ejemplo anterior de 500 ÷ 4 , encontramos

  1 2 5 ( q , cambia de 000 a 100 a 1 20 a 1 2 5 según las notas a continuación) 4)500 400 ( 4 × 100 = 400) 100 (500 - 400 = 100 ; ahora q= 100 , r= 100 ; nota q×4+r = 500 .) 80 ( 4 × 20 = 80) 20 (100 - 80 = 20 ; ahora q= 1 20 , r= 20 ; note q×4+r = 500 .) 20 ( 4 × 5 = 20) 0 ( 20 - 20 = 0; ahora q= 1 2 5 , r= 0 ; tenga en cuenta q×4+r = 500 .)

Ejemplo con divisor de varios dígitos

Ejemplo animado de división larga de varios dígitos

Se puede utilizar un divisor de cualquier número de dígitos. En este ejemplo, 1260257 se va a dividir entre 37. Primero, el problema se plantea de la siguiente manera:

   37)1260257

Se toman dígitos del número 1260257 hasta que ocurra un número mayor o igual a 37. Entonces 1 y 12 son menores que 37, pero 126 es mayor. A continuación, se calcula el mayor múltiplo de 37 menor o igual a 126. Entonces 3 × 37 = 111 < 126, pero 4 × 37 > 126. El múltiplo 111 se escribe debajo del 126 y el 3 se escribe arriba donde aparecerá la solución:

  3  37)1260257 111

Observe cuidadosamente en qué columna de valor posicional están escritos estos dígitos. El 3 del cociente va en la misma columna (el lugar de las decenas de millar) que el 6 del dividendo 1260257, que es la misma columna que el último dígito de 111.

Luego, el 111 se resta de la línea de arriba, ignorando todos los dígitos a la derecha:

  3  37)1260257 111 15

Ahora el dígito del siguiente valor posicional más pequeño del dividendo se copia y se añade al resultado 15:

  3  37)1260257 111 150

El proceso se repite: se resta el mayor múltiplo de 37 menor o igual a 150. Esto es 148 = 4 × 37, por lo que se agrega un 4 en la parte superior como el siguiente dígito del cociente. Luego el resultado de la resta se amplía en otro dígito extraído del dividendo:

  34  37)1260257 111 150 148 22

El mayor múltiplo de 37 menor o igual a 22 es 0 × 37 = 0. Restar 0 de 22 da 22; a menudo no escribimos el paso de resta. En lugar de eso, simplemente tomamos otro dígito del dividendo:

  340  37)1260257 111 150 148 225

El proceso se repite hasta que 37 divida exactamente la última línea:

  34061 37)1260257 111 150 148 225 222 37

División larga en modo mixto

Para monedas no decimales (como el sistema £sd británico antes de 1971) y medidas (como el avoirdupois ), se debe utilizar la división en modo mixto . Considere dividir 50 millas y 600 yardas en 37 partes:

 mi - yd - pies - pulg  1 - 634 1 9 r. 15" 37) 50 - 600 - 0 - 0 37  22880  66  348 13 23480 66 348 1760  222  37  333 22880 128 29 15 ===== 111 348 == 170 === 148  22 66 ==

Cada una de las cuatro columnas se trabaja por turno. Comenzando con las millas: 50/37 = 1 resto 13. No es posible realizar más divisiones, así que realiza una multiplicación larga por 1,760 para convertir millas a yardas, el resultado es 22,880 yardas. Lleve esto a la parte superior de la columna de yardas y agréguelo a las 600 yardas en el dividendo, lo que da 23,480. La división larga de 23,480/37 ahora se realiza normalmente y arroja 634 con el resto 22. El resto se multiplica por 3 para obtener pies y se lleva a la columna de pies. La división larga de los pies da 1 resto 29 que luego se multiplica por doce para obtener 348 pulgadas. La división larga continúa y el resto final de 15 pulgadas se muestra en la línea de resultados.

Interpretación de resultados decimales.

