Un número es un objeto matemático que se utiliza para contar , medir y etiquetar . Los ejemplos más básicos son los números naturales 1 , 2 , 3 , 4 , etc. [1] Los números se pueden representar en el lenguaje con palabras numéricas . De manera más universal, los números individuales pueden representarse mediante símbolos , llamados números ; por ejemplo, "5" es un numeral que representa el número cinco . Como solo se puede memorizar una cantidad relativamente pequeña de símbolos, los números básicos comúnmente se organizan en un sistema numérico , que es una forma organizada de representar cualquier número. El sistema de numeración más común es el sistema de numeración hindú-árabe , que permite la representación de cualquier número entero no negativo utilizando una combinación de diez símbolos numéricos fundamentales, llamados dígitos . [2] [a] Además de su uso para contar y medir, los números se utilizan a menudo para etiquetas (como con los números de teléfono ), para realizar pedidos (como con los números de serie ) y para códigos (como con los ISBN ). En el uso común, un número no se distingue claramente del número que representa.
En matemáticas , la noción de número se ha ampliado a lo largo de los siglos para incluir cero (0), [3] números negativos , [4] números racionales como la mitad , números reales como la raíz cuadrada de 2 y π , [5 ] y los números complejos [6] que extienden los números reales con raíz cuadrada −1 (y sus combinaciones con números reales sumando o restando sus múltiplos). [4] Los cálculos con números se realizan con operaciones aritméticas , siendo las más familiares la suma , resta , multiplicación , división y exponenciación . Su estudio o uso se denomina aritmética , término que también puede referirse a la teoría de números , el estudio de las propiedades de los números.
Además de sus usos prácticos, los números tienen un significado cultural en todo el mundo. [7] [8] Por ejemplo, en la sociedad occidental, el número 13 a menudo se considera de mala suerte , y " un millón " puede significar "mucho" en lugar de una cantidad exacta. [7] Aunque ahora se considera pseudociencia , la creencia en un significado místico de los números, conocido como numerología , impregnó el pensamiento antiguo y medieval. [9] La numerología influyó fuertemente en el desarrollo de las matemáticas griegas , estimulando la investigación de muchos problemas de la teoría de números que todavía son de interés en la actualidad. [9]
Durante el siglo XIX, los matemáticos comenzaron a desarrollar muchas abstracciones diferentes que comparten ciertas propiedades de los números y pueden considerarse como una extensión del concepto. Entre los primeros se encontraban los números hipercomplejos , que consisten en diversas extensiones o modificaciones del sistema de números complejos . En las matemáticas modernas, los sistemas numéricos se consideran ejemplos especiales importantes de estructuras algebraicas más generales, como anillos y campos , y la aplicación del término "número" es una cuestión de convención, sin significado fundamental. [10]
Se han descubierto huesos y otros artefactos con marcas talladas que muchos creen que son marcas de conteo . [11] Estas marcas de conteo pueden haberse utilizado para contar el tiempo transcurrido, como el número de días, los ciclos lunares o para mantener registros de cantidades, como las de animales.
Un sistema de conteo no tiene concepto de valor posicional (como en la notación decimal moderna ), lo que limita su representación de números grandes. No obstante, los sistemas de conteo se consideran el primer tipo de sistema numérico abstracto.
El primer sistema conocido con valor posicional fue el sistema mesopotámico de base 60 ( c. 3400 a. C.) y el sistema de base 10 más antiguo conocido data del 3100 a. C. en Egipto . [12]
Los números deben distinguirse de los numerales , los símbolos utilizados para representar los números. Los egipcios inventaron el primer sistema de numeración cifrada, y los griegos los siguieron mapeando sus números de conteo en los alfabetos jónico y dórico. [13] Los números romanos, un sistema que utilizaba combinaciones de letras del alfabeto romano, siguieron siendo dominantes en Europa hasta la difusión del sistema de numeración hindú-árabe superior a finales del siglo XIV, y el sistema de numeración hindú-árabe sigue siendo el más común. sistema para representar los números en el mundo actual. [14] [ se necesita mejor fuente ] La clave de la eficacia del sistema fue el símbolo del cero , que fue desarrollado por antiguos matemáticos indios alrededor del año 500 d.C. [14]
El primer uso documentado conocido del cero data del año 628 d. C. y apareció en el Brāhmasphuṭasiddhānta , la obra principal del matemático indio Brahmagupta . Trató al 0 como un número y analizó las operaciones que lo involucran, incluida la división . En esa época (siglo VII), el concepto había llegado claramente a Camboya como números jemeres , y la documentación muestra que la idea se extendió más tarde a China y al mundo islámico .
