Cardinal mensurable

Concepto de teoría de conjuntos

En matemáticas , un cardinal medible es un cierto tipo de número cardinal grande . Para definir el concepto, se introduce una medida de dos valores en un cardinal κ , o más generalmente en cualquier conjunto. Para un cardinal κ , se puede describir como una subdivisión de todos sus subconjuntos en conjuntos grandes y pequeños, de modo que κ en sí es grande, ∅ y todos los singletons { α }, α ∈ κ son pequeños, los complementos de conjuntos pequeños son grandes y viceversa. La intersección de conjuntos menores que κ grandes es nuevamente grande. ^[1]

Resulta que los cardenales incontables dotados de una medida de dos valores son cardenales grandes cuya existencia no se puede probar a partir de ZFC . ^[2]

El concepto de cardenal mensurable fue introducido por Stanisław Ulam en 1930. ^[3]

Definición

Formalmente, un cardinal medible es un número cardinal incontable κ tal que existe una medida κ-aditiva, no trivial, con valor 0-1 en el conjunto de potencias de  κ . (Aquí el término κ-aditivo significa que, para cualquier secuencia A _α , α<λ de cardinalidad λ  <  κ , siendo A _α conjuntos disjuntos por pares de ordinales menores que κ, la medida de la unión de A _α es igual a la suma de las medidas del individuo A _α .)

De manera equivalente, κ es medible significa que es el punto crítico de una incrustación elemental no trivial del universo V en una clase transitiva M. Esta equivalencia se debe a Jerome Keisler y Dana Scott , y utiliza la construcción de ultrapotencia de la teoría de modelos . Dado que V es una clase propiamente dicha , es necesario abordar un problema técnico que no suele estar presente cuando se consideran ultrapoderes, mediante lo que ahora se llama el truco de Scott .

De manera equivalente, κ es un cardinal medible si y solo si es un cardinal incontable con un ultrafiltro no principal κ -completo . Nuevamente, esto significa que la intersección de cualquier conjunto estrictamente menor que κ -muchos en el ultrafiltro también está en el ultrafiltro.

Propiedades

Es trivial observar que si κ admite una medida κ-aditiva no trivial, entonces κ debe ser regular. (Por no trivialidad y κ-aditividad, cualquier subconjunto de cardinalidad menor que κ debe tener medida 0, y luego por κ-aditividad nuevamente, esto significa que el conjunto completo no debe ser una unión de menos de κ conjuntos de cardinalidad menores que κ.) Finalmente, si λ < κ, entonces no puede ser que κ ≤ 2 ^λ . Si este fuera el caso, entonces podríamos identificar κ con alguna colección de 0-1 secuencias de longitud λ . Para cada posición en la secuencia, el subconjunto de secuencias con 1 en esa posición o el subconjunto con 0 en esa posición tendrían que tener medida 1. La intersección de estos λ -muchos subconjuntos de medida 1 también tendría que tener medida 1. , pero contendría exactamente una secuencia, lo que contradeciría la no trivialidad de la medida. Así, asumiendo el Axioma de Elección, podemos inferir que κ es un cardinal límite fuerte, lo que completa la prueba de su inaccesibilidad.

Aunque de ZFC se desprende que todo cardenal mensurable es inaccesible (y es inefable , Ramsey , etc.), es coherente con ZF que un cardenal mensurable puede ser un cardenal sucesor . De ZF + axioma de determinabilidad se deduce que ω ₁ es mensurable, ^[4] y que cada subconjunto de ω ₁ contiene o es disjunto de un subconjunto cerrado e ilimitado .

Ulam demostró que el cardinal κ más pequeño que admite una medida de dos valores contablemente aditiva no trivial debe de hecho admitir una medida κ-aditiva. (Si hubiera alguna colección de menos de κ subconjuntos de medida-0 cuya unión fuera κ, entonces la medida inducida en esta colección sería un contraejemplo de la minimalidad de κ). A partir de ahí, se puede probar (con el axioma de elección) que el menos tal cardenal debe ser inaccesible.

Si κ es medible y p ∈ V _κ y M (la ultrapotencia de V ) satisface ψ(κ, p ), entonces el conjunto de α  <  κ tal que V satisface ψ ( α , p ) es estacionario en κ (en realidad un conjunto de la medida 1). En particular, si ψ es una fórmula Π _{1 y} V satisface ψ(κ, p ), entonces M la satisface y, por tanto, V satisface ψ ( α , p ) para un conjunto estacionario de α  <  κ . Esta propiedad se puede utilizar para demostrar que κ es un límite de la mayoría de los tipos de cardinales grandes que son más débiles que medibles. Tenga en cuenta que el ultrafiltro o medida que atestigua que κ es medible no puede estar en M ya que el cardinal medible más pequeño tendría que tener otro debajo de él, lo cual es imposible.

