conjunto de palos

Concepto de teoría de conjuntos

En matemáticas , particularmente en lógica matemática y teoría de conjuntos , un conjunto de clubes es un subconjunto de un ordinal límite que está cerrado bajo la topología de orden y es ilimitado (ver más abajo) en relación con el ordinal límite. El nombre club es una contracción de "cerrado e ilimitado".

Definicion formal

Formalmente, si es un ordinal límite, entonces un conjunto está cerrado en si y sólo si para cada si entonces. Por lo tanto, si el límite de alguna secuencia de es menor que entonces el límite también está en ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle C\subseteq \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \alpha <\kappa ,}$ ${\displaystyle \sup(C\cap \alpha )=\alpha \neq 0,}$ ${\displaystyle \alpha \in C.}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \kappa ,}$ ${\displaystyle C.}$

Si es un ordinal límite y luego es ilimitado si para alguno existe algo tal que ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle C\subseteq \kappa }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \alpha <\kappa ,}$ ${\displaystyle \beta \in C}$ ${\displaystyle \alpha <\beta .}$

Si un conjunto es cerrado e ilimitado, entonces es un conjunto de clubes . Las clases propias cerradas también son de interés (cada clase propia de ordinales es ilimitada en la clase de todos los ordinales).

Por ejemplo, el conjunto de todos los ordinales límite contables es un conjunto club respecto del primer ordinal incontable ; pero no es un club establecido con respecto a ningún ordinal de límite superior, ya que no es ni cerrado ni ilimitado. Si es un ordinal inicial incontable , entonces el conjunto de todos los ordinales límite es cerrado e ilimitado. De hecho, un conjunto de clubes no es más que el rango de una función normal (es decir, creciente y continua). ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \alpha <\kappa }$ ${\displaystyle \kappa .}$

De manera más general, si es un conjunto no vacío y es cardinal , entonces (el conjunto de subconjuntos de cardinalidad ) es club si cada unión de un subconjunto de está en y cada subconjunto de cardinalidad es menor que lo que está contenido en algún elemento de (ver conjunto estacionario ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle C\subseteq [X]^{\lambda }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle C}$

El filtro cerrado ilimitado

Sea un ordinal límite de cofinalidad incontable. Para algunos , sea una secuencia de subconjuntos cerrados ilimitados de Entonces también es cerrado ilimitado. Para ver esto, se puede observar que una intersección de conjuntos cerrados siempre es cerrada, por lo que sólo necesitamos demostrar que esta intersección no está acotada. Así que arregle cualquiera y para cada n < ω elija de cada uno un elemento que sea posible porque cada uno es ilimitado. Dado que se trata de una colección de ordinales menores que, todos los menores que su límite superior mínimo también deben ser menores que, así podemos llamarlo. Este proceso genera una secuencia contable. El límite de esta secuencia de hecho también debe ser el límite de la secuencia y, dado que cada uno es cerrado y es incontable, este límite debe estar en cada uno y por lo tanto este límite es un elemento de la intersección que está arriba lo que muestra que la intersección no está acotada. QED. ${\displaystyle \kappa \,}$ ${\displaystyle \lambda \,.}$ ${\displaystyle \alpha <\lambda \,}$ ${\displaystyle \langle C_{\xi }:\xi <\alpha \rangle \,}$ ${\displaystyle \kappa \,.}$ ${\displaystyle \bigcap _{\xi <\alpha }C_{\xi }\,}$ ${\displaystyle \beta _{0}<\kappa \,,}$ ${\displaystyle C_{\xi }\,}$ ${\displaystyle \beta _{n+1}^{\xi }>\beta _{n}\,,}$ ${\displaystyle \lambda \,}$ ${\displaystyle \kappa \,,}$ ${\displaystyle \kappa \,,}$ ${\displaystyle \beta _{n+1}\,.}$ ${\displaystyle \beta _{0},\beta _{1},\beta _{2},\ldots \,.}$ ${\displaystyle \beta _{0}^{\xi },\beta _{1}^{\xi },\beta _{2}^{\xi },\ldots \,,}$ ${\displaystyle C_{\xi }\,}$ ${\displaystyle \lambda \,}$ ${\displaystyle C_{\xi }\,,}$ ${\displaystyle \beta _{0}\,,}$

A partir de esto, se puede ver que si es un cardinal regular , entonces es un filtro adecuado completo y no principal en el conjunto (es decir, en el poset ). ${\displaystyle \kappa \,}$ ${\displaystyle \{S\subseteq \kappa :\exists C\subseteq S{\text{ such that }}C{\text{ is closed unbounded in }}\kappa \}}$ ${\displaystyle \kappa \,}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle (\wp (\kappa ),\subseteq )}$

Si es un cardenal regular, los conjuntos de tréboles también están cerrados bajo la intersección diagonal . ${\displaystyle \kappa \,}$

De hecho, si es regular y hay algún filtro en una intersección diagonal cerrada, que contenga todos los conjuntos del formulario, entonces debe incluir todos los conjuntos de clubes. ${\displaystyle \kappa \,}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\,}$ ${\displaystyle \kappa \,,}$ ${\displaystyle \{\xi <\kappa :\xi \geq \alpha \}\,}$ ${\displaystyle \alpha <\kappa \,,}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\,}$

Ver también

• Clubsuit  : en teoría de conjuntos, el principio combinatorio de que, para cada 𝑆⊂ω₁ estacionario, existe una secuencia de conjuntos 𝐴_𝛿 (𝛿∈𝑆) tal que 𝐴_𝛿 es un subconjunto cofinal de 𝛿 y cada subconjunto ilimitado de ω₁ está contenido en algún 𝐴_𝛿Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Filtro (matemáticas)  : en matemáticas, un subconjunto especial de un conjunto parcialmente ordenado
• Filtros en topología  : uso de filtros para describir y caracterizar todas las nociones y resultados topológicos básicos.
• Conjunto estacionario  : concepto de teoría de conjuntos

Referencias

• Jech, Thomas , 2003. Teoría de conjuntos: edición del tercer milenio, revisada y ampliada . Saltador. ISBN  3-540-44085-2 .
• Lévy, Azriel (1979) Teoría básica de conjuntos , Perspectivas en lógica matemática, Springer-Verlag. Reimpreso en 2002, Dover. ISBN 0-486-42079-5 
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