Brāhmasphuṭasiddhānta de Brahmagupta es el primer libro que menciona el cero como número, de ahí que se suele considerar a Brahmagupta como el primero en formular el concepto de cero. Dio reglas para usar el cero con números negativos y positivos, como "cero más un número positivo es un número positivo, y un número negativo más cero es el número negativo". El Brāhmasphuṭasiddhānta es el texto más antiguo conocido que trata el cero como un número por derecho propio, en lugar de simplemente como un dígito marcador de posición para representar otro número como lo hicieron los babilonios o como un símbolo de la falta de cantidad como lo hicieron Ptolomeo y los romanos.
El uso del 0 como número debe distinguirse de su uso como número marcador de posición en los sistemas de valor posicional . Muchos textos antiguos usaban 0. Los textos babilónicos y egipcios lo usaban. Los egipcios usaban la palabra nfr para indicar saldo cero en la contabilidad de partida doble . Los textos indios utilizaban una palabra sánscrita Shunye o shunya para referirse al concepto de vacío . En los textos de matemáticas esta palabra suele referirse al número cero. [15] En una línea similar, Pāṇini (siglo V a. C.) utilizó el operador nulo (cero) en el Ashtadhyayi , un ejemplo temprano de gramática algebraica para el idioma sánscrito (ver también Pingala ).
Hay otros usos del cero antes de Brahmagupta, aunque la documentación no es tan completa como en el Brāhmasphuṭasiddhānta .
Los registros muestran que los antiguos griegos parecían inseguros sobre el estatus del 0 como número: se preguntaban "¿Cómo puede la 'nada' ser algo?" lo que llevó a interesantes argumentos filosóficos y, en el período medieval, religiosos sobre la naturaleza y existencia de 0 y el vacío . Las paradojas de Zenón de Elea dependen en parte de la interpretación incierta del 0. (Los antiguos griegos incluso cuestionaron si el 1 era un número).
El pueblo olmeca tardío del centro-sur de México comenzó a utilizar un símbolo para el cero, un glifo de concha , en el Nuevo Mundo, posiblemente en el siglo IV a. C. , pero ciertamente en el año 40 a. C., que se convirtió en una parte integral de los números mayas y del calendario maya. . La aritmética maya usaba base 4 y base 5 escrita como base 20. George I. Sánchez en 1961 informó un ábaco "dedo" de base 4 y base 5. [16] [ se necesita una mejor fuente ]
Hacia el año 130 d. C., Ptolomeo , influenciado por Hiparco y los babilonios, estaba usando un símbolo para 0 (un círculo pequeño con una barra superior larga) dentro de un sistema de numeración sexagesimal que de otro modo usaba números alfabéticos griegos . Debido a que se usó solo, no simplemente como un marcador de posición, este cero helenístico fue el primer uso documentado de un cero verdadero en el Viejo Mundo. En manuscritos bizantinos posteriores de su Syntaxis Mathematica ( Almagest ), el cero helenístico se había transformado en la letra griega Omicron (que de otro modo significa 70).
Otro cero verdadero se utilizó en las tablas junto con los números romanos en 525 (primer uso conocido por Dionysius Exiguus ), pero como palabra, nulla no significa nada , no como símbolo. Cuando la división produjo 0 como resto, se utilizó nihil , que también significa nada . Estos ceros medievales fueron utilizados por todos los futuros computistas medievales (calculadores de Pascua ). Beda o un colega utilizaron un uso aislado de su inicial, N, en una tabla de números romanos alrededor del año 725, un verdadero símbolo del cero.
El concepto abstracto de números negativos fue reconocido ya entre el 100 y el 50 a. C. en China. Los Nueve Capítulos sobre el Arte Matemático contienen métodos para encontrar las áreas de figuras; Se utilizaron barras rojas para indicar coeficientes positivos y negras para los negativos. [17] La primera referencia en una obra occidental fue en el siglo III d.C. en Grecia. Diofanto se refirió a la ecuación equivalente a 4 x + 20 = 0 (la solución es negativa) en Arithmetica , diciendo que la ecuación daba un resultado absurdo.
Durante el año 600, en la India se utilizaban números negativos para representar deudas. La referencia anterior de Diofanto fue discutida más explícitamente por el matemático indio Brahmagupta , en Brāhmasphuṭasiddhānta en 628, quien usó números negativos para producir la fórmula cuadrática de forma general que sigue en uso hoy. Sin embargo, en el siglo XII en la India, Bhaskara da raíces negativas a las ecuaciones cuadráticas, pero dice que el valor negativo "en este caso no debe tomarse, porque es inadecuado; la gente no aprueba las raíces negativas".
Los matemáticos europeos, en su mayor parte, se resistieron al concepto de números negativos hasta el siglo XVII, aunque Fibonacci permitía soluciones negativas en problemas financieros donde podían interpretarse como deudas (capítulo 13 de Liber Abaci , 1202) y más tarde como pérdidas (en Flos ). René Descartes las llamó raíces falsas porque aparecían en polinomios algebraicos, pero encontró una manera de intercambiar también raíces verdaderas y raíces falsas. Al mismo tiempo, los chinos indicaban números negativos dibujando un trazo diagonal a través del dígito distinto de cero situado más a la derecha del número positivo correspondiente. [18] El primer uso de números negativos en una obra europea fue por Nicolás Chuquet durante el siglo XV. Los usó como exponentes , pero se refirió a ellos como "números absurdos".