Cuando el cociente no es un número entero y el proceso de división se extiende más allá del punto decimal, pueden suceder una de dos cosas:

1. El proceso puede terminar, lo que significa que se alcanza un resto de 0; o
2. Se podría alcanzar un resto idéntico a un resto anterior que se produjo después de que se escribieron los puntos decimales. En este último caso, continuar el proceso sería inútil, porque a partir de ese momento la misma secuencia de dígitos aparecería en el cociente una y otra vez. Entonces se dibuja una barra sobre la secuencia repetida para indicar que se repite para siempre (es decir, cada número racional es un decimal terminal o periódico ).

Notación en países de habla no inglesa

China, Japón y Corea utilizan la misma notación que los países de habla inglesa, incluida la India. En otros lugares se utilizan los mismos principios generales, pero las figuras suelen estar dispuestas de forma diferente.

América Latina

En América Latina (excepto Argentina , Bolivia , México , Colombia , Paraguay , Venezuela , Uruguay y Brasil ), el cálculo es casi exactamente el mismo, pero está escrito de manera diferente, como se muestra a continuación con los mismos dos ejemplos utilizados anteriormente. Generalmente el cociente se escribe debajo de una barra dibujada debajo del divisor. A veces se dibuja una línea vertical larga a la derecha de los cálculos.

 500 ÷ 4 = 1 2 5 (Explicaciones) 4 ( 4 × 1 = 4) 1 0 ( 5 - 4 = 1 ) 8 ( 4 × 2 = 8) 2 0 (10 - 8 = 2 ) 20 ( 4 × 5 = 20) 0 (20 - 20 = 0)

y

 127 ÷ 4 = 31,75 124  30 (bajar 0; decimal a cociente) 28 (7 × 4 = 28) 20 (se agrega un cero adicional) 20 (5 × 4 = 20) 0

En México se utiliza la notación del mundo de habla inglesa, excepto que solo se anota el resultado de la resta y el cálculo se hace mentalmente, como se muestra a continuación:

  1 2 5 (Explicaciones) 4)500 1 0 ( 5 - 4 = 1 ) 2 0 ( 10 - 8 = 2 ) 0 (20 - 20 = 0)

En Bolivia , Brasil , Paraguay , Venezuela , Canadá francófono , Colombia y Perú , se utiliza la notación europea (ver más abajo), excepto que el cociente no está separado por una línea vertical, como se muestra a continuación:

 127| 4  − 124 31,75 30 − 28 20 − 20 0

Mismo procedimiento aplica en México , Uruguay y Argentina , sólo que se anota el resultado de la resta y el cálculo se hace mentalmente.

Eurasia

En España, Italia, Francia, Portugal, Lituania, Rumanía, Turquía, Grecia, Bélgica, Bielorrusia, Ucrania y Rusia, el divisor está a la derecha del dividendo y separado por una barra vertical. La división también ocurre en la columna, pero el cociente (resultado) se escribe debajo del divisor y separado por la línea horizontal. El mismo método se utiliza en Irán, Vietnam y Mongolia.

 127| 4  − 124 |31,75 30 − 28 20 − 20 0

En Chipre, así como en Francia, una larga barra vertical separa el dividendo y las subsiguientes restas del cociente y el divisor, como en el siguiente ejemplo de 6359 dividido por 17, que es 374 con un resto de 1.

 6359| 17  − 51 |374 125 | − 119 | 69| − 68 | 1|

Los números decimales no se dividen directamente, el dividendo y el divisor se multiplican por una potencia de diez de modo que la división involucra dos números enteros. Por lo tanto, si uno estuviera dividiendo 12,7 entre 0,4 (usando comas en lugar de puntos decimales), el dividendo y el divisor primero se cambiarían a 127 y 4, y luego la división procedería como se indicó anteriormente.