Si se comienza con una incrustación elemental j ₁ de V en M ₁ con el punto crítico κ, entonces se puede definir un ultrafiltro U en κ como { S ⊆κ : κ∈ j ₁ ( S ) }. Luego, tomando una ultrapotencia de V sobre U podemos obtener otra incorporación elemental j ₂ de V en M ₂ . Sin embargo, es importante recordar que j ₂ ≠ j ₁ . Por lo tanto, otros tipos de cardenales grandes, como los cardenales fuertes, también pueden ser mensurables, pero sin utilizar la misma incrustación. Se puede demostrar que un cardinal fuerte κ es medible y también tiene κ-muchos cardenales mensurables debajo.

Cada cardinal medible κ es un cardinal 0- enorme porque ^κ M ⊆ M , es decir, cada función de κ a M está en M . En consecuencia, V _{κ +1} ⊆ M .

Implicaciones de la existencia

Si existe un cardinal mensurable, cada conjunto de reales (con respecto a la jerarquía de Borel ) tiene una medida de Lebesgue . ^[4] En particular, cualquier conjunto de reales no mensurables no debe ser . ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{2}^{1}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{2}^{1}}$

Valor real medible

Un cardinal κ se llama medible de valor real si hay una medida de probabilidad κ-aditiva en el conjunto de potencias de κ que desaparece en los singletons. Stefan Banach (1930) introdujo los cardenales mensurables de valor real  . Banach y Kuratowski (1929) demostraron que la hipótesis del continuo implica que el valor real no es mensurable. Stanislaw Ulam  (1930) demostró (ver más abajo partes de la prueba de Ulam) que los cardenales mensurables con valor real son débilmente inaccesibles (de hecho, son débilmente Mahlo ). Todos los cardinales mensurables son medibles de valor real, y un cardinal mensurable de valor real κ es mensurable si y sólo si κ es mayor que . Así, un cardenal es mensurable si y sólo si es mensurable en valor real y fuertemente inaccesible. Un cardinal mensurable de valor real menor o igual a existe si y solo si hay una extensión contablemente aditiva de la medida de Lebesgue a todos los conjuntos de números reales si y solo si hay una medida de probabilidad sin átomos en el conjunto de potencias de algún no vacío colocar. ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$

Solovay (1971) demostró que la existencia de cardenales mensurables en ZFC, cardenales mensurables de valor real en ZFC y cardenales mensurables en ZF son equiconsistentes .

Débil inaccesibilidad a cardenales mensurables de valor real

Digamos que un número cardinal α es un número de Ulam si ^{[5] [nb 1]}

cuando sea

entonces

${\displaystyle \operatorname {card} X\leq \alpha \Rightarrow \mu (X)=0.}$

De manera equivalente, un número cardinal α es un número de Ulam si

cuando sea

1. ν es una medida exterior en un conjunto Y , y F una familia disjunta de subconjuntos de Y ,
2. ${\displaystyle \nu \left(\bigcup F\right)<\infty ,}$
3. ${\displaystyle \nu (A)=0}$para ${\displaystyle A\in F,}$
4. ${\displaystyle \bigcup G}$es ν -medible para cada ${\displaystyle G\subset F}$

entonces

${\displaystyle \operatorname {card} F\leq \alpha \Rightarrow \nu \left(\bigcup F\right)=0.}$

El cardinal infinito más pequeño es un número de Ulam. La clase de números Ulam está cerrada bajo la operación cardinal sucesora . ^[6] Si un cardinal infinito β tiene un predecesor inmediato α que es un número de Ulam, supongamos que μ satisface las propiedades ( 1 )–( 4 ) con . En el modelo de von Neumann de ordinales y cardinales, elija funciones inyectivas ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle X=\beta }$

${\displaystyle f_{x}:x\rightarrow \alpha ,\quad \forall x\in \beta ,}$

y definir los conjuntos

${\displaystyle U(b,a)=\{x\in \beta :f_{x}(b)=a\},\quad a\in \alpha ,b\in \beta .}$

Como son uno a uno, los conjuntos ${\displaystyle f_{x}}$

${\displaystyle \left\{U(b,a),b\in \beta \right\}{\text{(}}a{\text{ fixed)}},}$

${\displaystyle \left\{U(b,a),a\in \alpha \right\}{\text{(}}b{\text{ fixed)}}}$

son disjuntos. Por la propiedad ( 2 ) de μ , el conjunto

${\displaystyle \left\{b\in \beta :\mu (U(b,a))>0\right\}}$

es contable y por lo tanto

${\displaystyle \operatorname {card} \left\{(b,a)\in \beta \times \alpha |\mu (U(b,a))>0\right\}\leq \aleph _{0}\cdot \alpha =\alpha .}$

