Margen de error

Estadística que expresa la cantidad de error de muestreo aleatorio en los resultados de una encuesta

Densidades de probabilidad de encuestas de diferentes tamaños, cada una codificada por colores según su intervalo de confianza del 95% (abajo), margen de error (izquierda) y tamaño de muestra (derecha). Cada intervalo refleja el rango dentro del cual se puede tener un 95% de confianza en que se puede encontrar el porcentaje verdadero , dado un porcentaje reportado del 50%. El margen de error es la mitad del intervalo de confianza (también el radio del intervalo). Cuanto mayor sea la muestra, menor será el margen de error. Además, cuanto más alejado del 50% esté el porcentaje reportado, menor será el margen de error.

El margen de error es una estadística que expresa la cantidad de error de muestreo aleatorio en los resultados de una encuesta . Cuanto mayor sea el margen de error, menos confianza se debe tener en que el resultado de una encuesta reflejará el resultado de un censo de toda la población . El margen de error será positivo siempre que el muestreo de una población no sea completo y la medida de resultado tenga una varianza positiva , es decir, siempre que la medida varíe .

El término margen de error se utiliza a menudo en contextos distintos de las encuestas para indicar un error de observación al informar cantidades medidas.

Concepto

Considere una encuesta simple de sí/no como una muestra de encuestados extraídos de una población que informa el porcentaje de respuestas afirmativas . Nos gustaría saber qué tan cerca está del resultado real de una encuesta a toda la población , sin tener que realizarla. Si, hipotéticamente, tuviéramos que realizar una encuesta sobre muestras posteriores de encuestados (recién extraídas de ), esperaríamos que esos resultados posteriores se distribuyeran normalmente sobre , el porcentaje verdadero pero desconocido de la población. El margen de error describe la distancia dentro de la cual se espera que varíe un porcentaje específico de estos resultados . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle N{\text{, }}(n\ll N)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots }$ ${\displaystyle {\overline {p}}}$ ${\displaystyle {\overline {p}}}$

Según la regla 68-95-99.7 , esperaríamos que el 95% de los resultados estuvieran dentro de aproximadamente dos desviaciones estándar ( ) a cada lado de la media verdadera . Este intervalo se llama intervalo de confianza , y el radio (la mitad del intervalo) se llama margen de error , correspondiente a un nivel de confianza del 95% . ${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots }$ ${\displaystyle \pm 2\sigma _{P}}$ ${\displaystyle {\overline {p}}}$

Generalmente, en un nivel de confianza , un tamaño de muestra de una población que tiene una desviación estándar esperada tiene un margen de error. ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle MOE_{\gamma }=z_{\gamma }\times {\sqrt {\frac {\sigma ^{2}}{n}}}}$

donde denota el cuantil (también, comúnmente, una puntuación z ) y es el error estándar . ${\displaystyle z_{\gamma }}$ ${\displaystyle {\sqrt {\frac {\sigma ^{2}}{n}}}}$

Desviación estándar y error estándar

Se esperaría que el promedio de valores distribuidos normalmente   tuviera una desviación estándar que de alguna manera variara con . Cuanto más pequeño , más amplio será el margen. Esto se llama error estándar . ${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \sigma _{\overline {p}}}$

Para el único resultado de nuestra encuesta, asumimos que , y que todos los resultados posteriores juntos tendrían una variación . ${\displaystyle p={\overline {p}}}$ ${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots }$ ${\displaystyle \sigma _{P}^{2}=P(1-P)}$

${\displaystyle {\text{Standard error}}=\sigma _{\overline {p}}\approx {\sqrt {\frac {\sigma _{P}^{2}}{n}}}\approx {\sqrt {\frac {p(1-p)}{n}}}}$

Tenga en cuenta que corresponde a la varianza de una distribución de Bernoulli . ${\displaystyle p(1-p)}$

Margen máximo de error en diferentes niveles de confianza

Para un nivel de confianza , existe un intervalo de confianza correspondiente sobre la media , es decir, el intervalo dentro del cual los valores de deben caer con probabilidad . Los valores precisos de están dados por la función cuantil de la distribución normal (a la que se aproxima la regla 68-95-99,7). ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \mu \pm z_{\gamma }\sigma }$ ${\displaystyle [\mu -z_{\gamma }\sigma ,\mu +z_{\gamma }\sigma ]}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle z_{\gamma }}$

Tenga en cuenta que no está definido para , es decir, no está definido, tal como está . ${\displaystyle z_{\gamma }}$ ${\displaystyle |\gamma |\geq 1}$ ${\displaystyle z_{1.00}}$ ${\displaystyle z_{1.10}}$

