Medida con valor de proyección

Medida matemática de valor-operador de interés en mecánica cuántica y análisis funcional

En matemáticas , particularmente en análisis funcional , una medida con valor de proyección (o medida espectral ) es una función definida en ciertos subconjuntos de un conjunto fijo y cuyos valores son proyecciones autoadjuntas en un espacio de Hilbert fijo . ^[1] Una medida con valor de proyección (PVM) es formalmente similar a una medida de valor real , excepto que sus valores son proyecciones autoadjuntas en lugar de números reales. Como en el caso de las medidas ordinarias, es posible integrar funciones de valor complejo con respecto a una PVM; el resultado de tal integración es un operador lineal en el espacio de Hilbert dado.

Las medidas con valores de proyección se utilizan para expresar resultados en la teoría espectral , como el importante teorema espectral para operadores autoadjuntos , en cuyo caso el PVM a veces se denomina medida espectral . El cálculo funcional de Borel para operadores autoadjuntos se construye utilizando integrales con respecto a los PVM. En mecánica cuántica , los PVM son la descripción matemática de las mediciones proyectivas . ^{[ aclaración necesaria ]} Se generalizan mediante medidas con valores de operador positivos (POVM) en el mismo sentido en que una matriz de densidad o estado mixto generaliza la noción de estado puro .

Definición

Sea un espacio de Hilbert complejo separable y un espacio medible que consta de un conjunto y una σ-álgebra de Borel en . Una medida con valor de proyección es una función de al conjunto de operadores autoadjuntos acotados en que satisface las siguientes propiedades: ^{[2] [3]} ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle (X,M)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle H}$

• ${\displaystyle \pi (E)}$es una proyección ortogonal para todos ${\displaystyle E\in M.}$
• ${\displaystyle \pi (\emptyset )=0}$y , donde es el conjunto vacío y el operador identidad . ${\displaystyle \pi (X)=I}$ ${\displaystyle \emptyset }$ ${\displaystyle I}$
• Si en son disjuntos, entonces para todos , ${\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3},\dotsc }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle v\in H}$

${\displaystyle \pi \left(\bigcup _{j=1}^{\infty }E_{j}\right)v=\sum _{j=1}^{\infty }\pi (E_{j})v.}$

• ${\displaystyle \pi (E_{1}\cap E_{2})=\pi (E_{1})\pi (E_{2})}$a pesar de ${\displaystyle E_{1},E_{2}\in M.}$

La segunda y cuarta propiedad muestran que si y son disjuntos, es decir, , las imágenes y son ortogonales entre sí. ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle E_{2}}$ ${\displaystyle E_{1}\cap E_{2}=\emptyset }$ ${\displaystyle \pi (E_{1})}$ ${\displaystyle \pi (E_{2})}$

Sea y su complemento ortogonal la imagen y el núcleo , respectivamente, de . Si es un subespacio cerrado de entonces puede escribirse como la descomposición ortogonal y es el único operador de identidad al satisfacer las cuatro propiedades. ^{[4] [5]} ${\displaystyle V_{E}=\operatorname {im} (\pi (E))}$ ${\displaystyle V_{E}^{\perp }=\ker(\pi (E))}$ ${\displaystyle \pi (E)}$ ${\displaystyle V_{E}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H=V_{E}\oplus V_{E}^{\perp }}$ ${\displaystyle \pi (E)=I_{E}}$ ${\displaystyle V_{E}}$

Para cada y la medida con valor de proyección forma una medida con valor complejo en definida como ${\displaystyle \xi ,\eta \in H}$ ${\displaystyle E\in M}$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle \mu _{\xi ,\eta }(E):=\langle \pi (E)\xi \mid \eta \rangle }$

con variación total como máximo . ^{[6] Se reduce a una} medida de valor real cuando ${\displaystyle \|\xi \|\|\eta \|}$

${\displaystyle \mu _{\xi }(E):=\langle \pi (E)\xi \mid \xi \rangle }$

y una medida de probabilidad cuando es un vector unitario . ${\displaystyle \xi }$

Ejemplo Sea un espacio de medida σ -finito y, para todo , sea ${\displaystyle (X,M,\mu )}$ ${\displaystyle E\in M}$