En Austria , Alemania y Suiza se utiliza la forma notacional de una ecuación normal. <dividendo> : <divisor> = <cociente>, donde los dos puntos ":" indican un símbolo de infijo binario para el operador de división (análogo a "/" o "÷"). En estas regiones el separador decimal se escribe como coma. (cf. primera sección de países latinoamericanos arriba, donde se hace prácticamente de la misma manera):

 127 : 4 = 31,75 − 12 07 − 4 30 − 28 20 − 20 0

La misma notación se adopta en Dinamarca , Noruega , Bulgaria , Macedonia del Norte , Polonia , Croacia , Eslovenia , Hungría , República Checa , Eslovaquia , Vietnam y Serbia .

En los Países Bajos se utiliza la siguiente notación:

 12 / 135 \ 11,25 12 15 12 30 24 60 60 0

En Finlandia , el método italiano detallado anteriormente fue sustituido por el angloamericano en los años 1970. Sin embargo, a principios de la década de 2000, algunos libros de texto adoptaron el método alemán, ya que conserva el orden entre el divisor y el dividendo. ^[11]

Algoritmo para base arbitraria.

Cada número natural se puede representar de forma única en una base numérica arbitraria como una secuencia de dígitos donde para todos , donde es el número de dígitos en . El valor de en términos de sus dígitos y la base es ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b>1}$ ${\displaystyle n=\alpha _{0}\alpha _{1}\alpha _{2}...\alpha _{k-1}}$ ${\displaystyle 0\leq \alpha _{i}<b}$ ${\displaystyle 0\leq i<k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle n=\sum _{i=0}^{k-1}\alpha _{i}b^{k-i-1}}$

Sea el dividendo y sea el divisor, donde es el número de dígitos en . Si , entonces cociente y resto . De lo contrario, iteramos desde , antes de detenernos. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle k<l}$ ${\displaystyle q=0}$ ${\displaystyle r=n}$ ${\displaystyle 0\leq i\leq k-l}$

Para cada iteración , sea el cociente extraído hasta el momento, el dividendo intermedio, el resto intermedio, el siguiente dígito del dividendo original y el siguiente dígito del cociente. Por definición de dígitos en base , . Por definición de resto, . Todos los valores son números naturales. nosotros iniciamos ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle d_{i}}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle \beta _{i}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle 0\leq \beta _{i}<b}$ ${\displaystyle 0\leq r_{i}<m}$

${\displaystyle q_{-1}=0}$

${\displaystyle r_{-1}=\sum _{i=0}^{l-2}\alpha _{i}b^{l-2-i}}$

los primeros dígitos de . ${\displaystyle l-1}$ ${\displaystyle n}$

Con cada iteración, las tres ecuaciones son verdaderas:

${\displaystyle d_{i}=br_{i-1}+\alpha _{i+l-1}}$

${\displaystyle r_{i}=d_{i}-m\beta _{i}=br_{i-1}+\alpha _{i+l-1}-m\beta _{i}}$

${\displaystyle q_{i}=bq_{i-1}+\beta _{i}}$

Sólo existe uno tal que . ${\displaystyle \beta _{i}}$ ${\displaystyle 0\leq r_{i}<m}$

Prueba de existencia y unicidad de ${\displaystyle \beta _{i}}$

Según la definición del resto , ${\displaystyle r_{i}}$

${\displaystyle 0\leq r_{i}<m}$

${\displaystyle 0\leq br_{i-1}+\alpha _{i+l-1}-m\beta _{i}<m}$

${\displaystyle m\beta _{i}\leq br_{i-1}+\alpha _{i+l-1}<m(\beta _{i}+1)}$

Para el lado izquierdo de la desigualdad, seleccionamos el mayor tal que ${\displaystyle \beta _{i}}$

${\displaystyle m\beta _{i}\leq br_{i-1}+\alpha _{i+l-1}}$

Siempre hay un tal más grande , porque y si , entonces ${\displaystyle \beta _{i}}$ ${\displaystyle 0\leq \beta _{i}<b}$ ${\displaystyle \beta _{i}=0}$