Todavía en el siglo XVIII, era una práctica común ignorar cualquier resultado negativo arrojado por las ecuaciones bajo el supuesto de que no tenían sentido.
Es probable que el concepto de números fraccionarios se remonta a tiempos prehistóricos . Los antiguos egipcios utilizaron su notación de fracción egipcia para números racionales en textos matemáticos como el Papiro Matemático Rhind y el Papiro Kahun . Los matemáticos clásicos griegos e indios realizaron estudios de la teoría de los números racionales, como parte del estudio general de la teoría de números . [19] El más conocido de ellos son los Elementos de Euclides , que datan aproximadamente del año 300 a.C. De los textos indios, el más relevante es el Sthananga Sutra , que también abarca la teoría de números como parte de un estudio general de las matemáticas.
El concepto de fracciones decimales está estrechamente relacionado con la notación de valor posicional decimal; los dos parecen haberse desarrollado en conjunto. Por ejemplo, es común que el sutra matemático jainista incluya cálculos de aproximaciones de fracciones decimales a pi o la raíz cuadrada de 2 . [ cita necesaria ] De manera similar, los textos de matemáticas babilónicos usaban fracciones sexagesimales (base 60) con gran frecuencia.
El primer uso conocido de números irracionales fue en los Sulba Sutras indios compuestos entre 800 y 500 a.C. [20] [ se necesita mejor fuente ] Las primeras pruebas de la existencia de números irracionales generalmente se atribuyen a Pitágoras , más específicamente al pitagórico Hipaso de Metaponto , quien produjo una prueba (muy probablemente geométrica) de la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2 . La historia cuenta que Hipasus descubrió los números irracionales al intentar representar la raíz cuadrada de 2 como una fracción. Sin embargo, Pitágoras creía en el carácter absoluto de los números y no podía aceptar la existencia de números irracionales. No podía refutar su existencia mediante la lógica, pero no podía aceptar números irracionales, por lo que, supuestamente y con frecuencia se informó, condenó a Hipaso a muerte por ahogamiento, para impedir la difusión de tan desconcertante noticia. [21] [ se necesita una mejor fuente ]
El siglo XVI trajo la aceptación final europea de los números enteros y fraccionarios negativos . En el siglo XVII, los matemáticos generalmente usaban fracciones decimales con notación moderna. Sin embargo, no fue hasta el siglo XIX que los matemáticos separaron los irracionales en partes algebraicas y trascendentales, y una vez más emprendieron el estudio científico de los irracionales. Había permanecido casi inactivo desde Euclides . En 1872 se publicaron las teorías de Karl Weierstrass (por su alumno E. Kossak), Eduard Heine , [22] Georg Cantor , [23] y Richard Dedekind [24] . En 1869, Charles Méray había tomado el mismo punto de partida que Heine, pero la teoría generalmente se remonta al año 1872. El método de Weierstrass fue expuesto completamente por Salvatore Pincherle (1880), y el de Dedekind ha recibido importancia adicional a través de la obra posterior del autor. (1888) y respaldo de Paul Tannery (1894). Weierstrass, Cantor y Heine basan sus teorías en series infinitas, mientras que Dedekind funda la suya en la idea de un corte (Schnitt) en el sistema de números reales , separando todos los números racionales en dos grupos que tienen ciertas propiedades características. El tema ha recibido contribuciones posteriores de la mano de Weierstrass, Kronecker , [25] y Méray.
La búsqueda de raíces de ecuaciones quínticas y de grados superiores fue un avance importante; el teorema de Abel-Ruffini ( Ruffini 1799, Abel 1824) demostró que no podían resolverse mediante radicales (fórmulas que implicaban únicamente operaciones aritméticas y raíces). Por tanto, era necesario considerar el conjunto más amplio de números algebraicos (todas las soluciones de ecuaciones polinómicas). Galois (1832) vinculó las ecuaciones polinomiales a la teoría de grupos dando lugar al campo de la teoría de Galois .
Las fracciones continuas , estrechamente relacionadas con los números irracionales (y debidas a Cataldi, 1613), recibieron atención de la mano de Euler , [26] y a principios del siglo XIX adquirieron prominencia gracias a los escritos de Joseph Louis Lagrange . Otras contribuciones notables fueron las de Druckenmüller (1837), Kunze (1857), Lemke (1870) y Günther (1872). Ramus [27] conectó por primera vez el tema con los determinantes , resultando, con las posteriores aportaciones de Heine, [28] Möbius , y Günther, [29] en la teoría de Kettenbruchdeterminanten .