${\displaystyle \pi (E):L^{2}(X)\to L^{2}(X)}$

definirse como

${\displaystyle \psi \mapsto \pi (E)\psi =1_{E}\psi ,}$

es decir, como la multiplicación por la función indicadora en L 2 ( X ) . Luego define una medida con valor de proyección. ^[6] Por ejemplo, si , , y existe entonces la medida compleja asociada que toma una función medible y da la integral ${\displaystyle 1_{E}}$ ${\displaystyle \pi (E)=1_{E}}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle E=(0,1)}$ ${\displaystyle \phi ,\psi \in L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mu _{\phi ,\psi }}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \int _{E}f\,d\mu _{\phi ,\psi }=\int _{0}^{1}f(x)\psi (x){\overline {\phi }}(x)\,dx}$

Extensiones de medidas con valores de proyección

Si π es una medida con valor de proyección en un espacio medible ( X , M ), entonces el mapa

${\displaystyle \chi _{E}\mapsto \pi (E)}$

se extiende a una función lineal en el espacio vectorial de funciones escalonadas en X . De hecho, es fácil comprobar que esta función es un homomorfismo de anillo . Esta función se extiende de forma canónica a todas las funciones medibles complejas acotadas en X , y tenemos lo siguiente.

Teorema  —  Para cualquier función de Borel acotada en , existe un operador acotado único tal que ^{[7] [8]} ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T:H\to H}$

${\displaystyle \langle T\xi \mid \xi \rangle =\int _{X}f(\lambda )\,d\mu _{\xi }(\lambda ),\quad \forall \xi \in H.}$

donde es una medida de Borel finita dada por ${\displaystyle \mu _{\xi }}$

${\displaystyle \mu _{\xi }(E):=\langle \pi (E)\xi \mid \xi \rangle ,\quad \forall E\in M.}$

Por lo tanto, es un espacio de medida finito . ${\displaystyle (X,M,\mu )}$

El teorema también es correcto para funciones mensurables ilimitadas, pero entonces será un operador lineal ilimitado en el espacio de Hilbert . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle H}$

Esto permite definir el cálculo funcional de Borel para tales operadores y luego pasar a funciones mensurables mediante el teorema de representación de Riesz-Markov-Kakutani . Es decir, si es una función medible, entonces existe una medida única tal que ${\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$

${\displaystyle g(T):=\int _{\mathbb {R} }g(x)\,d\pi (x).}$

Teorema espectral

Sea un espacio de Hilbert complejo separable , un operador autoadjunto acotado y el espectro de . Entonces el teorema espectral dice que existe una única medida con valor de proyección , definida en un subconjunto de Borel , tal que ^[9] ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A:H\to H}$ ${\displaystyle \sigma (A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \pi ^{A}}$ ${\displaystyle E\subset \sigma (A)}$

${\displaystyle A=\int _{\sigma (A)}\lambda \,d\pi ^{A}(\lambda ),}$

donde la integral se extiende a una función ilimitada cuando el espectro de es ilimitado. ^[10] ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle A}$

Integrales directas

En primer lugar, proporcionamos un ejemplo general de medida con valor de proyección basado en integrales directas . Supongamos que ( X , M , μ) es un espacio de medida y que { H _x } _{x ∈ X} es una familia μ-medible de espacios de Hilbert separables. Para cada E ∈ M , sea π ( E ) el operador de multiplicación por 1 _E en el espacio de Hilbert

${\displaystyle \int _{X}^{\oplus }H_{x}\ d\mu (x).}$

Entonces π es una medida con valor de proyección en ( X , M ).

Supóngase que π , ρ son medidas con valores de proyección en ( X , M ) con valores en las proyecciones de H , K . π , ρ son unitariamente equivalentes si y solo si hay un operador unitario U : H → K tal que

${\displaystyle \pi (E)=U^{*}\rho (E)U\quad }$

para cada E ∈ M .

Teorema . Si ( X , M ) es un espacio de Borel estándar , entonces para cada medida π con valores de proyección en ( X , M ) que tome valores en las proyecciones de un espacio de Hilbert separable , existe una medida de Borel μ y una familia μ-medible de espacios de Hilbert { H _x } _{x ∈ X} , tal que π es unitariamente equivalente a la multiplicación por 1 _E en el espacio de Hilbert

${\displaystyle \int _{X}^{\oplus }H_{x}\ d\mu (x).}$

La clase de medida ^{[ aclaración necesaria ]} de μ y la clase de equivalencia de medida de la función de multiplicidad x → dim H _x caracterizan completamente la medida con valor de proyección hasta la equivalencia unitaria.