Gráficos log-log de vs tamaño de muestra n y nivel de confianza γ . Las flechas muestran que el margen de error máximo para un tamaño de muestra de 1000 es ±3,1% con un nivel de confianza del 95% y ±4,1% con un nivel de confianza del 99%. La parábola insertada ilustra la relación entre at y at . En el ejemplo, MOE ₉₅ (0,71) ≈ 0,9 × ±3,1% ≈ ±2,8%. ${\displaystyle MOE_{\gamma }(0.5)}$
${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=p-p^{2}}$ ${\displaystyle \sigma _{p}^{2}}$ ${\displaystyle p=0.71}$ ${\displaystyle \sigma _{max}^{2}}$ ${\displaystyle p=0.5}$

Dado que en , podemos establecer , calcular y obtener arbitrariamente el margen de error máximo para un nivel de confianza y un tamaño de muestra determinados , incluso antes de tener resultados reales. Con ${\displaystyle \max \sigma _{P}^{2}=\max P(1-P)=0.25}$ ${\displaystyle p=0.5}$ ${\displaystyle p={\overline {p}}=0.5}$ ${\displaystyle \sigma _{P}}$ ${\displaystyle \sigma _{\overline {p}}}$ ${\displaystyle z_{\gamma }\sigma _{\overline {p}}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p=0.5,n=1013}$

${\displaystyle MOE_{95}(0.5)=z_{0.95}\sigma _{\overline {p}}\approx z_{0.95}{\sqrt {\frac {\sigma _{P}^{2}}{n}}}=1.96{\sqrt {\frac {.25}{n}}}=0.98/{\sqrt {n}}=\pm 3.1\%}$

${\displaystyle MOE_{99}(0.5)=z_{0.99}\sigma _{\overline {p}}\approx z_{0.99}{\sqrt {\frac {\sigma _{P}^{2}}{n}}}=2.58{\sqrt {\frac {.25}{n}}}=1.29/{\sqrt {n}}=\pm 4.1\%}$

También resulta útil para cualquier informe ${\displaystyle MOE_{95}}$

${\displaystyle MOE_{99}={\frac {z_{0.99}}{z_{0.95}}}MOE_{95}\approx 1.3\times MOE_{95}}$

Márgenes de error específicos

Si una encuesta tiene varios resultados porcentuales (por ejemplo, una encuesta que mide una única preferencia de opción múltiple), el resultado más cercano al 50% tendrá el margen de error más alto. Normalmente, es este número el que se informa como margen de error para toda la encuesta. Imagine los informes de las encuestas como ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle p_{a},p_{b},p_{c}}$ ${\displaystyle 71\%,27\%,2\%,n=1013}$

${\displaystyle MOE_{95}(P_{a})=z_{0.95}\sigma _{\overline {p_{a}}}\approx 1.96{\sqrt {\frac {p_{a}(1-p_{a})}{n}}}=0.89/{\sqrt {n}}=\pm 2.8\%}$(como en la figura de arriba)

${\displaystyle MOE_{95}(P_{b})=z_{0.95}\sigma _{\overline {p_{b}}}\approx 1.96{\sqrt {\frac {p_{b}(1-p_{b})}{n}}}=0.87/{\sqrt {n}}=\pm 2.7\%}$

${\displaystyle MOE_{95}(P_{c})=z_{0.95}\sigma _{\overline {p_{c}}}\approx 1.96{\sqrt {\frac {p_{c}(1-p_{c})}{n}}}=0.27/{\sqrt {n}}=\pm 0.8\%}$

Cuando un porcentaje determinado se acerca a los extremos de 0% o 100%, su margen de error se acerca a ±0%.

Comparando porcentajes

Imagine informes de encuestas de opción múltiple como . Como se describió anteriormente, el margen de error reportado para la encuesta normalmente sería , lo más cercano al 50%. Sin embargo, la noción popular de empate estadístico o empate estadístico no se refiere a la precisión de los resultados individuales, sino a la clasificación de los resultados. ¿Cuál queda primero? ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle p_{a},p_{b},p_{c}}$ ${\displaystyle 46\%,42\%,12\%,n=1013}$ ${\displaystyle MOE_{95}(P_{a})}$ ${\displaystyle p_{a}}$

Si, hipotéticamente, tuviéramos que realizar una encuesta sobre muestras posteriores de encuestados (recién extraídas de ) y reportar el resultado , podríamos usar el error estándar de diferencia para comprender cómo se espera que caiga aproximadamente . Para esto, necesitamos aplicar la suma de varianzas para obtener una nueva varianza, , ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle p_{w}=p_{a}-p_{b}}$ ${\displaystyle p_{w_{1}},p_{w_{2}},p_{w_{3}},\ldots }$ ${\displaystyle {\overline {p_{w}}}}$ ${\displaystyle \sigma _{P_{w}}^{2}}$