La existencia de números trascendentales [30] fue establecida por primera vez por Liouville (1844, 1851). Hermite demostró en 1873 que e es trascendental y Lindemann demostró en 1882 que π es trascendental. Finalmente, Cantor demostró que el conjunto de todos los números reales es incontablemente infinito pero el conjunto de todos los números algebraicos es contablemente infinito , por lo que existe un número incontablemente infinito de números trascendentales.
La concepción más antigua conocida del infinito matemático aparece en el Yajur Veda , una antigua escritura india, que en un momento afirma: "Si quitas una parte del infinito o añades una parte al infinito, lo que queda es el infinito". El infinito era un tema popular de estudio filosófico entre los matemáticos jainistas c. 400 a.C. Distinguieron entre cinco tipos de infinito: infinito en una y dos direcciones, infinito en área, infinito en todas partes e infinito perpetuamente. El símbolo se utiliza a menudo para representar una cantidad infinita.
Aristóteles definió la noción tradicional occidental de infinito matemático. Distinguió entre el infinito real y el infinito potencial ; el consenso general fue que sólo el último tenía valor verdadero. Dos nuevas ciencias de Galileo Galilei analizan la idea de correspondencias uno a uno entre conjuntos infinitos. Pero el siguiente avance importante en la teoría lo realizó Georg Cantor ; en 1895 publicó un libro sobre su nueva teoría de conjuntos , introduciendo, entre otras cosas, los números transfinitos y formulando la hipótesis del continuo .
En la década de 1960, Abraham Robinson demostró cómo los números infinitamente grandes e infinitesimales pueden definirse y utilizarse rigurosamente para desarrollar el campo del análisis no estándar. El sistema de números hiperreales representa un método riguroso para tratar las ideas sobre números infinitos e infinitesimales que habían sido utilizados casualmente por matemáticos, científicos e ingenieros desde la invención del cálculo infinitesimal por Newton y Leibniz .
Una versión geométrica moderna del infinito viene dada por la geometría proyectiva , que introduce "puntos ideales en el infinito", uno para cada dirección espacial. Se postula que cada familia de líneas paralelas en una dirección dada converge al punto ideal correspondiente. Esto está estrechamente relacionado con la idea de puntos de fuga en el dibujo en perspectiva .
La primera referencia fugaz a las raíces cuadradas de números negativos se produjo en la obra del matemático e inventor Herón de Alejandría en el siglo I d. C. , cuando consideró el volumen de un tronco imposible de pirámide . Se hicieron más prominentes cuando en el siglo XVI matemáticos italianos como Niccolò Fontana Tartaglia y Gerolamo Cardano descubrieron fórmulas cerradas para las raíces de polinomios de tercer y cuarto grado . Pronto se comprendió que estas fórmulas, incluso si uno sólo estaba interesado en soluciones reales, a veces requerían la manipulación de raíces cuadradas de números negativos.
Esto fue doblemente inquietante, ya que en aquel momento ni siquiera consideraban que las cifras negativas estuvieran en terreno firme. Cuando René Descartes acuñó el término "imaginario" para estas cantidades en 1637, lo pensó como despectivo. (Ver número imaginario para una discusión sobre la "realidad" de los números complejos.) Una fuente adicional de confusión fue que la ecuación
parecía caprichosamente inconsistente con la identidad algebraica
el cual es válido para números reales positivos a y b , y también se usó en cálculos de números complejos con uno de a , b positivo y el otro negativo. El uso incorrecto de esta identidad y de la identidad relacionada
en el caso de que tanto a como b sean negativos, incluso atormentaba a Euler . [31] Esta dificultad finalmente lo llevó a la convención de usar el símbolo especial i en lugar de para protegerse contra este error.
El siglo XVIII vio la obra de Abraham de Moivre y Leonhard Euler . La fórmula de De Moivre (1730) establece:
mientras que la fórmula de análisis complejo de Euler (1748) nos dio:
La existencia de números complejos no fue completamente aceptada hasta que Caspar Wessel describió la interpretación geométrica en 1799. Carl Friedrich Gauss la redescubrió y popularizó varios años más tarde, y como resultado la teoría de los números complejos recibió una notable expansión. Sin embargo, la idea de la representación gráfica de números complejos apareció ya en 1685, en De algebra tractatus de Wallis .
Ese mismo año, Gauss proporcionó la primera prueba generalmente aceptada del teorema fundamental del álgebra , demostrando que todo polinomio sobre números complejos tiene un conjunto completo de soluciones en ese ámbito. Gauss estudió números complejos de la forma a + bi , donde a y b son números enteros (ahora llamados enteros gaussianos ) o números racionales. Su alumno, Gotthold Eisenstein , estudió el tipo a + bω , donde ω es una raíz compleja de x 3 − 1 = 0 (ahora llamados enteros de Eisenstein ). Otras clases similares (llamadas campos ciclotómicos ) de números complejos se derivan de las raíces de la unidad x k − 1 = 0 para valores más altos de k . Esta generalización se debe en gran medida a Ernst Kummer , quien también inventó los números ideales , que fueron expresados como entidades geométricas por Felix Klein en 1893.