${\displaystyle 0\leq br_{i-1}+\alpha _{i+l-1}}$

sino porque , , esto siempre es cierto. Para el lado derecho de la desigualdad asumimos que existe un mínimo tal que ${\displaystyle b>1}$ ${\displaystyle r_{i-1}\geq 0}$ ${\displaystyle \alpha _{i+l-1}\geq 0}$ ${\displaystyle \beta _{i}^{\prime }}$

${\displaystyle br_{i-1}+\alpha _{i+l-1}<m(\beta _{i}^{\prime }+1)}$

Dado que esta es la desigualdad más pequeña que se cumple, esto debe significar que para ${\displaystyle \beta _{i}^{\prime }}$ ${\displaystyle \beta _{i}^{\prime }-1}$

${\displaystyle br_{i-1}+\alpha _{i+l-1}\geq m\beta _{i}^{\prime }}$

que es exactamente igual que el lado izquierdo de la desigualdad. De este modo, . Como siempre existirá, también será igual a , y solo hay uno único que es válido para la desigualdad. Así hemos demostrado la existencia y unicidad de . ${\displaystyle \beta _{i}=\beta _{i}^{\prime }}$ ${\displaystyle \beta _{i}}$ ${\displaystyle \beta _{i}^{\prime }}$ ${\displaystyle \beta _{i}}$ ${\displaystyle \beta _{i}}$ ${\displaystyle \beta _{i}}$

El cociente final es y el resto final es ${\displaystyle q=q_{k-l}}$ ${\displaystyle r=r_{k-l}}$

Ejemplos

En base 10 , usando el ejemplo anterior con y , los valores iniciales y . ${\displaystyle n=1260257}$ ${\displaystyle m=37}$ ${\displaystyle q_{-1}=0}$ ${\displaystyle r_{-1}=1}$

Así, y . ${\displaystyle q=34061}$ ${\displaystyle r=0}$

En base 16 , con y , los valores iniciales son y . ${\displaystyle n={\text{f412df}}}$ ${\displaystyle m=12}$ ${\displaystyle q_{-1}=0}$ ${\displaystyle r_{-1}={\text{f}}}$

Así, y . ${\displaystyle q={\text{d8f45}}}$ ${\displaystyle r={\text{5}}}$

Si uno no tiene memorizadas las tablas de suma , resta o multiplicación para la base b , entonces este algoritmo aún funciona si los números se convierten a decimal y al final se vuelven a convertir a la base b . Por ejemplo, con el ejemplo anterior,

${\displaystyle n={\text{f412df}}_{16}=15\cdot 16^{5}+4\cdot 16^{4}+1\cdot 16^{3}+2\cdot 16^{2}+13\cdot 16^{1}+15\cdot 16^{0}}$

y

${\displaystyle m={\text{12}}_{16}=1\cdot 16^{1}+2\cdot 16^{0}=18}$

con . Los valores iniciales son y . ${\displaystyle b=16}$ ${\displaystyle q_{-1}=0}$ ${\displaystyle r_{-1}=15}$

Así, y . ${\displaystyle q=16^{4}\cdot 13+16^{3}\cdot 8+16^{2}\cdot 15+16^{1}\cdot 4+5={\text{d8f45}}_{16}}$ ${\displaystyle r=5={\text{5}}_{16}}$

Este algoritmo se puede realizar utilizando el mismo tipo de notaciones de lápiz y papel que se muestran en las secciones anteriores.

  d8f45 r. 5 12 ) f412df ea a1 90 112 10e 4d 48 5f 5a 5

Cocientes racionales

Si el cociente no está obligado a ser un número entero, entonces el algoritmo no termina en . En cambio, si entonces por definición. Si el resto es igual a cero en cualquier iteración, entonces el cociente es una fracción -ádica y se representa como una expansión decimal finita en notación posicional base. De lo contrario, sigue siendo un número racional pero no un racional -ádico y, en cambio, se representa como una expansión decimal periódica infinita en notación posicional base. ${\displaystyle i>k-l}$ ${\displaystyle i>k-l}$ ${\displaystyle \alpha _{i}=0}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$

