Medida regular

En matemáticas , una medida regular en un espacio topológico es una medida para la cual cada conjunto medible puede aproximarse desde arriba mediante conjuntos mensurables abiertos y desde abajo mediante conjuntos mensurables compactos.

Definición

Sea ( X ,  T ) un espacio topológico y sea Σ una σ-álgebra en X . Sea μ una medida de ( X , Σ). Se dice que un subconjunto A medible de X es regular interno si

${\displaystyle \mu (A)=\sup\{\mu (F)\mid F\subseteq A,F{\text{ compact and measurable}}\}}$

y se dice que es regular exterior si

${\displaystyle \mu (A)=\inf\{\mu (G)\mid G\supseteq A,G{\text{ open and measurable}}\}}$

• Una medida se llama regular interna si todo conjunto mensurable es regular interna. Algunos autores utilizan una definición diferente: una medida se llama regular interna si todo conjunto abierto medible es regular interno.
• Una medida se llama regular exterior si todo conjunto mensurable es regular exterior.
• Una medida se llama regular si es regular exterior y regular interior.

Ejemplos

Medidas regulares

• La medida de Lebesgue sobre la recta real es una medida regular: véase el teorema de regularidad de la medida de Lebesgue .
• Cualquier medida de probabilidad de Baire en cualquier espacio de Hausdorff σ-compacto localmente compacto es una medida regular.
• Cualquier medida de probabilidad de Borel en un espacio de Hausdorff localmente compacto con una base contable para su topología, o espacio métrico compacto, o espacio de radón , es regular.

Medidas regulares interiores que no son regulares exteriores

• Un ejemplo de una medida en la línea real con su topología habitual que no es regular exterior es la medida donde , y para cualquier otro conjunto . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu (\emptyset )=0}$ ${\displaystyle \mu \left(\{1\}\right)=0\,\,}$ ${\displaystyle \mu (A)=\infty \,\,}$ ${\displaystyle A}$
• La medida de Borel en el plano que asigna a cualquier conjunto de Borel la suma de las medidas (unidimensionales) de sus secciones horizontales es regular interior pero no regular exterior, ya que todo conjunto abierto no vacío tiene medida infinita. Una variación de este ejemplo es una unión disjunta de un número incontable de copias de la línea real con medida de Lebesgue.
• Bourbaki (2004, Capítulo IV, Ejercicio 5 de la sección 1) da un ejemplo de una medida de Borel en un espacio de Hausdorff localmente compacto que es regular interno, σ-finito y localmente finito pero no regular externo de la siguiente manera. El espacio topológico tiene como conjunto subyacente el subconjunto del plano real dado por el eje y junto con los puntos (1/ n , m / n ² ) con m , n enteros positivos. La topología se da de la siguiente manera. Los puntos individuales (1/ n , m / n2 ) son todos conjuntos abiertos ^. Una base de vecindades del punto (0, y ) está dada por cuñas que constan de todos los puntos en X de la forma ( u , v ) con | v  −  y | ≤ | tu | ≤ 1/ n para un entero positivo n . Este espacio X es localmente compacto. La medida μ se obtiene dejando que el eje y tenga una medida 0 y dejando que el punto (1/ n , m / n ² ) tenga una medida 1/ n ³ . Esta medida es regular interna y localmente finita, pero no es regular externa ya que cualquier conjunto abierto que contenga el eje y tiene medida infinita. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{0\}\times \mathbb {R} }$

Medidas regulares exteriores que no son regulares interiores

• Si μ es la medida regular interna en el ejemplo anterior, y M es la medida dada por M ( S ) = inf _{U ⊇ S}  μ ( U ) donde la inf se toma sobre todos los conjuntos abiertos que contienen el conjunto de Borel S , entonces M es una medida de Borel localmente finita regular externa en un espacio de Hausdorff localmente compacto que no es regular internamente en el sentido fuerte, aunque todos los conjuntos abiertos son regulares internos, por lo que es regular interno en el sentido débil. Las medidas M y μ coinciden en todos los conjuntos abiertos, todos los conjuntos compactos y todos los conjuntos en los que M tiene medida finita. El eje y tiene una medida M infinita , aunque todos sus subconjuntos compactos tienen una medida 0.
• Un cardinal medible con topología discreta tiene una medida de probabilidad de Borel tal que cada subconjunto compacto tiene medida 0, por lo que esta medida es regular externa pero no regular interna. La existencia de cardinales mensurables no se puede probar en la teoría de conjuntos ZF pero (a partir de 2013) se cree que es consistente con ella.

Medidas que no son ni interiores ni exteriores regulares

• El espacio de todos los ordinales como máximo igual al primer ordinal incontable Ω, con la topología generada por intervalos abiertos, es un espacio compacto de Hausdorff. La medida que asigna la medida 1 a los conjuntos de Borel que contienen un subconjunto cerrado ilimitado de ordinales contables y asigna 0 a otros conjuntos de Borel es una medida de probabilidad de Borel que no es regular interna ni externa.

Ver también

• Medida regular de Borel
• Medida de radón
• Teorema de regularidad para la medida de Lebesgue

Referencias

• Billingsley, Patricio (1999). Convergencia de medidas de probabilidad . Nueva York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-19745-9.
• Bourbaki, Nicolás (2004). Integración I. Springer-Verlag. ISBN 3-540-41129-1.
• Parthasarathy, KR (2005). Medidas de probabilidad en espacios métricos . AMS Chelsea Publishing, Providence, RI. pag. xii+276. ISBN 0-8218-3889-X. MR 2169627 (Ver capítulo 2)
• Dudley, RM (1989). Análisis Real y Probabilidad . Chapman y Hall.