Conjunto estacionario

Concepto de teoría de conjuntos

En matemáticas , específicamente en teoría de conjuntos y teoría de modelos , un conjunto estacionario es un conjunto que no es demasiado pequeño en el sentido de que interseca todos los conjuntos de club y es análogo a un conjunto de medida distinta de cero en la teoría de la medida . Hay al menos tres nociones estrechamente relacionadas de conjunto estacionario, dependiendo de si uno está mirando subconjuntos de un ordinal , o subconjuntos de algo de cardinalidad dada , o un conjunto potencia .

Noción clásica

Si es un cardinal de cofinalidad incontable , e interseca todo conjunto de tréboles en entonces se denomina conjunto estacionario . ^[1] Si un conjunto no es estacionario, se denomina conjunto delgado . Esta noción no debe confundirse con la noción de conjunto delgado en teoría de números . ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle S\subseteq \kappa ,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \kappa ,}$ ${\displaystyle S}$

Si es un conjunto estacionario y es un conjunto de clubes, entonces su intersección también es estacionaria. Esto se debe a que si es cualquier conjunto de clubes, entonces es un conjunto de clubes, por lo tanto no está vacío. Por lo tanto, debe ser estacionario. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle S\cap C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle C\cap D}$ ${\displaystyle (S\cap C)\cap D=S\cap (C\cap D)}$ ${\displaystyle (S\cap C)}$

Véase también : Lema de Fodor

La restricción a la cofinalidad incontable se aplica para evitar trivialidades: supongamos que tiene cofinalidad contable. Entonces es estacionario en si y solo si está acotado en . En particular, si la cofinalidad de es , entonces dos subconjuntos estacionarios cualesquiera de tienen intersección estacionaria. ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle S\subseteq \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa \setminus S}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \omega =\aleph _{0}}$ ${\displaystyle \kappa }$

Esto ya no es así si la cofinalidad de es incontable. De hecho, supongamos que es además regular y estacionario. Entonces se puede dividir en muchos conjuntos estacionarios disjuntos. Este resultado se debe a Solovay . Si es un cardinal sucesor , este resultado se debe a Ulam y se muestra fácilmente por medio de lo que se llama una matriz de Ulam . ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle S\subseteq \kappa }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$

H. Friedman ha demostrado que para cada ordinal sucesor contable , cada subconjunto estacionario de contiene un subconjunto cerrado de tipo de orden . ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \beta }$

La noción de Jech

También existe una noción de subconjunto estacionario de , para un cardinal y un conjunto tales que , donde es el conjunto de subconjuntos de de cardinalidad : . Esta noción se debe a Thomas Jech . Como antes, es estacionario si y solo si cumple con cada club, donde un subconjunto de club de es un conjunto no acotado bajo y cerrado bajo la unión de cadenas de longitud como máximo . Estas nociones son en general diferentes, aunque para y coinciden en el sentido de que es estacionario si y solo si es estacionario en . ${\displaystyle [X]^{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle |X|\geq \lambda }$ ${\displaystyle [X]^{\lambda }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle [X]^{\lambda }=\{Y\subseteq X:|Y|=\lambda \}}$ ${\displaystyle S\subseteq [X]^{\lambda }}$ ${\displaystyle [X]^{\lambda }}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle X=\omega _{1}}$ ${\displaystyle \lambda =\aleph _{0}}$ ${\displaystyle S\subseteq [\omega _{1}]^{\omega }}$ ${\displaystyle S\cap \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$

La versión apropiada del lema de Fodor también es válida para esta noción.

Noción generalizada

Existe una tercera noción, de naturaleza teórica de modelos y a la que a veces se denomina estacionariedad generalizada . Esta noción probablemente se deba a Magidor , Foreman y Shelah y también ha sido utilizada de forma destacada por Woodin .

Sea ahora un conjunto no vacío. Un conjunto es club (cerrado e ilimitado) si y solo si existe una función tal que . Aquí, es la colección de subconjuntos finitos de . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$ ${\displaystyle F:[X]^{<\omega }\to X}$ ${\displaystyle C=\{z:F[[z]^{<\omega }]\subseteq z\}}$ ${\displaystyle [y]^{<\omega }}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle S\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$es estacionario en si y solo si cumple cada subconjunto del club de . ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$

Para ver la conexión con la teoría de modelos, observe que si es una estructura con universo en un lenguaje contable y es una función de Skolem para , entonces un estacionario debe contener una subestructura elemental de . De hecho, es estacionario si y solo si para cualquier estructura de este tipo existe una subestructura elemental de que pertenece a . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S}$

Referencias

1. Jech (2003) pág. 91

• Foreman, Matthew (2002) Conjuntos estacionarios, conjetura de Chang y teoría de particiones , en Teoría de conjuntos (Conferencia Hajnal) DIMACS Ser. Discrete Math. Theoret. Comp. Sci., 58, Amer. Math. Soc., Providence, RI. págs. 73–94. Archivado en [1]
• Friedman, Harvey (1974). "Sobre conjuntos cerrados de ordinales". Proc. Am. Math. Soc . 43 (1): 190–192. doi : 10.2307/2039353 . JSTOR  2039353. Zbl  0299.04003.
• Jech, Thomas (2003). Teoría de conjuntos . Springer Monographs in Mathematics (edición del tercer milenio). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN. 978-3-540-44085-7.Zbl 1007.03002  .

Enlaces externos

• "Conjunto estacionario". PlanetMath .