división binaria

Actuación

En cada iteración, la tarea que consume más tiempo es seleccionar . Sabemos que hay valores posibles, por lo que podemos encontrarlos mediante comparaciones . Cada comparación requerirá evaluación . Sea el número de dígitos del dividendo y el número de dígitos del divisor . El número de dígitos en . Por tanto, la multiplicación de es y también la resta de . Así es necesario seleccionar . El resto del algoritmo es la suma y el desplazamiento de dígitos de y hacia la izquierda un dígito, por lo que lleva tiempo y en base , por lo que cada iteración toma , o simplemente . Para todos los dígitos, el algoritmo toma tiempo o en base . ${\displaystyle \beta _{i}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \beta _{i}}$ ${\displaystyle O(\log(b))}$ ${\displaystyle d_{i}-m\beta _{i}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle d_{i}\leq l+1}$ ${\displaystyle m\beta _{i}}$ ${\displaystyle O(l)}$ ${\displaystyle d_{i}-m\beta _{i}}$ ${\displaystyle O(l\log(b))}$ ${\displaystyle \beta _{i}}$ ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle O(k)}$ ${\displaystyle O(l)}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle O(l\log(b)+k+l)}$ ${\displaystyle O(l\log(b)+k)}$ ${\displaystyle k-l+1}$ ${\displaystyle O((k-l+1)(l\log(b)+k))}$ ${\displaystyle O(kl\log(b)+k^{2})}$ ${\displaystyle b}$

Generalizaciones

Numeros racionales

La división larga de números enteros se puede ampliar fácilmente para incluir dividendos no enteros, siempre que sean racionales . Esto se debe a que todo número racional tiene una expansión decimal recurrente . El procedimiento también se puede ampliar para incluir divisores que tengan una expansión decimal finita o terminal (es decir, fracciones decimales ). En este caso el procedimiento consiste en multiplicar el divisor y el dividendo por la potencia de diez adecuada para que el nuevo divisor sea un número entero -aprovechando que a  ÷  b = ( ca ) ÷ ( cb ) - y luego proceder como antes.

Polinomios

También se utiliza una versión generalizada de este método llamada división larga polinómica para dividir polinomios (a veces se utiliza una versión abreviada llamada división sintética ).

Ver también

• Algorismo
• Aritmética de precisión arbitraria
• Multiplicación y división egipcia
• Aritmética elemental
• división de fourier
• División larga polinomial
• Algoritmo de raíz enésima cambiante : para encontrar la raíz cuadrada o cualquier raíz enésima de un número
• división corta

Referencias

1. Weisstein, Eric W. "División larga". MundoMatemático .
2. "Matemáticas islámicas". nuevo.math.uiuc.edu . Consultado el 31 de marzo de 2016 .
3. Victor J. Katz, Una historia de las matemáticas: una introducción, Addison-Wesley, 2008
4. Will Windsor y George Booker (2005). «Un análisis histórico del concepto de división» (PDF) .
5. Henry Briggs - Referencia de Oxford.
6. Klein, Milgram. "El papel de la división larga en el plan de estudios K-12" (PDF) . CiteSeer . Consultado el 21 de junio de 2019 .
7. Nicholson, W. Keith (2012), Introducción al álgebra abstracta, 4ª ed., John Wiley e hijos, pág. 206.
8. "Símbolo de división larga", Wolfram MathWorld , consultado el 11 de febrero de 2016.
9. Miller, Jeff (2010), "Símbolos de operación", primeros usos de varios símbolos matemáticos.
10. Hill, John (1772) [Publicado por primera vez en 1712], Arithmetick tanto en la teoría como en la práctica (11.ª ed.), Londres: Straben et al., p. 200 , consultado el 12 de febrero de 2016.
11. Ikäheimo, Hannele: Jakolaskuun ymmärrystä ( en finlandés )

enlaces externos

• Algoritmo de división larga
• División larga y lema de Euclides