${\displaystyle \sigma _{P_{w}}^{2}=\sigma _{P_{a}-P_{b}}^{2}=\sigma _{P_{a}}^{2}+\sigma _{P_{b}}^{2}-2\sigma _{P_{a},P_{b}}=p_{a}(1-p_{a})+p_{b}(1-p_{b})+2p_{a}p_{b}}$

¿Dónde está la covarianza de y ? ${\displaystyle \sigma _{P_{a},P_{b}}=-P_{a}P_{b}}$ ${\displaystyle P_{a}}$ ${\displaystyle P_{b}}$

Así (después de simplificar),

${\displaystyle {\text{Standard error of difference}}=\sigma _{\overline {w}}\approx {\sqrt {\frac {\sigma _{P_{w}}^{2}}{n}}}={\sqrt {\frac {p_{a}+p_{b}-(p_{a}-p_{b})^{2}}{n}}}=0.029,P_{w}=P_{a}-P_{b}}$

${\displaystyle MOE_{95}(P_{a})=z_{0.95}\sigma _{\overline {p_{a}}}\approx \pm {3.1\%}}$

${\displaystyle MOE_{95}(P_{w})=z_{0.95}\sigma _{\overline {w}}\approx \pm {5.8\%}}$

Tenga en cuenta que esto supone que es casi constante, es decir, los encuestados que eligen A o B casi nunca elegirían C (lo que hace que esté casi perfectamente correlacionado negativamente ). Con tres o más opciones en disputa, elegir una fórmula correcta se vuelve más complicado. ${\displaystyle P_{c}}$ ${\displaystyle P_{a}}$ ${\displaystyle P_{b}}$ ${\displaystyle \sigma _{P_{w}}^{2}}$

Efecto del tamaño de población finito

Las fórmulas anteriores para el margen de error suponen que existe una población infinitamente grande y por lo tanto no dependen del tamaño de la población , sino sólo del tamaño de la muestra . Según la teoría del muestreo , esta suposición es razonable cuando la fracción de muestreo es pequeña. El margen de error para un método de muestreo particular es esencialmente el mismo independientemente de si la población de interés es del tamaño de una escuela, ciudad, estado o país, siempre que la fracción de muestreo sea pequeña. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n}$

En los casos en que la fracción de muestreo es mayor (en la práctica, superior al 5%), los analistas podrían ajustar el margen de error utilizando una corrección de población finita para tener en cuenta la precisión adicional obtenida al muestrear un porcentaje mucho mayor de la población. El FPC se puede calcular usando la fórmula ^[1]

${\displaystyle \operatorname {FPC} ={\sqrt {\frac {N-n}{N-1}}}}$

...y así, si la encuesta se realizara sobre el 24% de, digamos, un electorado de 300.000 votantes, ${\displaystyle P}$

${\displaystyle MOE_{95}(0.5)=z_{0.95}\sigma _{\overline {p}}\approx {\frac {0.98}{\sqrt {72,000}}}=\pm 0.4\%}$

${\displaystyle MOE_{95_{FPC}}(0.5)=z_{0.95}\sigma _{\overline {p}}{\sqrt {\frac {N-n}{N-1}}}\approx {\frac {0.98}{\sqrt {72,000}}}{\sqrt {\frac {300,000-72,000}{300,000-1}}}=\pm 0.3\%}$

Intuitivamente, para tamaños apropiadamente grandes , ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \lim _{n\to 0}{\sqrt {\frac {N-n}{N-1}}}\approx 1}$

${\displaystyle \lim _{n\to N}{\sqrt {\frac {N-n}{N-1}}}=0}$

En el primer caso, es tan pequeña que no requiere corrección. En el último caso, la encuesta se convierte efectivamente en un censo y el error de muestreo se vuelve discutible. ${\displaystyle n}$

Ver también

• Tolerancia de ingeniería
• Relevancia clave
• Incertidumbre de medicion
• Error al azar

Referencias

1. Isserlis, L. (1918). "Sobre el valor de una media calculado a partir de una muestra". Revista de la Real Sociedad de Estadística . 81 (1). Publicación Blackwell: 75–81. doi :10.2307/2340569. JSTOR  2340569.(Ecuación 1)

Fuentes

• Sudman, Seymour y Bradburn, Norman (1982). Hacer preguntas: una guía práctica para el diseño de cuestionarios . San Francisco: Jossey Bass. ISBN 0-87589-546-8 
• Wonnacott, TH; RJ Wonnacott (1990). Estadística introductoria (5ª ed.). Wiley. ISBN 0-471-61518-8.

enlaces externos

• "Errores, teoría de", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Margen de error". MundoMatemático .