Punto crítico (teoría de conjuntos)

En teoría de conjuntos , el punto crítico de una incrustación elemental de una clase transitiva en otra clase transitiva es el ordinal más pequeño que no está asignado a sí mismo. ^[1]

Supongamos que es una incrustación elemental donde y son clases transitivas y se puede definir mediante una fórmula de teoría de conjuntos con parámetros de . Luego hay que llevar ordinales a ordinales y debe ser estrictamente creciente. También . Si es para todos y , entonces se dice que es el punto crítico de . ${\displaystyle j:N\to M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j(\omega )=\omega }$ ${\displaystyle j(\alpha )=\alpha }$ ${\displaystyle \alpha <\kappa }$ ${\displaystyle j(\kappa )>\kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle j}$

Si es V , entonces (el punto crítico de ) es siempre un cardinal medible , es decir, un número cardinal incontable κ tal que existe un ultrafiltro completo y no principal sobre . Específicamente, se puede considerar que el filtro es . Generalmente, habrá muchos otros ultrafiltros < κ -completos y no principales . Sin embargo, podrían ser diferentes de las ultrapotencias que surgen de dichos filtros. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \{A\mid A\subseteq \kappa \land \kappa \in j(A)\}}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle j}$

Si y son iguales y es la función de identidad en , entonces se llama "trivial". Si la clase transitiva es un modelo interno de ZFC y no tiene un punto crítico, es decir, cada ordinal se asigna a sí mismo, entonces es trivial. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j}$

Referencias

1. Jech, Thomas (2002). Teoría de conjuntos . Berlín: Springer-Verlag. ISBN 3-540-44085-2.pag. 323