En 1850 Victor Alexandre Puiseux dio el paso clave de distinguir entre polos y puntos de ramificación, e introdujo el concepto de puntos singulares esenciales . [ se necesita aclaración ] Esto finalmente condujo al concepto de plano complejo extendido .
Los números primos se han estudiado a lo largo de la historia. [ cita necesaria ] Son números enteros positivos que son divisibles solo por 1 y por sí mismos. Euclides dedicó un libro de los Elementos a la teoría de los números primos; en él demostró la infinitud de los números primos y el teorema fundamental de la aritmética , y presentó el algoritmo euclidiano para encontrar el máximo común divisor de dos números.
En 240 a. C., Eratóstenes utilizó el tamiz de Eratóstenes para aislar rápidamente los números primos. Pero la mayor parte del desarrollo posterior de la teoría de los números primos en Europa se remonta al Renacimiento y épocas posteriores. [ cita necesaria ]
En 1796, Adrien-Marie Legendre conjeturó el teorema de los números primos , que describe la distribución asintótica de los números primos. Otros resultados relacionados con la distribución de los números primos incluyen la prueba de Euler de que la suma de los recíprocos de los números primos diverge y la conjetura de Goldbach , que afirma que cualquier número par suficientemente grande es la suma de dos números primos. Otra conjetura más relacionada con la distribución de los números primos es la hipótesis de Riemann , formulada por Bernhard Riemann en 1859. El teorema de los números primos fue finalmente demostrado por Jacques Hadamard y Charles de la Vallée-Poussin en 1896. Las conjeturas de Goldbach y Riemann siguen sin ser probadas ni refutadas. .
Los números se pueden clasificar en conjuntos , llamados conjuntos numéricos o sistemas numéricos , como los números naturales y los números reales . Los principales sistemas numéricos son los siguientes:
Cada uno de estos sistemas numéricos es un subconjunto del siguiente. Así, por ejemplo, un número racional también es un número real, y todo número real también es un número complejo. Esto se puede expresar simbólicamente como
En el siguiente diagrama aparece una lista más completa de conjuntos de números.
Los números más familiares son los números naturales (a veces llamados números enteros o números para contar): 1, 2, 3, etc. Tradicionalmente, la secuencia de números naturales comenzaba con 1 (0 ni siquiera era considerado un número para los antiguos griegos ). Sin embargo, en el siglo XIX, los teóricos de conjuntos y otros matemáticos comenzaron a incluir 0 ( cardinalidad del conjunto vacío , es decir, 0 elementos, donde 0 es, por tanto, el número cardinal más pequeño ) del conjunto de los números naturales. [32] [33] Hoy en día, diferentes matemáticos utilizan el término para describir ambos conjuntos, incluido 0 o no. El símbolo matemático para el conjunto de todos los números naturales es N , también escrito , y en ocasiones o cuando es necesario indicar si el conjunto debe comenzar con 0 o 1, respectivamente.
En el sistema numérico de base 10 , de uso casi universal hoy en día para operaciones matemáticas, los símbolos de los números naturales se escriben utilizando diez dígitos : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. La base o base es el número de dígitos numéricos únicos, incluido el cero, que un sistema numérico utiliza para representar números (para el sistema decimal, la base es 10). En este sistema de base 10, el dígito más a la derecha de un número natural tiene un valor posicional de 1, y cada dos dígitos tiene un valor posicional diez veces mayor que el valor posicional del dígito a su derecha.
En la teoría de conjuntos , que es capaz de actuar como fundamento axiomático de las matemáticas modernas, [34] los números naturales pueden representarse mediante clases de conjuntos equivalentes. Por ejemplo, el número 3 se puede representar como la clase de todos los conjuntos que tienen exactamente tres elementos. Alternativamente, en Peano Arithmetic , el número 3 se representa como sss0, donde s es la función "sucesora" (es decir, 3 es el tercer sucesor de 0). Son posibles muchas representaciones diferentes; todo lo que se necesita para representar formalmente 3 es inscribir un determinado símbolo o patrón de símbolos tres veces.
El negativo de un entero positivo se define como un número que produce 0 cuando se suma al entero positivo correspondiente. Los números negativos generalmente se escriben con un signo negativo (un signo menos ). Como ejemplo, el negativo de 7 se escribe −7 y 7 + (−7) = 0 . Cuando el conjunto de los números negativos se combina con el conjunto de los números naturales (incluido el 0), el resultado se define como el conjunto de los números enteros , escrito también Z. Aquí la letra Z proviene del alemán Zahl 'número'. El conjunto de los números enteros forma un anillo con las operaciones de suma y multiplicación. [35]
Los números naturales forman un subconjunto de los números enteros. Como no existe un estándar común para la inclusión o no del cero en los números naturales, los números naturales sin cero se denominan comúnmente enteros positivos , y los números naturales con cero se denominan enteros no negativos .
