Cero final

En matemáticas , los ceros finales son una secuencia de en la representación decimal (o más generalmente, en cualquier representación posicional ) de un número, después de la cual no siguen otros dígitos .

Los ceros finales a la derecha de un punto decimal , como en 12.340, no afectan el valor de un número y pueden omitirse si lo único que interesa es su valor numérico. Esto es así incluso si los ceros se repiten infinitamente . Por ejemplo, en farmacia , los ceros finales se omiten de los valores de dosis para evitar lecturas erróneas. Sin embargo, los ceros finales pueden ser útiles para indicar la cantidad de cifras significativas , por ejemplo, en una medición. En tal contexto, "simplificar" un número eliminando los ceros finales sería incorrecto.

La cantidad de ceros finales en un entero n de base b distinta de cero es igual al exponente de la potencia más alta de b que divide a n . Por ejemplo, 14000 tiene tres ceros finales y, por lo tanto, es divisible por 1000 = 10 ³ , pero no por 10 ⁴ . Esta propiedad es útil cuando se buscan factores pequeños en la factorización de enteros . Algunas arquitecturas de computadora tienen una operación de conteo de ceros finales en su conjunto de instrucciones para determinar de manera eficiente la cantidad de bits de ceros finales en una palabra de máquina.

Factorial

El número de ceros finales en la representación decimal de n !, el factorial de un entero no negativo n , es simplemente la multiplicidad del factor primo 5 en n !. Esto se puede determinar con este caso especial de la fórmula de De Polignac : ^[1]

${\displaystyle f(n)=\sum _{i=1}^{k}\left\lfloor {\frac {n}{5^{i}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n}{5}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{5^{2}}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{5^{3}}}\right\rfloor +\cdots +\left\lfloor {\frac {n}{5^{k}}}\right\rfloor ,\,}$

donde k debe elegirse de manera que

${\displaystyle 5^{k+1}>n,\,}$

Más precisamente

${\displaystyle 5^{k}\leq n<5^{k+1},}$

${\displaystyle k=\left\lfloor \log _{5}n\right\rfloor ,}$

y denota la función base aplicada a un . Para n  = 0, 1, 2, ... esto es ${\displaystyle \lfloor a\rfloor }$

0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 6, ... (secuencia A027868 en la OEIS ).

Por ejemplo, 5 ³  > 32, y por lo tanto 32! = 263130836933693530167218012160000000 termina en

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {32}{5}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {32}{5^{2}}}\right\rfloor =6+1=7\,}$

ceros. Si n  < 5, la desigualdad se satisface con k  = 0; en ese caso la suma está vacía , dando como resultado 0.

La fórmula en realidad cuenta el número de factores 5 en n !, pero como hay al menos tantos factores como 2, esto es equivalente al número de factores 10, cada uno de los cuales da un cero final más.

Definiendo

${\displaystyle q_{i}=\left\lfloor {\frac {n}{5^{i}}}\right\rfloor ,\,}$

La siguiente relación de recurrencia se cumple:

${\displaystyle {\begin{aligned}q_{0}\,\,\,\,\,&=\,\,\,n,\quad \\q_{i+1}&=\left\lfloor {\frac {q_{i}}{5}}\right\rfloor .\,\end{aligned}}}$

Esto se puede utilizar para simplificar el cálculo de los términos de la suma, que se puede detener tan pronto como q  _i llegue a cero. La condición 5 ^{k +1} > n es equivalente a q _{k +1} = 0. 

Véase también

• Cero a la izquierda
• Dígito final

Referencias

1. Resumen de Factoriales y ceros finales

Enlaces externos

• ¿Por qué son importantes los ceros fraccionarios finales? Algunos ejemplos de cuándo son importantes los ceros finales
• Número de ceros finales para cualquier factorial Programa Python para calcular el número de ceros finales para cualquier factorial Archivado 2017-02-22 en Wayback Machine