espacio de loeb

En matemáticas, un espacio de Loeb es un tipo de espacio de medida introducido por Loeb  (1975) mediante análisis no estándar .

Construcción

La construcción de Loeb comienza con un mapa finitamente aditivo de un álgebra interna de conjuntos a los reales no estándar . Defina que está dado por la parte estándar de , por lo que es un mapa finitamente aditivo desde los reales extendidos . Incluso si es un álgebra no estándar , no es necesario que sea un álgebra ordinaria, ya que generalmente no está cerrada bajo uniones contables. En cambio, el álgebra tiene la propiedad de que si un conjunto es la unión de una familia contable de elementos de , entonces el conjunto es la unión de un número finito de elementos de la familia, por lo que, en particular, cualquier aplicación finitamente aditiva (como ) desde hasta los reales extendidos es automáticamente aditivo contable. Definir como el álgebra generada por . Luego, según el teorema de extensión de Carathéodory, la medida en se extiende a una medida contablemente aditiva en , llamada medida de Loeb. ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

Referencias

• Cutland, Nigel J. (2000), Medidas de Loeb en la práctica: avances recientes , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1751, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/b76881, ISBN 978-3-540-41384-4, señor  1810844
• Goldblatt, Robert (1998), Conferencias sobre lo hiperreal, Textos de posgrado en matemáticas, vol. 188, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-1-4612-0615-6, ISBN 978-0-387-98464-3, señor  1643950
• Loeb, Peter A. (1975). "Conversión de espacios de medida no estándar a espacios de medida estándar y aplicaciones en teoría de la probabilidad". Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense . 211 : 113–22. doi : 10.2307/1997222 . ISSN  0002-9947. JSTOR  1997222. SEÑOR  0390154 - vía JSTOR .

enlaces externos

• Página de inicio de Peter Loeb