Un número racional es un número que se puede expresar como una fracción con un numerador entero y un denominador entero positivo. Se permiten denominadores negativos, pero normalmente se evitan, ya que todo número racional es igual a una fracción con denominador positivo. Las fracciones se escriben como dos números enteros, el numerador y el denominador, con una barra divisoria entre ellos. La fracciónmetro/norterepresenta m partes de un todo dividido en n partes iguales. Dos fracciones diferentes pueden corresponder a un mismo número racional; Por ejemplo1/2y2/4son iguales, es decir:
En general,
Si el valor absoluto de m es mayor que n (se supone que es positivo), entonces el valor absoluto de la fracción es mayor que 1. Las fracciones pueden ser mayores, menores o iguales a 1 y también pueden ser positivas, negativas, o 0. El conjunto de todos los números racionales incluye los números enteros ya que cada número entero se puede escribir como una fracción con denominador 1. Por ejemplo, se puede escribir −7 −7/1. El símbolo de los números racionales es Q (de cociente ), también escrito .
El símbolo de los números reales es R , también escrito como Incluyen todos los números de medición. Todo número real corresponde a un punto de la recta numérica . El siguiente párrafo se centrará principalmente en los números reales positivos. El tratamiento de los números reales negativos se realiza de acuerdo con las reglas generales de la aritmética y su denotación es simplemente anteponer el correspondiente número positivo con un signo menos , por ejemplo, −123,456.
La mayoría de los números reales sólo pueden aproximarse mediante números decimales , en los que se coloca un punto decimal a la derecha del dígito con valor posicional 1. Cada dígito a la derecha del punto decimal tiene un valor posicional un décimo del valor posicional de el dígito a su izquierda. Por ejemplo, 123.456 representa123456/1000, o, en palabras, cien, dos decenas, tres unidades, cuatro décimas, cinco centésimas y seis milésimas. Un número real se puede expresar con un número finito de cifras decimales sólo si es racional y su parte fraccionaria tiene un denominador cuyos factores primos sean 2 o 5 o ambos, porque estos son los factores primos de 10, la base del sistema decimal. . Así, por ejemplo, la mitad es 0,5, un quinto es 0,2, un décimo es 0,1 y un quincuagésimo es 0,02. Representar otros números reales como decimales requeriría una secuencia infinita de dígitos a la derecha del punto decimal. Si esta secuencia infinita de dígitos sigue un patrón, se puede escribir con puntos suspensivos u otra notación que indique el patrón repetido. A este tipo de decimal se le llama decimal periódico . De este modo1/3se puede escribir como 0,333..., con puntos suspensivos para indicar que el patrón continúa. Los 3 que se repiten siempre también se escriben como 0. 3 . [36]
Resulta que estos decimales periódicos (incluida la repetición de ceros ) denotan exactamente los números racionales, es decir, todos los números racionales también son números reales, pero no se da el caso de que todo número real sea racional. Un número real que no es racional se llama irracional . Un número real irracional famoso es el π , la relación entre la circunferencia de cualquier círculo y su diámetro . Cuando pi se escribe como
como sucede a veces, los puntos suspensivos no significan que los decimales se repiten (no lo hacen), sino que no tienen fin. Se ha demostrado que π es irracional . Otro número bien conocido, que se ha demostrado que es un número real irracional, es
la raíz cuadrada de 2 , es decir, el único número real positivo cuyo cuadrado es 2. Ambos números han sido aproximados (por computadora) a billones (1 billón = 10 12 = 1.000.000.000.000) de dígitos.
No sólo estos ejemplos destacados, sino casi todos los números reales son irracionales y, por tanto, no tienen patrones repetidos y, por tanto, no tienen un número decimal correspondiente. Sólo pueden aproximarse mediante números decimales, que denotan números reales redondeados o truncados . Cualquier número redondeado o truncado es necesariamente un número racional, de los cuales sólo hay muchos contables . Todas las medidas son, por su naturaleza, aproximaciones, y siempre tienen un margen de error . Por tanto, 123,456 se considera una aproximación de cualquier número real mayor o igual a1234555/10000y estrictamente menos que1234565/10000(redondeando a 3 decimales), o de cualquier número real mayor o igual a123456/1000y estrictamente menos que123457/1000(truncamiento después del 3. decimal). Deben eliminarse los dígitos que sugieran una mayor precisión que la propia medición. Los dígitos restantes se denominan entonces dígitos significativos . Por ejemplo, rara vez se pueden realizar mediciones con una regla sin un margen de error de al menos 0,001 m . Si los lados de un rectángulo miden 1,23 m y 4,56 m, entonces la multiplicación da un área para el rectángulo entre 5,614591 m 2 y 5,603011 m 2 . Dado que ni siquiera se conserva el segundo dígito después del decimal, los siguientes dígitos no son significativos . Por tanto, el resultado suele redondearse a 5,61.
