Cardenal de Ramsey

En matemáticas , un cardinal de Ramsey es un cierto tipo de número cardinal grande introducido por Erdős y Hajnal (1962) y llamado así en honor a Frank P. Ramsey , cuyo teorema, llamado teorema de Ramsey , establece que ω disfruta de una cierta propiedad que los cardinales de Ramsey generalizan al caso incontable .

Sea [ κ ] ^<ω el conjunto de todos los subconjuntos finitos de κ . Un número cardinal κ se llama Ramsey si, para cada función

f : [ κ ] ^<ω → {0, 1}

existe un conjunto A de cardinalidad κ que es homogéneo para f . Es decir, para cada n , la función f es constante en los subconjuntos de cardinalidad n de A . Un cardinal κ se llama inefablemente Ramsey si A puede elegirse como un subconjunto estacionario de κ . Un cardinal κ se llama virtualmente Ramsey si para cada función

f : [ κ ] ^<ω → {0, 1}

existe C , un subconjunto cerrado e ilimitado de κ , de modo que para cada λ en C de cofinalidad incontable , existe un subconjunto ilimitado de λ que es homogéneo para f ; ligeramente más débil es la noción de casi Ramsey donde se requieren conjuntos homogéneos para f de tipo de orden λ , para cada λ < κ .

La existencia de cualquiera de estos tipos de cardinales de Ramsey es suficiente para probar la existencia de 0 # , o incluso que todo conjunto con rango menor que κ tiene un . Esto a su vez implica la falsedad del Axioma de Constructibilidad de Kurt Gödel .

Todo cardenal medible es un cardenal de Ramsey, y cada cardenal de Ramsey es un cardenal de Rowbottom .

Una propiedad intermedia en fuerza entre la Ramseyness y la mensurabilidad es la existencia de un ideal normal no principal κ -completo I en κ tal que para cada A ∉ I y para cada función

f : [ κ ] ^<ω → {0, 1}

hay un conjunto B ⊂ A no en I que es homogéneo para f . Esto es estrictamente más fuerte que κ siendo inefablemente Ramsey.

Definición por modelos κ

Un cardinal regular κ es Ramsey si y solo si ^{[1] [ se necesita una mejor fuente ]} para cualquier conjunto A ⊂ κ , existe un conjunto transitivo M ⊨ ZFC ^- (es decir, ZFC sin el axioma de conjunto potencia) de tamaño κ con A ∈ M , y un ultrafiltro no principal U en el álgebra de Boole P(κ) ∩ M tal que:

• U es un ultrafiltro M: para cualquier secuencia ⟨ X _β  : β < κ ⟩ ∈ M de miembros de U , la intersección diagonal Δ X _β = { α < κ  : ∀ β < α ( α ∈ X _β )} ∈ U ,
• U es débilmente susceptible: para cualquier secuencia ⟨ X _β  : β < κ ⟩ ∈ M de subconjuntos de κ , el conjunto { β < κ  : X _β ∈ U } ∈ M , y
• U es σ-completo: la intersección de cualquier familia contable de miembros de U está nuevamente en U.

Referencias

1. Gitman, Victoria (2008). "Cardenales tipo Ramsey". arXiv : 0801.4723v2 [math.LO].

Bibliografía

• Drake, FR (1974). Teoría de conjuntos: Introducción a los grandes cardinales (Estudios de lógica y fundamentos de las matemáticas; V. 76) . Elsevier Science Ltd. ISBN 0-444-10535-2.
• Erdős, Paul ; Hajnal, András (1962), "Algunas observaciones sobre nuestro artículo "Sobre la estructura de las aplicaciones de conjuntos . No existencia de una medida σ de dos valores para el primer cardinal inaccesible e incontable", Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae , 13 (1–2): 223–226, doi :10.1007/BF02033641, ISSN  0001-5954, MR  0141603, S2CID  121179872
• Kanamori, Akihiro (2003). El infinito superior: grandes cardinales en la teoría de conjuntos desde sus inicios (2ª ed.). Saltador. ISBN 3-540-00384-3.