Medida finita

En la teoría de la medida , una rama de las matemáticas , una medida finita o medida totalmente finita ^[1] es una medida especial que siempre toma valores finitos. Entre las medidas finitas se encuentran las medidas de probabilidad . Las medidas finitas suelen ser más fáciles de manejar que las medidas más generales y muestran una variedad de propiedades diferentes según los conjuntos en los que se definen.

Definición

Una medida en el espacio medible se denomina medida finita si satisface ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$

${\displaystyle \mu (X)<\infty .}$

Por la monotonía de las medidas, esto implica

${\displaystyle \mu (A)<\infty {\text{ for all }}A\in {\mathcal {A}}.}$

Si es una medida finita, el espacio de medida se denomina espacio de medida finito o espacio de medida totalmente finito . ^[1] ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$

Propiedades

Caso general

Para cualquier espacio medible, las medidas finitas forman un cono convexo en el espacio de Banach de medidas con signo con la norma de variación total . Los subconjuntos importantes de las medidas finitas son las medidas de subprobabilidad, que forman un subconjunto convexo , y las medidas de probabilidad, que son la intersección de la esfera unitaria en el espacio normado de medidas con signo y las medidas finitas.

Espacios topológicos

Si es un espacio de Hausdorff y contiene el álgebra de Borel, entonces toda medida finita es también una medida de Borel localmente finita . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \sigma }$

Espacios métricos

Si es un espacio métrico y es nuevamente el álgebra de Borel, se puede definir la convergencia débil de medidas . La topología correspondiente se llama topología débil y es la topología inicial de todas las funciones continuas acotadas en . La topología débil corresponde a la topología débil* en el análisis funcional. Si también es separable , la convergencia débil se metriciza mediante la métrica de Lévy–Prokhorov . ^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Espacios polacos

Si es un espacio polaco y es el álgebra de Borel, entonces toda medida finita es una medida regular y por lo tanto una medida de Radon . ^[3] Si es polaco, entonces el conjunto de todas las medidas finitas con la topología débil también es polaco. ^[4] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle X}$

Referencias

1. Anosov, DV (2001) [1994], "Espacio de medida", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
2. Klenke, Achim (2008). Probability Theory . Berlín: Springer. pág. 252. doi :10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.
3. Klenke, Achim (2008). Probability Theory . Berlín: Springer. pág. 248. doi :10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.
4. Kallenberg, Olav (2017). Medidas aleatorias, teoría y aplicaciones . Teoría de la probabilidad y modelado estocástico. Vol. 77. Suiza: Springer. p. 112. doi :10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN 978-3-319-41596-3.