Así como una misma fracción se puede escribir de más de una forma, un mismo número real puede tener más de una representación decimal. Por ejemplo, 0,999... , 1,0, 1,00, 1,000, ..., todos representan el número natural 1. Un número real dado tiene sólo las siguientes representaciones decimales: una aproximación a algún número finito de decimales, una aproximación en la que Se establece un patrón que continúa durante un número ilimitado de decimales o un valor exacto con sólo un número finito de decimales. En este último caso, el último dígito distinto de cero podrá sustituirse por el dígito uno menor seguido de un número ilimitado de 9, o el último dígito distinto de cero podrá ir seguido de un número ilimitado de ceros. Así, el número real exacto 3,74 también se puede escribir 3,7399999999... y 3,74000000000.... De manera similar, un número decimal con un número ilimitado de ceros se puede reescribir eliminando los ceros a la derecha del dígito distinto de cero situado más a la derecha, y un número decimal Un número con un número ilimitado de 9 se puede reescribir aumentando en uno el dígito más a la derecha menor que 9 y cambiando todos los 9 a la derecha de ese dígito a 0. Finalmente, se puede eliminar una secuencia ilimitada de ceros a la derecha de un decimal. Por ejemplo, 6,849999999999... = 6,85 y 6,850000000000... = 6,85. Finalmente, si todos los dígitos de un número son 0, el número es 0, y si todos los dígitos de un número son una cadena interminable de 9, puedes quitar los nueves a la derecha del lugar decimal y agregar uno. a la cadena de nueves a la izquierda del lugar decimal. Por ejemplo, 99,999... = 100.
Los números reales también tienen una propiedad importante pero muy técnica llamada propiedad del límite superior mínimo .
Se puede demostrar que cualquier cuerpo ordenado , que además sea completo , es isomorfo a los números reales. Los números reales no son, sin embargo, un cuerpo algebraicamente cerrado , porque no incluyen una solución (a menudo llamada raíz cuadrada de menos uno ) de la ecuación algebraica .
Pasando a un nivel mayor de abstracción, los números reales se pueden extender a los números complejos . Este conjunto de números surgió históricamente al intentar encontrar fórmulas cerradas para las raíces de polinomios cúbicos y cuadráticos . Esto llevó a expresiones que involucraban las raíces cuadradas de números negativos y, finalmente, a la definición de un nuevo número: una raíz cuadrada de −1, denotada por i , un símbolo asignado por Leonhard Euler , y llamada unidad imaginaria . Los números complejos están formados por todos los números de la forma
donde a y b son números reales. Debido a esto, los números complejos corresponden a puntos del plano complejo , un espacio vectorial de dos dimensiones reales . En la expresión a + bi , el número real a se llama parte real y b se llama parte imaginaria . Si la parte real de un número complejo es 0, entonces el número se llama número imaginario o se hace referencia a él como puramente imaginario ; si la parte imaginaria es 0, entonces el número es un número real. Por tanto, los números reales son un subconjunto de los números complejos. Si las partes real e imaginaria de un número complejo son ambas enteras, entonces el número se llama entero gaussiano . El símbolo de los números complejos es C o .
El teorema fundamental del álgebra afirma que los números complejos forman un cuerpo algebraicamente cerrado , lo que significa que todo polinomio con coeficientes complejos tiene una raíz en los números complejos. Al igual que los reales, los números complejos forman un campo , que es completo , pero a diferencia de los números reales, no está ordenado . Es decir, no hay ningún significado consistente asignable a decir que i es mayor que 1, ni tampoco hay ningún significado a decir que i es menor que 1. En términos técnicos, los números complejos carecen de un orden total que sea compatible con las operaciones de campo .
Un número par es un número entero que es “divisible uniformemente” por dos, es decir, divisible por dos sin resto ; un número impar es un número entero que no es par. (El antiguo término "divisible uniformemente" ahora casi siempre se abrevia a " divisible ".) Cualquier número impar n puede construirse mediante la fórmula n = 2 k + 1, para un entero k adecuado . Comenzando con k = 0, los primeros números impares no negativos son {1, 3, 5, 7,...}. Cualquier número par m tiene la forma m = 2 k donde k es nuevamente un número entero . De manera similar, los primeros números pares no negativos son {0, 2, 4, 6,...}.
Un número primo , a menudo abreviado como simplemente primo , es un número entero mayor que 1 que no es producto de dos números enteros positivos más pequeños. Los primeros números primos son 2, 3, 5, 7 y 11. No existe una fórmula tan simple como la de los números pares e impares para generar los números primos. Los números primos han sido ampliamente estudiados durante más de 2000 años y han suscitado muchas preguntas, de las cuales sólo algunas han sido respondidas. El estudio de estas cuestiones pertenece a la teoría de números . La conjetura de Goldbach es un ejemplo de una pregunta aún sin respuesta: "¿Todo número par es la suma de dos primos?"
