Ínfimo esencial y supremo esencial

Infimum y supremum en casi todas partes

En matemáticas , los conceptos de mínimo esencial y supremo esencial están relacionados con las nociones de mínimo y supremo , pero adaptados a la teoría de la medida y al análisis funcional , donde a menudo se trata de afirmaciones que no son válidas para todos los elementos de un conjunto , sino más bien casi en todas partes , es decir, excepto en un conjunto de medida cero .

Si bien la definición exacta no es inmediatamente sencilla, intuitivamente el supremo esencial de una función es el valor más pequeño que es mayor o igual a los valores de la función en todas partes, ignorando lo que hace la función en un conjunto de puntos de medida cero. Por ejemplo, si uno toma la función que es igual a cero en todas partes excepto en donde entonces el supremo de la función es igual a uno. Sin embargo, su supremo esencial es cero si aplicamos la medida de Lebesgue-Borel y se nos permite ignorar lo que hace la función en el único punto donde es peculiar. El mínimo esencial se define de manera similar. ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle f(0)=1,}$ ${\displaystyle f}$

Definición

Como suele ser el caso en cuestiones de teoría de la medida, la definición de supremo e mínimo esenciales no comienza preguntando qué hace una función en los puntos (es decir, la imagen de ), sino más bien preguntando por el conjunto de puntos donde es igual a valor específico (es decir, la preimagen de under ). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f}$

Sea una función con valor real definida en un conjunto El supremo de una función se caracteriza por la siguiente propiedad: para todos y si para algunos tenemos para todos entonces Más concretamente, un número real se llama límite superior para si para todos eso es , si el conjunto ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)\leq \sup f\leq \infty }$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle a\in \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$ ${\displaystyle f(x)\leq a}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \sup f\leq a.}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)\leq a}$ ${\displaystyle x\in X;}$

$${\displaystyle f^{-1}(a,\infty )=\{x\in X:f(x)>a\}}$$

vacio

$${\displaystyle U_{f}=\{a\in \mathbb {R} :f^{-1}(a,\infty )=\varnothing \}\,}$$

mínimo ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \inf \varnothing =+\infty .}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle \sup f=\inf U_{f}}$$

${\displaystyle U_{f}}$ ${\displaystyle \sup f=+\infty }$

Ahora supongamos además que es un espacio de medida y, por simplicidad, supongamos que la función es medible. De manera similar al supremo, el supremo esencial de una función se caracteriza por la siguiente propiedad: para - casi todos y si para algunos tenemos para - casi todos entonces Más concretamente, un número se llama número ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)\leq \operatorname {ess} \sup f\leq \infty }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle a\in \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$ ${\displaystyle f(x)\leq a}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \operatorname {ess} \sup f\leq a.}$ ${\displaystyle a}$límite superior esencial desi el conjunto mediblees un conjunto de-medida cero,^[a]Es decir, sipara-casi todosenLet ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}(a,\infty )}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle f(x)\leq a}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X.}$

$${\displaystyle U_{f}^{\operatorname {ess} }=\{a\in \mathbb {R} :\mu (f^{-1}(a,\infty ))=0\}}$$

el supremo esencial

$${\displaystyle \operatorname {ess} \sup f=\inf U_{f}^{\mathrm {ess} }}$$

${\displaystyle U_{f}^{\operatorname {ess} }\neq \varnothing ,}$ ${\displaystyle \operatorname {ess} \sup f=+\infty }$

Exactamente de la misma manera se define elínfimum esencial como supremo de lalímites inferiores esenciales s, es decir,

$${\displaystyle \operatorname {ess} \inf f=\sup\{b\in \mathbb {R} :\mu (\{x:f(x)<b\})=0\}}$$

${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \operatorname {ess} \inf f=\sup\{a\in \mathbb {R} :f(x)\geq a{\text{ for almost all }}x\in X\}}$ ${\displaystyle -\infty }$

Ejemplos

En la recta real considere la medida de Lebesgue y su correspondiente 𝜎-álgebra Defina una función mediante la fórmula ${\displaystyle \Sigma .}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}5,&{\text{if }}x=1\\-4,&{\text{if }}x=-1\\2,&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$$

El supremo de esta función (valor más grande) es 5 y el mínimo (valor más pequeño) es −4. Sin embargo, la función toma estos valores sólo en los conjuntos y respectivamente, que son de medida cero. En todos los demás casos, la función toma el valor 2. Por lo tanto, el supremo esencial y el mínimo esencial de esta función son ambos 2. ${\displaystyle \{1\}}$ ${\displaystyle \{-1\},}$

Como otro ejemplo, considere la función

$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{3},&{\text{if }}x\in \mathbb {Q} \\\arctan x,&{\text{if }}x\in \mathbb {R} \smallsetminus \mathbb {Q} \\\end{cases}}}$$

números racionales ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle -\infty ,}$ ${\displaystyle \arctan x.}$ ${\displaystyle \pi /2}$ ${\displaystyle -\pi /2.}$

Por otro lado, considere la función definida para todo real Su supremo esencial es y su mínimo esencial es ${\displaystyle f(x)=x^{3}}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle +\infty ,}$ ${\displaystyle -\infty .}$

Por último, considere la función

$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1/x,&{\text{if }}x\neq 0\\0,&{\text{if }}x=0.\\\end{cases}}}$$

${\displaystyle a\in \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mu (\{x\in \mathbb {R} :1/x>a\})\geq {\tfrac {1}{|a|}}}$ ${\displaystyle U_{f}^{\operatorname {ess} }=\varnothing }$ ${\displaystyle \operatorname {ess} \sup f=+\infty .}$

Propiedades

si entonces ${\displaystyle \mu (X)>0}$

$${\displaystyle \inf f~\leq ~\operatorname {ess} \inf f~\leq ~\operatorname {ess} \sup f~\leq ~\sup f.}$$

^[1] ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle +\infty ~=~\operatorname {ess} \inf f~\geq ~\operatorname {ess} \sup f~=~-\infty .}$$

Si los supremos esenciales de dos funciones y son ambos no negativos, entonces ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \operatorname {ess} \sup(fg)~\leq ~(\operatorname {ess} \sup f)\,(\operatorname {ess} \sup g).}$

Dado un espacio de medida, el espacio que consta de todas las funciones mensurables que están acotadas en casi todas partes es un espacio seminorma cuya seminorma ${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu ),}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\infty }(S,\mu )}$

$${\displaystyle \|f\|_{\infty }=\inf\{C\in \mathbb {R} _{\geq 0}:|f(x)|\leq C{\text{ for almost every }}x\}={\begin{cases}\operatorname {ess} \sup |f|&{\text{ if }}0<\mu (S),\\0&{\text{ if }}0=\mu (S),\end{cases}}}$$

supremo esencial^{[nb 1]} ${\displaystyle \mu (S)\neq 0.}$

Ver también

• ${\displaystyle L^{p}}$espacio  - Espacios funcionales que generalizan espacios normativos p de dimensión finita

Notas

1. Para funciones no medibles, la definición debe modificarse asumiendo que está contenida en un conjunto de medida cero. Alternativamente, se puede suponer que la medida está completa . ${\displaystyle f^{-1}(a,\infty )}$

1. Si entonces ${\displaystyle \mu (S)=0}$ ${\displaystyle \operatorname {ess} \sup |f|=-\infty .}$

Referencias

1. Dieudonné J .: Tratado de análisis, vol. II. Associated Press, Nueva York 1976. p 172 y siguientes.

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