Una medida con valor de proyección π es homogénea de multiplicidad n si y solo si la función de multiplicidad tiene valor constante n . Claramente,

Teorema . Cualquier medida π con valores de proyección que tome valores en las proyecciones de un espacio de Hilbert separable es una suma directa ortogonal de medidas homogéneas con valores de proyección:

${\displaystyle \pi =\bigoplus _{1\leq n\leq \omega }(\pi \mid H_{n})}$

dónde

${\displaystyle H_{n}=\int _{X_{n}}^{\oplus }H_{x}\ d(\mu \mid X_{n})(x)}$

y

${\displaystyle X_{n}=\{x\in X:\dim H_{x}=n\}.}$

Aplicación en mecánica cuántica

En mecánica cuántica, dada una medida con valor de proyección de un espacio medible al espacio de endomorfismos continuos sobre un espacio de Hilbert , ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H}$

• El espacio proyectivo del espacio de Hilbert se interpreta como el conjunto de estados posibles ( normalizables ) de un sistema cuántico, ^[11] ${\displaystyle \mathbf {P} (H)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \varphi }$
• El espacio medible es el espacio de valores para alguna propiedad cuántica del sistema (un "observable"), ${\displaystyle X}$
• La medida de valor de proyección expresa la probabilidad de que el observable adopte varios valores. ${\displaystyle \pi }$

Una opción común es la línea real, pero también puede ser ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$(para posición o momento en tres dimensiones),
• un conjunto discreto (para momento angular, energía de un estado ligado, etc.),
• el conjunto de 2 puntos "verdadero" y "falso" para el valor de verdad de una proposición arbitraria sobre . ${\displaystyle \varphi }$

Sea un subconjunto medible de y un estado cuántico vectorial normalizado en , de modo que su norma de Hilbert es unitaria, . La probabilidad de que el observable tome su valor en , dado el sistema en el estado , es ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \|\varphi \|=1}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle P_{\pi }(\varphi )(E)=\langle \varphi \mid \pi (E)(\varphi )\rangle =\langle \varphi |\pi (E)|\varphi \rangle .}$

Podemos analizar esto de dos maneras. Primero, para cada fijo , la proyección es un operador autoadjunto en cuyo espacio propio 1 están los estados para los cuales el valor del observable siempre se encuentra en , y cuyo espacio propio 0 son los estados para los cuales el valor del observable nunca se encuentra en . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \pi (E)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle E}$

En segundo lugar, para cada estado vectorial normalizado fijo , la asociación ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle P_{\pi }(\varphi ):E\mapsto \langle \varphi \mid \pi (E)\varphi \rangle }$

es una medida de probabilidad de convertir los valores del observable en una variable aleatoria. ${\displaystyle X}$

Una medición que puede realizarse mediante una medida con valores de proyección se denomina medición proyectiva . ${\displaystyle \pi }$

Si es la recta numérica real, existe, asociado a , un operador autoadjunto definido por ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle A(\varphi )=\int _{\mathbb {R} }\lambda \,d\pi (\lambda )(\varphi ),}$

Lo que se reduce a

${\displaystyle A(\varphi )=\sum _{i}\lambda _{i}\pi ({\lambda _{i}})(\varphi )}$

si el soporte de es un subconjunto discreto de . ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle X}$

El operador anterior se denomina observable asociado con la medida espectral. ${\displaystyle A}$

Generalizaciones

La idea de una medida con valor de proyección se generaliza mediante la medida con valor de operador positivo (POVM), donde la necesidad de la ortogonalidad implícita en los operadores de proyección se reemplaza por la idea de un conjunto de operadores que son una partición no ortogonal de la unidad ^{[ aclaración necesaria ]} . Esta generalización está motivada por aplicaciones a la teoría de la información cuántica .

Véase también

• Teorema espectral
• Teoría espectral de operadores compactos
• Teoría espectral de las C*-álgebras normales

Notas

1. Conway 2000, pág. 41.
2. Hall 2013, pág. 138.
3. Reed y Simon 1980, pág. 234.
4. Rudin 1991, pág. 308.
5. Hall 2013, pág. 541.
6. Conway 2000, pág. 42.
7. Kowalski, Emmanuel (2009), Teoría espectral en espacios de Hilbert (PDF) , notas de clase de la ETH de Zúrich, pág. 50
8. Reed y Simon 1980, pág. 227,235.
9. Reed y Simon 1980, pág. 235.
10. Hall 2013, pág. 205.
11. Ashtekar y Schilling 1999, págs. 23–65.

Referencias

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