Se confirmó una pregunta respondida sobre si todo número entero mayor que uno es producto de números primos de una sola manera, excepto en el caso de una reordenación de los números primos; esta afirmación comprobada se llama teorema fundamental de la aritmética . Una prueba aparece en los Elementos de Euclides .
Muchos subconjuntos de números naturales han sido objeto de estudios específicos y han recibido nombres, a menudo en honor al primer matemático que los estudió. Ejemplos de tales conjuntos de números enteros son los números de Fibonacci y los números perfectos . Para obtener más ejemplos, consulte Secuencia de enteros .
Los números algebraicos son aquellos que son solución a una ecuación polinómica con coeficientes enteros. Los números reales que no son números racionales se llaman números irracionales . Los números complejos que no son algebraicos se llaman números trascendentales . Los números algebraicos que son soluciones de una ecuación polinómica mónica con coeficientes enteros se denominan enteros algebraicos .
Motivados por los problemas clásicos de construcciones con regla y compás , los números construibles son aquellos números complejos cuyas partes reales e imaginarias se pueden construir usando regla y compás, a partir de un segmento dado de longitud unitaria, en un número finito de pasos.
Un número computable , también conocido como número recursivo , es un número real tal que existe un algoritmo que, dado un número positivo n como entrada, produce los primeros n dígitos de la representación decimal del número computable. Se pueden dar definiciones equivalentes utilizando funciones μ-recursivas , máquinas de Turing o cálculo λ . Los números computables son estables para todas las operaciones aritméticas habituales, incluido el cálculo de las raíces de un polinomio , y forman así un campo real cerrado que contiene los números algebraicos reales .
Los números computables pueden verse como números reales que pueden representarse exactamente en una computadora: un número computable está representado exactamente por sus primeros dígitos y un programa para calcular dígitos adicionales. Sin embargo, los números computables rara vez se utilizan en la práctica. Una razón es que no existe ningún algoritmo para probar la igualdad de dos números computables. Más precisamente, no puede existir ningún algoritmo que tome como entrada cualquier número computable y decida en cada caso si este número es igual a cero o no.
El conjunto de números computables tiene la misma cardinalidad que los números naturales. Por tanto, casi todos los números reales no son computables. Sin embargo, es muy difícil producir explícitamente un número real que no sea computable.
Los números p -ádicos pueden tener expansiones infinitamente largas a la izquierda del punto decimal, de la misma manera que los números reales pueden tener expansiones infinitamente largas a la derecha. El sistema numérico resultante depende de la base que se utilice para los dígitos: cualquier base es posible, pero una base numérica prima proporciona las mejores propiedades matemáticas. El conjunto de los números p -ádicos contiene los números racionales, pero no está contenido en los números complejos.
Los elementos de un campo de funciones algebraicas sobre un campo finito y los números algebraicos tienen muchas propiedades similares (ver Analogía del campo de funciones ). Por lo tanto, los teóricos de los números a menudo los consideran números. Los números p -ádicos juegan un papel importante en esta analogía.
Algunos sistemas numéricos que no están incluidos en los números complejos pueden construirse a partir de números reales de manera que generalicen la construcción de los números complejos. A veces se les llama números hipercomplejos . Incluyen los cuaterniones H , introducidos por Sir William Rowan Hamilton , en los que la multiplicación no es conmutativa , los octoniones , en los que la multiplicación no es asociativa además de no ser conmutativa, y los sedeniones , en los que la multiplicación no es alternativa , ni asociativa ni conmutativo.
Para tratar con conjuntos infinitos , los números naturales se han generalizado a los números ordinales y a los números cardinales . El primero indica el orden del conjunto, mientras que el segundo indica su tamaño. Para conjuntos finitos, tanto los números ordinales como los cardinales se identifican con los números naturales. En el caso infinito, muchos números ordinales corresponden al mismo número cardinal.
Los números hiperrealistas se utilizan en análisis no estándar . Los hiperreales, o reales no estándar (normalmente denotados como * R ), denotan un campo ordenado que es una extensión propia del campo ordenado de los números reales R y que satisface el principio de transferencia . Este principio permite reinterpretar enunciados verdaderos de primer orden sobre R como enunciados verdaderos de primer orden sobre * R .
Los números superreales y surrealistas extienden los números reales agregando números infinitamente pequeños y números infinitamente grandes, pero aún forman campos .
{{cite book}}: Mantenimiento CS1: falta el editor de la ubicación ( enlace )Los matemáticos indios inventaron el concepto de cero y desarrollaron los números "árabes" y el sistema de notación de valor posicional que se utiliza en la mayor parte del mundo actual.