Por lo tanto existe tal que ${\displaystyle b_{0}}$

${\displaystyle \mu (U(b_{0},a))=0\quad \forall a\in \alpha }$

lo que implica, dado que α es un número de Ulam y usando la segunda definición (con y condiciones ( 1 ) – ( ​​4 ) cumplidas), ${\displaystyle \nu =\mu }$

${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{a\in \alpha }U(b_{0},a)\right)=0.}$

Si entonces así ${\displaystyle b_{0}<x<\beta ,}$ ${\displaystyle f_{x}(b_{0})=a_{x}\Rightarrow x\in U(b_{0},a_{x}).}$

${\displaystyle \beta =b_{0}\cup \{b_{0}\}\cup \bigcup _{a\in \alpha }U(b_{0},a),}$

Por la propiedad ( 2 ), y dado que , por ( 4 ), ( 2 ) y ( 3 ), se deduce que la conclusión es que β es un número de Ulam. ${\displaystyle \mu \{b_{0}\}=0,}$ ${\displaystyle \operatorname {card} b_{0}\leq \alpha }$ ${\displaystyle \mu (b_{0})=0.}$ ${\displaystyle \mu (\beta )=0.}$

Hay una prueba similar ^[7] de que el supremo de un conjunto S de números Ulam con un número Ulam es nuevamente un número Ulam. Junto con el resultado anterior, esto implica que un cardinal que no sea un número de Ulam es débilmente inaccesible . ${\displaystyle \operatorname {card} S}$

Ver también

• medida normal
• orden mitchell
• Lista de grandes propiedades cardinales

Notas

1. La noción en el artículo Número de Ulam es diferente.

Citas

1. Maddy 1988
2. Jech 2002
3. Ulán 1930
4. T. Jech, "El feliz nuevo mundo de la determinación" (descarga en PDF). Boletín de la Sociedad Estadounidense de Matemáticas, vol. 5, número 3, noviembre de 1981 (págs. 339--349).
5. Federer 1996, Sección 2.1.6
6. Federer 1996, Segunda parte del teorema en la sección 2.1.6.
7. Federer 1996, Primera parte del teorema en la sección 2.1.6.

Referencias

• Banach, Stefan (1930), "Über aditivo Maßfunktionen in abstrakten Mengen", Fundamenta Mathematicae , 15 : 97–101, doi : 10.4064/fm-15-1-97-101 , ISSN  0016-2736.
• Banach, Stefan ; Kuratowski, Kazimierz (1929), "Sur une généralisation du probleme de la mesure", Fundamenta Mathematicae , 14 : 127–131, doi : 10.4064/fm-14-1-127-131 , ISSN  0016-2736.
• Drake, FR (1974), Teoría de conjuntos: Introducción a los cardinales grandes (Estudios de lógica y fundamentos de las matemáticas; V.76) , Elsevier Science Ltd, ISBN 978-0-7204-2279-5.
• Federer, H. (1996) [1969], Teoría de la medida geométrica , Clásicos de las matemáticas (1.ª ed., reimpresión), Berlín, Heidelberg, Nueva York: Springer Verlag , ISBN 978-3540606567.
• Jech, Thomas (2002), Teoría de conjuntos, edición del tercer milenio (revisada y ampliada) , Springer, ISBN 3-540-44085-2.
• Kanamori, Akihiro (2003), El infinito superior: grandes cardenales en la teoría de conjuntos desde sus inicios (2ª ed.), Springer, ISBN 3-540-00384-3.
• Maddy, Penélope (1988), "Creer en los axiomas. II", The Journal of Symbolic Logic , 53 (3): 736–764, doi :10.2307/2274569, JSTOR  2274569, S2CID  16544090. Una copia de las partes I y II de este artículo con correcciones está disponible en la página web del autor.
• Solovay, Robert M. (1971), "Cardenales medibles con valor real", Teoría de conjuntos axiomáticos (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XIII, Parte I, Univ. California, Los Ángeles, California, 1967) , Providence , Rhode Island: Amer. Matemáticas. Soc., págs. 397–428, SEÑOR  0290961.
• Ulam, Stanislaw (1930), "Zur Masstheorie in der allgemeinen Mengenlehre", Fundamenta Mathematicae , 16 : 140–150, doi : 10.4064/fm-16-1-140-150 , ISSN  0016-2736.